福建三明市尤溪县第七中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

尤溪七中高二上学期数学半期考试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D B B C B AC AB 题号 11 答案 BCD 8．如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【分析】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解 【详解】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 易知，，，，，， 设，则，已知， 因为，，所以，可得， 即，所以，所以，则， ∴异面直线与所成角的余弦值为．故选：B． 二、多选题 11．已知三棱锥，，且，，两两垂直，G是的重心，E，F分别为，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【分析】根据，，两两垂直，设，，，则是空间的一个正交基底，根据空间向量运算逐项判断即可. 【详解】如图，设，，，则是空间的一个正交基底，则，取的中点，连接，由于是的重心，则， 则，， 又，则， ，∴，则不平行于，故A不正确； ，B正确； ，C正确； ，D正确．故选：BCD 三、填空题 12．【答案】 13．3 【详解】直线的斜率为，所以，解得． 14．【答案】 【详解】连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为，所以，所以. 四、解答题 15．已知且 (1)求实数的值；(2)若，求实数的值． 【答案】(1)2；(2). 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【详解】（1），， 设，，的值为2． （2）由（1），则， ， ，． 16.【答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，正方体棱长为， 各点坐标： 是中点：， 向量：， ， 两向量点积：， ，即. （2）. （3）锐二面角余弦值为. 【解析】 【分析】求出与，计算向量数量积，数量积为即可证异面直线垂直； 求出平面的法向量与，利用线面角公式计算正弦值； 分别求出平面与底面的法向量，代入二面角公式，取绝对值得到锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设直线与平面所成角，，是平面法向量， 平面的向量：， 设平面法向量， ，令，取， ， ， ， . 【小问3详解】 平面是底面，法向量可取， 平面：， 向量，设平面法向量， ，又第一式：，代入第二式： ，令，取， ， 锐二面角余弦值为. 17．(1)； (2)或 【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可； （2）利用直线的截距式方程求解即可，注意讨论截距为0的情况； 【详解】（1）因为直线过，， 所以直线方程为，整理得. （2）当直线经过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得，所以直线方程为； 当直线不经过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得，所以直线方程为， 综上所述，直线方程为或. 18．如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ，则，故. （2）， 则 .故. 19．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【详解】（1）在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，得，由是棱的中点，得，则，设平面的法向量为，则，令，得，显然，则，又平面，所以平面. （2）由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此，所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 试卷第2页，共16页 试卷第3页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $尤溪七中2026-2027学年第一次月考试卷 高二数学 一、单选题 1己知直线过点4,0)，0，-， 则直线的倾斜角为() A. π B.3 π 6 D.3 2.在空间四边形PABC中，PB-AB-CA=() A.AP B.PC C.AB D.AC 3.若{位6，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是() A,B+c,B,B-c B.a,a+b,a-26 C.a-B,2a+B,c D.a+b,a+b+c,c 4.如图，空间四边形01BC中，O1=O丽=60C=8,点M在O1上，且oM=M1,点N为BC中点，则 MN等于() c.a+5+ D.+5+ 5古42)B2c-海在-条能上，则四的为) A子 B. c 6过点P3,7)且与直线’-5=3(x-) 垂直的直线”的方程为() 试卷第1页，共16页 A.y-7=3x-3) B.y-7=(x-3到 c.y-7=3(x-3) D.y-7=-3(x-3) 7.已知直线'经过点P12 ,与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△0AB的面积 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.8 8.如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD,△BCD是正三角形，BC=2,AD=V5,F是棱 AC上一点，且满足'-BCD=2V4F,则异面直线BC与DF所成角的余弦值是( ). A、6 B.6 6 12 D.V30 6 12 二、多选题 9.关于直线 1x-y+2=0 ,下列说法正确的有() 元 A.直线1的倾斜角为4 B.直线I在x轴上的截距为2 C.直线经过第一、二、三象限 D.直线与直 x+y-1=0 平行 10.已知向量i=(,11.6=(←10,2 ,则下列正确的是() A.a+b=(0,l,3) B.d=5 C.a.b=2 D.a,-年 11.已知三棱锥O-ABC,OA=OB=OC,且OA,OB,OC两两垂直，G是△OAB的重心，E,F 试卷第2页，共16页 分别为BC,OB上的点，且FB:OF=EC:BE=2:1,则下列说法正确的是(). A.FG∥BC B.EG⊥OG C.EG⊥BC D.FG⊥EF 三、填空题 12.在空间直角坐标系中，已知A(2,1),B(1,2,3),点A关于y轴对称的点为C,则B,C两点间的 距离为 13.已知直线过点P-,2）、,),直线方向向蟹为i=,2)日14，则m= 14.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其 中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-AB,C中，M,N分别是AC A BB的中点，G是MN的中点，若AG=xAB+yAA+zAC,则x+y+z= 四、解答题 15.已知a=(x-13),6=(,2-1,c=(10,)且c1/2a+6 ()求实数r的值； (②若a-b)1(aā+b),求实数2的值. 试卷第3页，共16页 16.在正方体 BCD-ABGD中，枝长为4，点B为校CG的中点， AE⊥BD (1)求证： (2)求直线4E与平面1BD所成角的正孩值： 17.(13分)已知直线l过点P2,). 试卷第4页，共16页 (1)若直线过点Q(-l,4),求直线I的方程： (2)若直线1在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线！的方程. 18.如图，己知在平行六面体ABCD-AB,CD,中，AB=4,AD=4,A4=5,∠DAB=0,∠DAA=∠BA4=60 ,M,N分别是DC,CB的中点 D (1)若对角线AC的长度为V13时，求0的值.(2)求证：MN⊥AC. 试卷第5页，共16页 19.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，侧棱A4的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱 BC的中点 (1)证明：BD,/平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABCD的夹角的余弦值： (3)求三棱锥4-CDE的体积. 试卷第6页，共16页 .. 试卷第7页，共16页