专题08三角形的内角、外角问题（专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题08 三角形的内角、外角问题 常考题型·精准突破 题型1 三角形内角和定理的探究（重） 题型2 三角形内角和与方程思想（重） 题型3 三角形的分类（高频） 题型4 三角形外角性质的运用 题型5 三角形与平行线的综合求角问题（高频） 题型6 三角形折叠中的角度问题（难） 题型7 与高线、角平分线有关的三角形求角问题（高频） 题型8 三角板摆放求角问题 题型9 新定义下三角形求角问题（难） 题型10 三角形双角平分线求角问题（高频） 题型11 不规则图形的角度问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形内角和定理的探究 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 2．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】(1)；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 (2)解：∵， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴． 【分析】（1）利用拼接得到等角，由内错角相等证两直线平行，再根据两直线平行得同旁内角互补，从而推导出三角形的内角和； （2）由平行线性质实现角的等量代换，结合平角定义，证明三角形内角和为． 【详解】（1）解：由操作可知，， ∵内错角相等，两直线平行， ∴， ∴第一个空答案为，对应的依据为：内错角相等，两直线平行， ∵两直线平行，同旁内角互补， ∴， ∴第二个空答案为，对应的依据为：两直线平行，同旁内角互补； （2）略． ◆题型2 三角形内角和与方程思想 3．在中，，求各内角的度数． 【答案】， 【分析】设，则，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则，根据三角形内角和可得： ， 解得：， ∴，． 4．已知的三个内角，求，，的度数． 【答案】，， 【详解】解：∵，， ∴，，． 5．在中，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ， ， 解得． 6．已知中，，求，，的度数． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理和，设，解答即可． 【详解】, 所以设， 解得， ， ． ◆题型3 三角形的分类 7．根据下列所给条件，判断的形状． (1)，，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1)锐角三角形 (2)钝角三角形 (3)直角三角形 (4)等腰三角形 【分析】（1）三个内角都小于的三角形为锐角三角形； （2）有一个内角大于的三角形为钝角三角形； （3）有一个内角等于的三角形为直角三角形； （4）有两条边长度相等的三角形为等腰三角形． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴为锐角三角形； （2）解：∵， ∴为钝角三角形； （3）解：∵； ∴为直角三角形； （4）解：∵， ∴为等腰三角形． 8．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)图中共有__________个三角形，其中包含__________个直角三角形； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________； (3)直接写出以为边的三角形． 【答案】(1)6；3 (2)； (3)，， 【分析】（1）根据三角形和直角三角形的定义可得答案； （2）依据“角的对边是角对面的边”可得答案； （3）根据三角形的定义可得答案． 【详解】（1）解：图中的三角形有，共6个三角形， ∵， ∴， ∴都是直角三角形，即直角三角形有3个； （2）解：由题意得，在中，的对边是； 在中，的对边是； （3）解：以为边的三角形有． 9．如图，过五个点中的任意三点画三角形． (1)画出以为边的三角形，能画几个？写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)，以为边的三角形如图所示；这样的三角形能画3个，它们分别是 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【分析】（1）利用以为边画三角形，结合的位置得出符合题意的三角形； （2）利用网格中线段长可找出等腰三角形和钝角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型4 三角形外角性质的运用 10．如图，是的边上一点，为上一点，则，，之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，分别表示出角来比较大小即可． 【详解】解：根据三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． 11．如图，是的一个外角．若，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】根据三角形的外角定理“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”即可求出的度数． 【详解】解：∵, ∴, ∵，， ∴． 12．如图，，为的两个外角，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由互补关系及三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵为的两个外角，且， ∴， ∵， ∴． ◆题型5 三角形与平行线的综合求角问题 13．如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角相等得出三角形一个内角，利用平行线性质得出三角形一个外角的度数，结合三角形外角性质求解． 【详解】解：如图，设直线与交于点，与交于点，在点处的外角为， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 14．课本再现： (1)如图1，已知直线，c是截线，则_____． (2)如图2，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．求证：． 拓展应用： (3)如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：． 【答案】(1) (2)证明：平分， ． ， ． ， ． (3)证明：如图，过点N作，交于点G，则， ，． 是的一个外角， ． 又，， ， ． 平分， ， ． 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可得，即可求证； （3）过点N作，交于点G，则，根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，c是截线， ∴； （2）略 （3）略 ◆题型6 三角形折叠中的角度问题 15．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再根据折叠，可得，从而可求得，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ， ∴， ∴． 16．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 17．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． ◆题型7 与高线、角平分线有关的三角形求角问题 18．如图，在中，，，平分，于点D，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形的内角和定理求得，，再利用角平分线的定义求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19．如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据高、外角的定义以及三角形内角和定理求出，，的度数，设，，利用角平分线的定义用分别表示，利用三角形内角和求出，再次利用三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解： 、分别为边，边上的高， ， ，，， ， ， ， 设，， ，， ，的平分线相交于点， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 20．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【详解】（1）解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； （2）略 ◆题型8 三角板摆放求角问题 21．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，求出的度数，再用的度数减去的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵为等腰三角形， ， ∴, ∵， ， ∴, ∴, ∵， ∴． 22．将一副三角板按图中方式叠放，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的定义计算即可． 【详解】解：如图，为的外角，由题可知， ， ． 23．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 C，E，A，D在同一条直线上，，，．当时，α的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：， ， ，点C，E，A，D在同一条直线上， ． 24．如图，两个直角三角板的直角顶点，分别在斜边，上，且，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， ． 25．一副直角三角板如图放置，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角板的性质求出，由平行线的性质得到，利用三角形外角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图，与交于点， 由题可得， ， ， ． ◆题型9 新定义下三角形求角问题 26．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由题意知，“奇妙互余三角形”分和，两种情况求解：根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：是“奇妙互余三角形”， ， ①当时， ， ， ②当时， ， ． 故的度数为或． 27．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； (2)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是“准互余角”， ∴， ∴； （2）略 28．定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再结合“互优角”的定义可得，即可求解； （2）分三种情况，结合“互优角”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵与为“互优角”， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴，即， 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或． ◆题型10 三角形双角平分线求角问题 29．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，与相交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 30．如图，在中，分别平分和的延长线与的外角的平分线交于点．以下结论：①，②，③，④．其中正确的是___________． 【答案】①③/③① 【分析】由分别平分和，可得，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解． 【详解】解：分别平分和， ， 根据三角形外角性质，， ， ，故①正确； 分别平分和， ， 根据三角形内角和定理，， ， ，故③正确； ， 不一定是， ，故②错误； ，由③知， ， 不一定是， ，故④错误； 综上，正确的是①③． 31．如图，的外角的平分线与的平分线交于点． (1)，，求的度数； (2)试判断与的关系，并证明． 【答案】(1) (2)解：，证明如下： 设，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）用角平分线定义求出外角，再借助三角形外角性质即可求出的度数； （2）设角，结合角平分线定义与三角形外角性质，推导与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴． （2）解：略． 32．【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，，则______°，______°； (2)，则______°（用n表示），并说明理由． 【应用】 (3)如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）由角平分线定义可得，，继而推导出 ，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ （3）解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． ◆题型11 不规则图形的角度问题 33．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 34．在显示的五角星图形中，的度数为_______°． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ． 35．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°； （4）1080°； 连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）略． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．在中，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合三角形内角和定理可得，再将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴两式相加可得， ∵ ∴ 解得． 2．下列说法正确的是（     ）． A．由三条线段组成的图形叫作三角形 B．三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 C．三角形的重心是三条角平分线的交点 D．钝角三角形有两条高在三角形的外部 【答案】D 【分析】根据三角形的定义、分类、高、重心的定义判断即可． 【详解】解：A．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作三角形，故A错误； B．三角形按边的相等关系分类可分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故B错误； C．三角形的重心是三条中线的交点，故C错误； D． 钝角三角形有两条高在三角形的外部，故D正确． 3．在中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和以及题中各条件，求角度，若存在角度为时，则该条件符合题意，进而可得答案． 【详解】①∵，则， 又， ∴， ∴ ∴ 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ②∵，则，， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ③∵， ∴最大角， 则不能确定是直角三角形，故本选项不符合题意； ④∵， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：C． 4．如图（1）是某夜市摊主使用的折叠方桌，结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 5．如图，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过三角形内角和和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 由图可得，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ． 6．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质得出，结合平行线的性质得出和，进而求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； 【详解】解：由折叠的性质可得， , , ， ， 在 中，， , ， ， ， ． 7．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 8．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在线段的延长线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角板中角度的计算．先求得，再利用三角形的外角性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵， ∴； 故选:D． 9．如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故①符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②符合题意； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故③符合题意； ，， ， 故④符合题意， ∴符合题意的有①②③④． 10．如图，将沿着直线 l 折叠，点C落在点D的位置，若，则的度数是_________ 【答案】 【分析】由折叠的性质得：，根据外角性质得：，，然后把代入计算即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 11．定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 【答案】或或 【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， ∴得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 12．如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【答案】 3 2或 【分析】①当时， 分在左侧和在右侧两种情况，分别计算出和的度数，代入计算k值； ②当，分在上方和在下方两种情况，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：由题可知． ①当时， 在左侧时，如图所示 ． ． ， ，解得． 在右侧时，如图所示 ， ． ， ，解得． ②当时， 在上方时，如图 ． ，． ， ，解得． 在下方时，如图 ，， ． ， ． ， ． ， ，解得． 13．如图，在中，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若的面积为，，则的长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，,然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是高， ， ； （2）解：是的中线，， ， ， ， ． 14．如图，平分交于点，平分交于点，与相交于点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理，可得，即可得解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15．按要求解答下列问题： (1)【探究学习】：小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． (2)【迁移应用1】：健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为_______． (3)【迁移应用2】：如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及平角等于180度证明即可； （2）作，可得，从而，然后根据求解即可； （3）过点作，证明，可得，，，结合，，整理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 16．现有一张纸片，点，分别是边，上的点，现将其沿直线折叠． (1)若折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是 ． (2)将纸片沿直线折叠．若折成如图②所示的形状，猜想，和之间的数量关系，并说明理由． (3)若折成图③的形状，猜想，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：． 理由如下： 解法1：由折叠性质可得，，， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ， 即； 解法2：连接，如图所示： 由折叠性质可得， 是的外角，是的外角， ，， ； (3)解：． 理由如下： 设与交于点，如图所示： 是的外角，是的外角， ，， ， 由折叠性质可得， ， 即． 【分析】（1）由折叠性质及外角性质求解即可； （2）根据折叠性质，数形结合，表示出，再由三角形内角和定理等量代换即可或者结合外角性质分别表示出，，再求即可得到答案； （3）根据折叠性质及外角性质，数形结合，表示出，和相关角度之间的关系，等量代换求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质可得， 是的外角， ； （2）略 （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角形的内角、外角问题 常考题型·精准突破 题型1 三角形内角和定理的探究（重） 题型2 三角形内角和与方程思想（重） 题型3 三角形的分类（高频） 题型4 三角形外角性质的运用 题型5 三角形与平行线的综合求角问题（高频） 题型6 三角形折叠中的角度问题（难） 题型7 与高线、角平分线有关的三角形求角问题（高频） 题型8 三角板摆放求角问题 题型9 新定义下三角形求角问题（难） 题型10 三角形双角平分线求角问题（高频） 题型11 不规则图形的角度问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形内角和定理的探究 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 2．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． ◆题型2 三角形内角和与方程思想 3．在中，，求各内角的度数． 4．已知的三个内角，求，，的度数． 5．在中，，求的度数． 6．已知中，，求，，的度数． ◆题型3 三角形的分类 7．根据下列所给条件，判断的形状． (1)，，； (2)； (3)； (4)，． 8．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)图中共有__________个三角形，其中包含__________个直角三角形； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________； (3)直接写出以为边的三角形． 9．如图，过五个点中的任意三点画三角形． (1)画出以为边的三角形，能画几个？写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． ◆题型4 三角形外角性质的运用 10．如图，是的边上一点，为上一点，则，，之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，是的一个外角．若，，则的度数是__________． 12．如图，，为的两个外角，，，则的度数为________． ◆题型5 三角形与平行线的综合求角问题 13．如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 14．课本再现： (1)如图1，已知直线，c是截线，则_____． (2)如图2，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．求证：． 拓展应用： (3)如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：． ◆题型6 三角形折叠中的角度问题 15．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 16．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． ◆题型7 与高线、角平分线有关的三角形求角问题 18．如图，在中，，，平分，于点D，则的度数是（     ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 20．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． ◆题型8 三角板摆放求角问题 21．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 22．将一副三角板按图中方式叠放，则等于（     ）． A． B． C． D． 23．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 C，E，A，D在同一条直线上，，，．当时，α的大小为（   ） A． B． C． D． 24．如图，两个直角三角板的直角顶点，分别在斜边，上，且，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 25．一副直角三角板如图放置，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ◆题型9 新定义下三角形求角问题 26．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 27．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； (2)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 28．定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． ◆题型10 三角形双角平分线求角问题 29．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，与相交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．如图，在中，分别平分和的延长线与的外角的平分线交于点．以下结论：①，②，③，④．其中正确的是___________． 31．如图，的外角的平分线与的平分线交于点． (1)，，求的度数； (2)试判断与的关系，并证明． 32．【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，，则______°，______°； (2)，则______°（用n表示），并说明理由． 【应用】 (3)如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． ◆题型11 不规则图形的角度问题 33．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 34．在显示的五角星图形中，的度数为_______°． 35．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 综合攻坚·知能拔高 1．在中，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ）． A．由三条线段组成的图形叫作三角形 B．三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 C．三角形的重心是三条角平分线的交点 D．钝角三角形有两条高在三角形的外部 3．在中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图（1）是某夜市摊主使用的折叠方桌，结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 8．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在线段的延长线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 10．如图，将沿着直线 l 折叠，点C落在点D的位置，若，则的度数是_________ 11．定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 12．如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 13．如图，在中，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若的面积为，，则的长为________． 14．如图，平分交于点，平分交于点，与相交于点，若，，求的度数． 15．按要求解答下列问题： (1)【探究学习】：小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． (2)【迁移应用1】：健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为_______． (3)【迁移应用2】：如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 16．现有一张纸片，点，分别是边，上的点，现将其沿直线折叠． (1)若折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是 ． (2)将纸片沿直线折叠．若折成如图②所示的形状，猜想，和之间的数量关系，并说明理由． (3)若折成图③的形状，猜想，和之间的数量关系，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角形的内角、外角问题 常考题型·精准突破 题型1 三角形内角和定理的探究（重） 题型2 三角形内角和与方程思想（重） 题型3 三角形的分类（高频） 题型4 三角形外角性质的运用 题型5 三角形与平行线的综合求角问题（高频） 题型6 三角形折叠中的角度问题（难） 题型7 与高线、角平分线有关的三角形求角问题（高频） 题型8 三角板摆放求角问题 题型9 新定义下三角形求角问题（难） 题型10 三角形双角平分线求角问题（高频） 题型11 不规则图形的角度问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形内角和定理的探究 1．【答案】D 2．【答案】(1)；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 (2)解：∵， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴． 【分析】（1）利用拼接得到等角，由内错角相等证两直线平行，再根据两直线平行得同旁内角互补，从而推导出三角形的内角和； （2）由平行线性质实现角的等量代换，结合平角定义，证明三角形内角和为． 【详解】（1）解：由操作可知，， ∵内错角相等，两直线平行， ∴， ∴第一个空答案为，对应的依据为：内错角相等，两直线平行， ∵两直线平行，同旁内角互补， ∴， ∴第二个空答案为，对应的依据为：两直线平行，同旁内角互补； （2）略． ◆题型2 三角形内角和与方程思想 3．【答案】， 【分析】设，则，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则，根据三角形内角和可得： ， 解得：， ∴，． 4．【答案】，， 【详解】解：∵，， ∴，，． 5．【答案】 【详解】解：， ， ， 解得． 6．【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理和，设，解答即可． 【详解】, 所以设， 解得， ， ． ◆题型3 三角形的分类 7．【答案】(1)锐角三角形 (2)钝角三角形 (3)直角三角形 (4)等腰三角形 【分析】（1）三个内角都小于的三角形为锐角三角形； （2）有一个内角大于的三角形为钝角三角形； （3）有一个内角等于的三角形为直角三角形； （4）有两条边长度相等的三角形为等腰三角形． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴为锐角三角形； （2）解：∵， ∴为钝角三角形； （3）解：∵； ∴为直角三角形； （4）解：∵， ∴为等腰三角形． 8．【答案】(1)6；3 (2)； (3)，， 【分析】（1）根据三角形和直角三角形的定义可得答案； （2）依据“角的对边是角对面的边”可得答案； （3）根据三角形的定义可得答案． 【详解】（1）解：图中的三角形有，共6个三角形， ∵， ∴， ∴都是直角三角形，即直角三角形有3个； （2）解：由题意得，在中，的对边是； 在中，的对边是； （3）解：以为边的三角形有． 9．【答案】(1)，以为边的三角形如图所示；这样的三角形能画3个，它们分别是 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【分析】（1）利用以为边画三角形，结合的位置得出符合题意的三角形； （2）利用网格中线段长可找出等腰三角形和钝角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型4 三角形外角性质的运用 10．【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，分别表示出角来比较大小即可． 【详解】解：根据三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． 11．【答案】 【分析】根据三角形的外角定理“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”即可求出的度数． 【详解】解：∵, ∴, ∵，， ∴． 12．【答案】 【分析】由互补关系及三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵为的两个外角，且， ∴， ∵， ∴． ◆题型5 三角形与平行线的综合求角问题 13．【答案】D 14．【答案】(1) (2)证明：平分， ． ， ． ， ． (3)证明：如图，过点N作，交于点G，则， ，． 是的一个外角， ． 又，， ， ． 平分， ， ． 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可得，即可求证； （3）过点N作，交于点G，则，根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，c是截线， ∴； （2）略 （3）略 ◆题型6 三角形折叠中的角度问题 15．【答案】D 16．【答案】C 17．【答案】B ◆题型7 与高线、角平分线有关的三角形求角问题 18．【答案】A 19．【答案】 20．【答案】(1) (2)证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【详解】（1）解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； （2）略 ◆题型8 三角板摆放求角问题 21．【答案】A 22．【答案】C 23．【答案】C 24．【答案】B 25．【答案】C ◆题型9 新定义下三角形求角问题 26．【答案】或 27．【答案】(1) (2) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是“准互余角”， ∴， ∴； （2）略 28．【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再结合“互优角”的定义可得，即可求解； （2）分三种情况，结合“互优角”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵与为“互优角”， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴，即， 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或． ◆题型10 三角形双角平分线求角问题 29．【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 30．【答案】①③/③① 【分析】由分别平分和，可得，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解． 【详解】解：分别平分和， ， 根据三角形外角性质，， ， ，故①正确； 分别平分和， ， 根据三角形内角和定理，， ， ，故③正确； ， 不一定是， ，故②错误； ，由③知， ， 不一定是， ，故④错误； 综上，正确的是①③． 31．【答案】(1) (2)解：，证明如下： 设，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）用角平分线定义求出外角，再借助三角形外角性质即可求出的度数； （2）设角，结合角平分线定义与三角形外角性质，推导与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴． （2）解：略． 32．【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）由角平分线定义可得，，继而推导出 ，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ （3）解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． ◆题型11 不规则图形的角度问题 33．【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 34．【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ． 35．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°； （4）1080°； 连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）略． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】①②③④ 10．【答案】 11．【答案】或或 12．【答案】 3 2或 【分析】①当时， 分在左侧和在右侧两种情况，分别计算出和的度数，代入计算k值； ②当，分在上方和在下方两种情况，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：由题可知． ①当时， 在左侧时，如图所示 ． ． ， ，解得． 在右侧时，如图所示 ， ． ， ，解得． ②当时， 在上方时，如图 ． ，． ， ，解得． 在下方时，如图 ，， ． ， ． ， ． ， ，解得． 13．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，,然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是高， ， ； （2）解：是的中线，， ， ， ， ． 14．【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理，可得，即可得解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15．【答案】(1)证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及平角等于180度证明即可； （2）作，可得，从而，然后根据求解即可； （3）过点作，证明，可得，，，结合，，整理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 16．【答案】(1) (2)解：． 理由如下： 解法1：由折叠性质可得，，， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ， 即； 解法2：连接，如图所示： 由折叠性质可得， 是的外角，是的外角， ，， ； (3)解：． 理由如下： 设与交于点，如图所示： 是的外角，是的外角， ，， ， 由折叠性质可得， ， 即． 【分析】（1）由折叠性质及外角性质求解即可； （2）根据折叠性质，数形结合，表示出，再由三角形内角和定理等量代换即可或者结合外角性质分别表示出，，再求即可得到答案； （3）根据折叠性质及外角性质，数形结合，表示出，和相关角度之间的关系，等量代换求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质可得， 是的外角， ； （2）略 （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $