精品解析：福建省漳州第一中学2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试卷

漳州一中2026～2027学年高一10月份质量检测 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 2. 设函数，则等于（ ） A. 10 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】， 又，代入， ， 故. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】依据“定义域相同且对应法则相同的两个函数为同一函数”的判定规则，逐一分析各选项即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，二者定义域不同，不属于同一函数，故A错误； 对于B，函数，当时解析式为，与的对应关系不一致，不属于同一函数，故B错误； 对于C，函数和的定义域都为，二者对应关系完全一致，仅自变量的表示字母不同，属于同一函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，二者定义域不同，不属于同一函数，故D错误. 4. 已知集合，，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合，由推出得到的取值范围，再根据必要不充分条件的性质判断选项中对应集合与该取值范围的关系即可求解. 【详解】已知集合，， 解一元二次不等式，因式分解得，解得，因此， 由，得，则， 结合选项可知，“”的一个必要不充分条件是. 5. 若集合，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式解集为空转化为对应式子恒小于0，分两种情况，结合一次、二次函数性质求解后取并集. 【详解】由题意得，不等式解集为， 等价于对任意，恒成立，分两类讨论： 当时，恒成立，符合题意； 当时，是真命题， 则，解得， 综上，的取值范围为. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 7. 设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 8. 已知关于不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最大值为 D. 关于的不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D. 【详解】原不等式等价于， 因为解集为,所以和分别是和的实数根， 故且，，故A错误； 因为，，所以点在第三象限，故B错误； ，由于开口向下，故最大值为，故C错误， 由得即解集为，故D正确． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知集合，则实数 C. 若集合有且仅有一个元素，则实数 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据题意，利用作差法得，进而求得即可判定；对于B，结合不满足判定；对于C，分和两种情况说明；对于D，根据，结合不等式的性质判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，整理得， 因为，，所以，即，解得，故正确； 对于B，当时，，故错误； 对于C，当时，集合，满足题意； 当时，由题知，解得， 综上，集合有且仅有一个元素，则或，故错误； 对于D，设，则， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即，故正确. 10. 设正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 11. 已知二次函数在上有两个不同的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意并利用判别式得到判断A，利用得到判断B，结合对放缩，再结合二次函数性质判断C，将变形为，再结合基本不等式判断D即可. 【详解】设二次函数的零点为，且令， 对于A，因为二次函数在上有两个不同的零点， 所以，解得，故A正确， 对于B，因为二次函数在上有两个不同的零点， 所以，解得，故B错误， 对于C，由已知得，则，则， 因为二次函数在上有两个不同的零点， 所以，解得，且令， 由二次函数性质得在上单调递增，可得， 即得证，故C正确， 对于D，由韦达定理得，， 则 ， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，解得， 同理可得， 当且仅当时取等，解得， 而，则， 即得证，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则集合的所有真子集的个数______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据给定的限制条件确定集合的全部元素，再利用含个元素的集合的真子集个数公式求解. 【详解】由题意，，且，因此分母即，且为6的正约数， 6的正约数为1,2,3,6，对应可得，结合的条件筛选得，即，共3个元素， 因为，一个集合含有个元素，则其所有真子集的个数为， 所以，将代入得，即集合的所有真子集的个数为个. 13. 已知函数，则的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法求出的解析式，再结合二次函数的图象与性质求解值域 【详解】求的解析式：令，，则， 将其代入已知等式得： ，展开化简： ， 即，，对称轴为， 当时，取得最小值：，所以的值域为. 14. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理和基本不等式求解. 【详解】因为有两个不相等的实数根， 所以，即：，所以， 根据韦达定理得：，， 所以 ， 由基本不等式得：， 当且仅当，即：时等号成立，此时最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意有：，解得； 【小问2详解】 由已知有：， 设两个相异的不动点为，，依题意可得， 即是方程的两个相异的正实数根， 根据韦达定理，故，解得， 故实数c的取值范围是. 16. 设集合，． （1）求集合； （2）已知：“，”，：“，”，若，有且仅有一个正确，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出集合的取值范围，再根据集合的运算可求出结果； （2）若和有且仅有一个正确，只有两种情况：①真假，②假真，即可得范围. 【小问1详解】 对于集合，得，解得，所以， 对于集合，得，即，，解得， 所以， 所以或，则； 【小问2详解】 对于命题，，得, 得， 得，故， 对于，得，得， 对于命题，，得， 故，而， 等号成立时，，得， 则， 若和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，解得. 综上，实数的取值范围为. 17. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）50台，900万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，，故, 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得当时，； 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 18. 已知二次函数 （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式整理成标准形式，再根据不等式解集及三个二次关系求解； （2）将不等式整理成，讨论二次项系数及对应方程根的大小关系求解； （3）由恒成立得到关系，代入所求式化简为“”型一元分式，通过换元化为基本不等式求最值. 【小问1详解】 由得，即， 因为不等式的解集为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）不等式即，整理得， 若，则对应二次函数开口向上，，解得或； 若，则不等式变为，解得； 若，则对应二次函数开口向下，，解得； 若，则不等式即，无解； 若，则对应二次函数开口向下，，解得. 综上，当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【小问3详解】 当时，，不满足对任意，恒成立； 当时，若对任意，恒成立，则，即， 所以，令，则， 则，因为， 所以，所以当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 19. （1）设取大函数，若，则_________； （2）设为正整数，，记 ①当时，若，求的值； ②当时，设集合，设Q是P的子集，且满足：对于Q中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合Q中元素个数的最大值. 【答案】（1）；（2）①1；②4 【解析】 【分析】（1）根据题干定义直接计算即可； （2）①利用的定义即可求解；②当时，根据相同时，是奇数，求得此时集合中元素所有可能取值，然后验证不同时，是偶数，由此确定集合中元素个数的最大值. 【详解】（1）由题意得，， 可得 ， （2）①由题意得， ②当时，当相同时，为奇数， 所以中有3个1和1个0或者1个1和3个0， 当不同时，讨论情况如下， （i）当中有3个1和1个0时， 元素为， 经验证是偶数，满足题意， 所以集合Q最多有4个元素， （ii）当中有1个1和3个0时， 元素为， 经验证是偶数，满足题意， 集合Q最多有4个元素， 综上所述，集合中元素个数的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州一中2026～2027学年高一10月份质量检测 数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则等于（ ） A. 10 B. 8 C. 4 D. 2 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知集合，，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若集合，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知关于不等式的解集为，则（ ） A. B. 点在第二象限 C. 的最大值为 D. 关于的不等式的解集为 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知集合，则实数 C. 若集合有且仅有一个元素，则实数 D. 若，，则 10. 设正实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 11. 已知二次函数在上有两个不同的零点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则集合的所有真子集的个数______． 13. 已知函数，则的值域为______． 14. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若存在实数，使成立，则称为的不动点.记，已知在有两个相异的不动点，求实数c的取值范围. 16. 设集合，． （1）求集合； （2）已知：“，”，：“，”，若，有且仅有一个正确，求实数的取值范围． 17. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知二次函数 （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19. （1）设取大函数，若，则_________； （2）设为正整数，，记 ①当时，若，求的值； ②当时，设集合，设Q是P的子集，且满足：对于Q中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合Q中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $