3.3.2 双曲线的简单几何性质（知识清单，知识点+五大易错点+十二大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 内容概览 2 🔷知识点一　双曲线的范围 2 🔷知识点二　双曲线的对称性 2 🔷知识点三　双曲线的顶点与基本量 2 🔷知识点四　双曲线的渐近线 3 🔷知识点五　双曲线的离心率 3 🔷知识点六　核心参数关系（）与双曲线性质总结 4 🔷知识点七　拓展：双曲线的第二定义、准线、焦半径 5 5 易错点1：混淆双曲线与椭圆的范围 5 易错点2：误认为虚轴顶点是双曲线的顶点 6 易错点3：渐近线方程记混，焦点轴与斜率对应错误 6 易错点4：离心率公式/范围与椭圆混淆 7 易错点5：已知渐近线求双曲线方程，漏解或设方程错误 7 8 题型1：求双曲线的焦点、焦距 8 题型2：双曲线的范围 8 题型3：双曲线的对称性 9 题型4：双曲线的顶点、实轴、虚轴 10 题型5：等轴双曲线 10 题型6：双曲线的渐近线 11 题型7：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 12 题型8：双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 13 题型9：由双曲线的离心率求参数或参数的取值范围 14 题型10：根据几何性质求双曲线标准方程 15 题型11：双曲线的应用 16 题型12：双曲线第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 17 🔷知识点一　双曲线的范围 1. 以焦点在轴的双曲线为例： (1) 的范围：或，双曲线向左右两侧无限延伸。 (2) 的范围：，纵坐标可取任意实数，无上下边界。 (3) 几何意义：双曲线位于直线的外侧，是无限延伸的开放曲线，不是封闭图形。 2. 焦点在轴时，对应或，。 ⚠️特别提醒 · 与椭圆本质区别：椭圆是有界封闭曲线，双曲线是无界开放曲线，只有实轴方向有边界，另一方向无限延伸。 · 双曲线上点的横坐标不能取之间的值，涉及取值范围问题要注意剔除该区间。 🔷知识点二　双曲线的对称性 双曲线的对称性与椭圆完全一致： 1. 轴对称：轴、轴都是双曲线的对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合； 2. 中心对称：坐标原点是双曲线的对称中心，简称双曲线的中心； 3. 坐标规律：若点在双曲线上，则点、、也都在双曲线上。 ⚠ 特别提醒 · 对称性的用法和椭圆相同，可用于简化坐标计算、对称弦问题，但注意双曲线分两支，对称点可能在另一支上。 🔷知识点三　双曲线的顶点与基本量 1. 顶点：双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点。 (1) 焦点在轴：顶点为，共2个。 (2) 焦点在轴：顶点为，共2个。 2. 实轴：连接两个顶点的线段，叫做双曲线的实轴；实轴长为，叫做实半轴长。 3. 虚轴：以焦点在轴为例，在对应另一根对称轴上，从到的线段，叫做双曲线的虚轴；虚轴长为，叫做虚半轴长。 注意：虚轴的两个端点不在双曲线上，不是双曲线的顶点。 4. 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，即。 ⚠ 特别提醒 · 双曲线只有2个顶点，不是4个，只有实轴顶点是双曲线上的点，虚轴顶点不属于双曲线上的点，这是和椭圆的重要区别。 · 等轴双曲线的渐近线为，离心率，是高频考查的特殊双曲线。 🔷知识点四　双曲线的渐近线 1. 定义：双曲线无限接近但永远不会相交的直线，叫做双曲线的渐近线。 2. 渐近线方程： (1) 焦点在轴： (2) 焦点在轴： 3. 快速推导法：令双曲线标准方程右边的为，因式分解后即可得到渐近线方程。 例如： 4. 几何意义：渐近线是双曲线向外无限延伸时无限逼近，但永远不相交的直线。 ⚠ 特别提醒 · 记忆口诀：焦点在哪轴，哪轴是实轴。 · 已知渐近线求双曲线方程的技巧：若渐近线为，可设双曲线方程为，焦点在轴，焦点在轴，避免分类讨论。 🔷知识点五　双曲线的离心率 1. 定义：双曲线的焦距与实轴长的比值，叫做双曲线的离心率，记作。 2. 核心公式： 3. 取值范围： 4. 几何意义：刻画双曲线开口的开阔程度 (1) a不变的前提下，越大，越大，也越大，双曲线的开口越开阔。 (2) a不变的前提下，越接近，越接近，越小，双曲线的开口越窄。 (3) 等轴双曲线，对应。 ⚠ 特别提醒 · 注意和椭圆区分：椭圆离心率，双曲线；对应抛物线，可对比记忆。 · 离心率是比值，只反映开口形状，与双曲线的整体大小无关。 🔷知识点六　核心参数关系（）与双曲线性质总结 1. 核心恒等式：（为最大参数） 2. 离心率变形： 3. 四个参数，已知任意两个，可求出其余两个。 4. 双曲线性质总结 标准方程 图形 性质 范围 或， 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ， ， 渐近线 离心率 ， 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长度；线段叫做双曲线的虚轴，它的长度；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 ，，的关系 ⚠ 特别提醒 · 对比椭圆：椭圆中最大，；双曲线中最大，，切勿混淆。 · 求离心率优先用齐次法：将条件转化为关于的n次齐次方程，两边同除以直接得到关于的方程。 🔷知识点七　拓展：双曲线的第二定义、准线、焦半径 1. 第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数（）的点的轨迹是双曲线（定点不在定直线上）。 2. 准线方程： (1) 焦点在轴：准线为 (2) 焦点在轴：准线为 3. 焦半径公式 (1) 焦点在轴，双曲线上点： 1　 右支上点：（到左焦点），（到右焦点） 2　 左支上点：（到左焦点），（到右焦点） (2) 焦点在轴，双曲线上点： 1　 上支上点：（到下焦点），（到上焦点） 2　 下支上点：（到下焦点），（到上焦点） ⚠ 特别提醒 · 焦点与准线遵循同侧对应原则：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线；下焦点对应下准线，上焦点对应上准线； · 焦半径统一记忆规律：点在哪一支，到远焦点的距离加，到近焦点的距离减，计算结果恒为正值，可据此验证符号是否正确。 · 焦半径公式选择填空题可直接使用，解答题需结合第二定义推导后再使用。 易错点1：混淆双曲线与椭圆的范围 【易错点】 受椭圆思维定式影响，认为双曲线的都有取值范围，或误以为双曲线是封闭曲线，求最值时忽略其无限延伸的特性。 【易错消除】 牢记核心区别：椭圆有界封闭，双曲线开放无界。 焦点在轴的双曲线：或，；焦点在轴时：或，。 求最值时注意：双曲线仅实轴方向有边界，虚轴方向可趋向无穷。 【易错例题】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点2：误认为虚轴顶点是双曲线的顶点 【易错点】 类比椭圆的四个顶点，误认为双曲线也有四个顶点，把虚轴端点当成双曲线的顶点。 【易错消除】 双曲线的顶点是曲线与对称轴的交点，只有实轴上的2个；虚轴端点不在双曲线上，不是顶点。 记忆：椭圆四个顶点，双曲线两个顶点。 【易错例题】（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 易错点3：渐近线方程记混，焦点轴与斜率对应错误 【易错点】 焦点在轴和轴的渐近线斜率分子分母颠倒。 【易错消除】 令标准方程右边的为，解出就是渐近线方程。 【易错例题】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 易错点4：离心率公式/范围与椭圆混淆 【易错点】 记错离心率范围，或记反公式。 【易错消除】 对比记忆： 椭圆：最大，，。 双曲线：最大，，。 看到离心率先看范围，可快速判断曲线类型。 【易错例题】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 易错点5：已知渐近线求双曲线方程，漏解或设方程错误 【易错点】 已知渐近线方程求双曲线时，默认焦点在轴求解，漏掉焦点在轴的情况；或不会用共渐近线系方程简化计算。 【易错消除】 已知渐近线，统一设双曲线为： (1) ，焦点在轴； (2) ，焦点在轴； 代入条件求出即可，自动包含两种情况，避免漏解。 【易错例题】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型1：求双曲线的焦点、焦距 方法技巧 1. 先将方程化为标准形式，正项对应的分母为；正项在下焦点在轴，正项在下焦点在轴。 2. 利用关系式计算，焦距为。 3. 根据焦点所在坐标轴，写出焦点坐标或。 4. 注意区分双曲线与椭圆的差异。 【例题1.1】（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）双曲线的焦点坐标为_________. 【例题1.2】（26-27高三上·云南·阶段检测）双曲线的焦距为（     ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【变式1.2】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 题型2：双曲线的范围 方法技巧 1. 焦点在轴的双曲线，，。 2. 焦点在轴的双曲线，，。 3. 双曲线向两侧无限延伸，无封闭边界，解题时注意定义域限制。 【例题2.1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题2.2】（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【变式2.2】（2025·云南昆明·模拟预测）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 题型3：双曲线的对称性 方法技巧 1. 双曲线关于轴、轴、原点中心对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 2. 点在双曲线上，则、、均在双曲线上。 3. 解题时可利用对称性简化计算，已知一支上的点可直接写出对称点。 【例题3.1】（2025·江西萍乡·三模）（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 【例题3.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 【变式3.1】（2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 题型4：双曲线的顶点、实轴、虚轴 方法技巧 1. 顶点：焦点在轴时顶点为；焦点在轴时顶点为。 2. 实轴：两顶点之间的线段，长为，为实半轴长。 3. 虚轴：对应线段长为，为虚半轴长，虚轴端点不在双曲线上。 4. 令正项变量为0可求顶点，实轴始终与焦点所在坐标轴一致。 【例题4.1】（26-27高三上·广东·阶段检测）双曲线的实轴长为_________． 【例题4.2】（25-26高三下·安徽淮北·阶段检测）已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则________. 【变式4.2】（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 题型5：等轴双曲线 方法技巧 1. 定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线，即。 2. 标准方程可设为，焦点在轴，焦点在轴。 3. 离心率，渐近线方程为，两条渐近线互相垂直。 4. 满足、、渐近线中任意两条，可推出第三条。 【例题5.1】（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【例题5.2】（2026·河北·三模）（多选）已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 【变式5.1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 【变式5.2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 题型6：双曲线的渐近线 方法技巧 1. 焦点在轴：渐近线方程；焦点在轴：渐近线方程。 2. 快速求法：将标准方程右边的改为，因式分解即可得到渐近线方程。 3. 与双曲线共渐近线的双曲线，可统一设为； 时，焦点在轴；时，焦点在轴。 4. 双曲线无限接近渐近线但永不相交，可通过渐近线刻画开口大小。 【例题6.1】（26-27高二上·云南·期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【例题6.2】（26-27高二上·河北保定·期中）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【变式6.1】（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．若，则 题型7：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 方法技巧 1. 离心率定义，双曲线满足，且。 2. 求具体离心率：构造的等量关系，消去，求解。 3. 求离心率范围：建立的不等式，转化为关于的不等式求解。 4. 常用变形，优先构造齐次式，同除以转化为的方程。 【例题7.1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【例题7.2】（24-25高三下·山东聊城·阶段检测）已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【变式7.2】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 题型8：双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 方法技巧 1. 越大，越大，渐近线斜率绝对值越大，双曲线开口越开阔。 2. 越接近，越接近，双曲线开口越扁狭，越靠近焦点轴。 3. 等轴双曲线，是开口宽窄的分界。 4. 离心率仅刻画开口形状，与双曲线的位置、整体大小无关。 【例题8.1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 【例题8.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 【变式8.1】（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（第46练 圆锥曲线的综合应用）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是双曲线 C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆 D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大 题型9：由双曲线的离心率求参数或参数的取值范围 方法技巧 1. 由得到关系，结合推出的比例关系。 2. 将用题目中的参数表示，建立方程或不等式求解。 3. 焦点位置不确定时，需分类讨论。 4. 注意隐含条件，排除增根。 【例题8.1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【例题8.2】（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 【变式8.1】（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 题型10：根据几何性质求双曲线标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点所在坐标轴，设对应标准方程；不确定则分类讨论或设一般式。 2. 根据焦点、顶点、渐近线、离心率等条件列出的方程组。 3. 联立解出，代入标准方程。 4. 最终结果分母写，保持标准形式。 【例题10.1】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 【例题10.2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【变式10.1】（第六单元双曲线B卷�名师原创能力提升卷）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式10.2】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 题型11：双曲线的应用 方法技巧 1. 建立平面直角坐标系，将实际问题抽象为双曲线模型。 2. 从题意中提取实轴、虚轴、焦点等几何量，求出双曲线方程。 3. 利用双曲线的定义、性质求解实际问题，如测距、光学反射等。 4. 分清实际长度对应，注意单位统一。 【例题11.1】（25-26高三下·重庆·开学考试）瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题11.2】（25-26高二下·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【变式11.1】（25-26高二下·上海·期中）、、是我方三个炮兵阵地.地在地的正东，相距；地在地的北偏西，相距.为敌方炮兵阵地.某时刻地发现地某种信号，12秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为/秒）.若从地炮击地，准确炮击的方位角是__________. 【变式11.2】（25-26高二下·上海·阶段检测）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. (1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程（不需写过程）； AB段：___________________；BC段：___________________；CD段：___________________. (2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？ 题型12：双曲线第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 方法技巧 1. 第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数（）的点的轨迹是双曲线（定点不在定直线上）。 2. 准线方程： (1) 焦点在轴：准线为 (2) 焦点在轴：准线为 3. 焦半径公式 (1) 焦点在轴，双曲线上点：（到左焦点），（到右焦点） (2) 焦点在轴，双曲线上点：（到下焦点），（到上焦点） 【例题12.1】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）若动点满足，则动点P的轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【例题12.2】（26-27高二上·全国·课后作业）在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 【变式12.1】（2026高三·全国·专题练习）已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【变式12.2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 内容概览 2 🔷知识点一　双曲线的范围 2 🔷知识点二　双曲线的对称性 2 🔷知识点三　双曲线的顶点与基本量 2 🔷知识点四　双曲线的渐近线 3 🔷知识点五　双曲线的离心率 3 🔷知识点六　核心参数关系（）与双曲线性质总结 4 🔷知识点七　拓展：双曲线的第二定义、准线、焦半径 5 5 易错点1：混淆双曲线与椭圆的范围 5 易错点2：误认为虚轴顶点是双曲线的顶点 6 易错点3：渐近线方程记混，焦点轴与斜率对应错误 7 易错点4：离心率公式/范围与椭圆混淆 7 易错点5：已知渐近线求双曲线方程，漏解或设方程错误 8 9 题型1：求双曲线的焦点、焦距 9 题型2：双曲线的范围 11 题型3：双曲线的对称性 14 题型4：双曲线的顶点、实轴、虚轴 16 题型5：等轴双曲线 17 题型6：双曲线的渐近线 19 题型7：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 22 题型8：双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 24 题型9：由双曲线的离心率求参数或参数的取值范围 27 题型10：根据几何性质求双曲线标准方程 30 题型11：双曲线的应用 33 题型12：双曲线第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 37 🔷知识点一　双曲线的范围 1. 以焦点在轴的双曲线为例： (1) 的范围：或，双曲线向左右两侧无限延伸。 (2) 的范围：，纵坐标可取任意实数，无上下边界。 (3) 几何意义：双曲线位于直线的外侧，是无限延伸的开放曲线，不是封闭图形。 2. 焦点在轴时，对应或，。 ⚠️特别提醒 · 与椭圆本质区别：椭圆是有界封闭曲线，双曲线是无界开放曲线，只有实轴方向有边界，另一方向无限延伸。 · 双曲线上点的横坐标不能取之间的值，涉及取值范围问题要注意剔除该区间。 🔷知识点二　双曲线的对称性 双曲线的对称性与椭圆完全一致： 1. 轴对称：轴、轴都是双曲线的对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合； 2. 中心对称：坐标原点是双曲线的对称中心，简称双曲线的中心； 3. 坐标规律：若点在双曲线上，则点、、也都在双曲线上。 ⚠ 特别提醒 · 对称性的用法和椭圆相同，可用于简化坐标计算、对称弦问题，但注意双曲线分两支，对称点可能在另一支上。 🔷知识点三　双曲线的顶点与基本量 1. 顶点：双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点。 (1) 焦点在轴：顶点为，共2个。 (2) 焦点在轴：顶点为，共2个。 2. 实轴：连接两个顶点的线段，叫做双曲线的实轴；实轴长为，叫做实半轴长。 3. 虚轴：以焦点在轴为例，在对应另一根对称轴上，从到的线段，叫做双曲线的虚轴；虚轴长为，叫做虚半轴长。 注意：虚轴的两个端点不在双曲线上，不是双曲线的顶点。 4. 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，即。 ⚠ 特别提醒 · 双曲线只有2个顶点，不是4个，只有实轴顶点是双曲线上的点，虚轴顶点不属于双曲线上的点，这是和椭圆的重要区别。 · 等轴双曲线的渐近线为，离心率，是高频考查的特殊双曲线。 🔷知识点四　双曲线的渐近线 1. 定义：双曲线无限接近但永远不会相交的直线，叫做双曲线的渐近线。 2. 渐近线方程： (1) 焦点在轴： (2) 焦点在轴： 3. 快速推导法：令双曲线标准方程右边的为，因式分解后即可得到渐近线方程。 例如： 4. 几何意义：渐近线是双曲线向外无限延伸时无限逼近，但永远不相交的直线。 ⚠ 特别提醒 · 记忆口诀：焦点在哪轴，哪轴是实轴。 · 已知渐近线求双曲线方程的技巧：若渐近线为，可设双曲线方程为，焦点在轴，焦点在轴，避免分类讨论。 🔷知识点五　双曲线的离心率 1. 定义：双曲线的焦距与实轴长的比值，叫做双曲线的离心率，记作。 2. 核心公式： 3. 取值范围： 4. 几何意义：刻画双曲线开口的开阔程度 (1) a不变的前提下，越大，越大，也越大，双曲线的开口越开阔。 (2) a不变的前提下，越接近，越接近，越小，双曲线的开口越窄。 (3) 等轴双曲线，对应。 ⚠ 特别提醒 · 注意和椭圆区分：椭圆离心率，双曲线；对应抛物线，可对比记忆。 · 离心率是比值，只反映开口形状，与双曲线的整体大小无关。 🔷知识点六　核心参数关系（）与双曲线性质总结 1. 核心恒等式：（为最大参数） 2. 离心率变形： 3. 四个参数，已知任意两个，可求出其余两个。 4. 双曲线性质总结 标准方程 图形 性质 范围 或， 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ， ， 渐近线 离心率 ， 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长度；线段叫做双曲线的虚轴，它的长度；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 ，，的关系 ⚠ 特别提醒 · 对比椭圆：椭圆中最大，；双曲线中最大，，切勿混淆。 · 求离心率优先用齐次法：将条件转化为关于的n次齐次方程，两边同除以直接得到关于的方程。 🔷知识点七　拓展：双曲线的第二定义、准线、焦半径 1. 第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数（）的点的轨迹是双曲线（定点不在定直线上）。 2. 准线方程： (1) 焦点在轴：准线为 (2) 焦点在轴：准线为 3. 焦半径公式 (1) 焦点在轴，双曲线上点： 1　 右支上点：（到左焦点），（到右焦点） 2　 左支上点：（到左焦点），（到右焦点） (2) 焦点在轴，双曲线上点： 1　 上支上点：（到下焦点），（到上焦点） 2　 下支上点：（到下焦点），（到上焦点） ⚠ 特别提醒 · 焦点与准线遵循同侧对应原则：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线；下焦点对应下准线，上焦点对应上准线； · 焦半径统一记忆规律：点在哪一支，到远焦点的距离加，到近焦点的距离减，计算结果恒为正值，可据此验证符号是否正确。 · 焦半径公式选择填空题可直接使用，解答题需结合第二定义推导后再使用。 易错点1：混淆双曲线与椭圆的范围 【易错点】 受椭圆思维定式影响，认为双曲线的都有取值范围，或误以为双曲线是封闭曲线，求最值时忽略其无限延伸的特性。 【易错消除】 牢记核心区别：椭圆有界封闭，双曲线开放无界。 焦点在轴的双曲线：或，；焦点在轴时：或，。 求最值时注意：双曲线仅实轴方向有边界，虚轴方向可趋向无穷。 【易错例题】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 易错点2：误认为虚轴顶点是双曲线的顶点 【易错点】 类比椭圆的四个顶点，误认为双曲线也有四个顶点，把虚轴端点当成双曲线的顶点。 【易错消除】 双曲线的顶点是曲线与对称轴的交点，只有实轴上的2个；虚轴端点不在双曲线上，不是顶点。 记忆：椭圆四个顶点，双曲线两个顶点。 【易错例题】（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算． 【详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 易错点3：渐近线方程记混，焦点轴与斜率对应错误 【易错点】 焦点在轴和轴的渐近线斜率分子分母颠倒。 【易错消除】 令标准方程右边的为，解出就是渐近线方程。 【易错例题】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入双曲线方程得， 解得， 所以的渐近线方程为 易错点4：离心率公式/范围与椭圆混淆 【易错点】 记错离心率范围，或记反公式。 【易错消除】 对比记忆： 椭圆：最大，，。 双曲线：最大，，。 看到离心率先看范围，可快速判断曲线类型。 【易错例题】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【分析】先用双曲线定义表示出两条焦半径长度，再对焦点三角形用余弦定理，建立关系式，算出离心率． 【详解】设，则， 由双曲线定义可得， 即， 所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得， 故离心率． 易错点5：已知渐近线求双曲线方程，漏解或设方程错误 【易错点】 已知渐近线方程求双曲线时，默认焦点在轴求解，漏掉焦点在轴的情况；或不会用共渐近线系方程简化计算。 【易错消除】 已知渐近线，统一设双曲线为： (1) ，焦点在轴； (2) ，焦点在轴； 代入条件求出即可，自动包含两种情况，避免漏解。 【易错例题】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由双曲线的定义求出，再根据双曲线共渐近线设出双曲线的方程，分焦点在轴上与在轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题可知，解得. 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为. 故选：AC. 题型1：求双曲线的焦点、焦距 方法技巧 1. 先将方程化为标准形式，正项对应的分母为；正项在下焦点在轴，正项在下焦点在轴。 2. 利用关系式计算，焦距为。 3. 根据焦点所在坐标轴，写出焦点坐标或。 4. 注意区分双曲线与椭圆的差异。 【例题1.1】（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）双曲线的焦点坐标为_________. 【答案】 【详解】因为方程是双曲线， 所以两个分母异号， 因为，所以必须满足 且 ， 即双曲线的标准形式为， 则，， 则， 解得，即， 又双曲线焦点在轴上，则焦点坐标为. 【例题1.2】（26-27高三上·云南·阶段检测）双曲线的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在双曲线中，，，所以， 故双曲线的焦距为. 【变式1.1】（25-26高二上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线焦点相同建立方程求出参数即可. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴上， 设半焦距为，由双曲线性质得：， 因为椭圆与双曲线焦点相同，故椭圆的焦点也在轴上，即， 由椭圆的性质得：， 所以，即，由，解得：. 【变式1.2】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 【答案】 18 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程特征、焦距定义求出半焦距，再利用双曲线中的关系求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，因此该双曲线的实半轴长平方，虚半轴长平方，且， 又双曲线的焦距为10，由焦距定义得，解得半焦距， 根据双曲线的基本性质，将、、代入得： ，即， 解得，符合的要求, 题型2：双曲线的范围 方法技巧 1. 焦点在轴的双曲线，，。 2. 焦点在轴的双曲线，，。 3. 双曲线向两侧无限延伸，无封闭边界，解题时注意定义域限制。 【例题2.1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 【例题2.2】（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 【变式2.1】（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 【变式2.2】（2025·云南昆明·模拟预测）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】由双曲线定义可得，再设，计算可得、，再结合的范围计算即可得. 【详解】对于双曲线，有，，， 所以，设，则， 所以， ， 故，因为，所以， 所以，即的最小值为.    故答案为：. 题型3：双曲线的对称性 方法技巧 1. 双曲线关于轴、轴、原点中心对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 2. 点在双曲线上，则、、均在双曲线上。 3. 解题时可利用对称性简化计算，已知一支上的点可直接写出对称点。 【例题3.1】（2025·江西萍乡·三模）（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 【答案】BD 【分析】根据特例可判断BD正误，根据渐近线夹角可判断AC正误. 【详解】不妨令，轴；当时，四边形为等腰梯形， 当时，四边形为矩形，故B，D正确； 因为为等轴双曲线，所以两条渐近线之间的夹角为， 故四边形的对角线必不可能相互垂直， 故A，C错误. 故选：BD. 【例题3.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 【变式3.1】（2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 【变式3.2】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由双曲线和椭圆的对称性可得垂直于轴，故为椭圆和双曲线的通径. 设，由椭圆可得， 在椭圆方程中令，则， 在双曲线方程中令，则， 由题意且，故即， 故或（舍），故. 题型4：双曲线的顶点、实轴、虚轴 方法技巧 1. 顶点：焦点在轴时顶点为；焦点在轴时顶点为。 2. 实轴：两顶点之间的线段，长为，为实半轴长。 3. 虚轴：对应线段长为，为虚半轴长，虚轴端点不在双曲线上。 4. 令正项变量为0可求顶点，实轴始终与焦点所在坐标轴一致。 【例题4.1】（26-27高三上·广东·阶段检测）双曲线的实轴长为_________． 【答案】 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，可得，所以双曲线的实轴长. 【例题4.2】（25-26高三下·安徽淮北·阶段检测）已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的顶点为， 依题意，椭圆的焦点为， 则椭圆的半焦距为，半短轴长为， 因，则椭圆的离心率为． 【变式4.1】（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则________. 【答案】1 【分析】根据给定条件，确定双曲线的焦点位置，再列式计算即得. 【详解】显然恒成立，则双曲线的焦点在x轴上， 于是，所以. 故答案为：1 【变式4.2】（26-27高二上·广西梧州·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则（    ） A．的顶点坐标为、 B．的实半轴长为 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，确定焦点在轴上，求出的取值，再结合双曲线的几何性质逐一判断各选项. 【详解】将双曲线化为标准形式：， 可得，即，，即. 选项A：该双曲线焦点在轴上，顶点坐标为，故A错误； 选项B：由可知实半轴长为，故B正确； 选项C：离心率，故C正确； 选项D：焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，整理得，故D正确. 题型5：等轴双曲线 方法技巧 1. 定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线，即。 2. 标准方程可设为，焦点在轴，焦点在轴。 3. 离心率，渐近线方程为，两条渐近线互相垂直。 4. 满足、、渐近线中任意两条，可推出第三条。 【例题5.1】（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【答案】 【详解】直线中，令，得， 所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以． 因为双曲线为等轴双曲线，即，所以， 即，故等轴双曲线方程为． 【例题5.2】（2026·河北·三模）（多选）已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由双曲线，得，解得，A正确； 对于B，由，得双曲线的焦距为，为定值，B正确； 对于C，由双曲线为等轴双曲线，得，解得，C正确； 对于D，由双曲线的渐近线方程为，得，解得，D错误. 【变式5.1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 故答案为：. 【变式5.2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．若是椭圆，则实数的取值范围是 B．若是双曲线，则两点在轴上 C．若，则周长为8 D．若，则的实轴和虚轴长度相等 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义可判断AC；根据双曲线的定义和性质可判断BD. 【详解】对于A，若是椭圆，则，所以实数的取值范围是， 故A错误； 对于B，若是双曲线，则，则两点在轴上，故B正确； 对于C，若，则曲线是两点在轴上的椭圆， 且，所以，， 则周长为，故C正确； 对于D，若，则曲线是两点在轴上的双曲线， 且，即，，则的实轴和虚轴长度相等，故D正确. 题型6：双曲线的渐近线 方法技巧 1. 焦点在轴：渐近线方程；焦点在轴：渐近线方程。 2. 快速求法：将标准方程右边的改为，因式分解即可得到渐近线方程。 3. 与双曲线共渐近线的双曲线，可统一设为； 时，焦点在轴；时，焦点在轴。 4. 双曲线无限接近渐近线但永不相交，可通过渐近线刻画开口大小。 【例题6.1】（26-27高二上·云南·期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率公式得，再利用渐近线公式即可得到答案. 【详解】由双曲线的离心率为2，得 ，解得， 则双曲线的渐近线方程为，即. 【例题6.2】（26-27高二上·河北保定·期中）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【详解】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 【变式6.1】（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，渐近线方程为， 因为右焦点到该渐近线的距离为，所以，得， 故的实轴长为. 【变式6.2】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】化简双曲线的方程为，求得，结合选项，利用双曲线的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得，其中 则，所以，可得， 对于A，由双曲线的定义，可得， 当时，；当时，，所以A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，所以B正确； 对于C，由双曲线的离心率为，所以C正确； 对于D，设坐标原点为， 根据向量的运算法则，可得，所以， 当时，双曲线，此时，可得， 所以，所以D正确. 题型7：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 方法技巧 1. 离心率定义，双曲线满足，且。 2. 求具体离心率：构造的等量关系，消去，求解。 3. 求离心率范围：建立的不等式，转化为关于的不等式求解。 4. 常用变形，优先构造齐次式，同除以转化为的方程。 【例题7.1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线C的离心率． 【例题7.2】（24-25高三下·山东聊城·阶段检测）已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解. 【详解】由可知圆心，半径为， 双曲线的渐近线方程为， 的一条渐近线与圆没有公共点，则，解得， 故选：A 【变式7.1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义求出各线段长度，借助公共角的余弦值相等建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 【变式7.2】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 题型8：双曲线离心率大小与双曲线形状的关系 方法技巧 1. 越大，越大，渐近线斜率绝对值越大，双曲线开口越开阔。 2. 越接近，越接近，双曲线开口越扁狭，越靠近焦点轴。 3. 等轴双曲线，是开口宽窄的分界。 4. 离心率仅刻画开口形状，与双曲线的位置、整体大小无关。 【例题8.1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 【答案】/ 【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解. 【详解】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 【例题8.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 【答案】BC 【分析】根据椭圆以及双曲线的离心率公式，即可结合性质求解. 【详解】对于AB，椭圆的离心率，故离心率越大，越小，因此椭圆越扁平，故A不正确，B正确； 对于CD，双曲线的离心率，故离心率越大，可得越大，因此双曲线开口越大，C正确，D错误； 故选：BC． 【变式8.1】（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 【变式8.2】（第46练 圆锥曲线的综合应用）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是双曲线 C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆 D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大 【答案】BD 【分析】结合椭圆和双曲线的定义及其性质，根据曲线方程的形式对每一个选项进行逐一判断即可. 【详解】若曲线是椭圆，则满足，此时解得且，或且，故选项A错误． 若曲线是双曲线，则满足时，此时解得，故选项B正确． 当曲线是椭圆时，记该椭圆的离心率为，若，即4，则，当越大，即越大时，越小，椭圆越圆； 若，即，则，当越大，即越大时，越大，椭圆越扁，故选项C错误． 当曲线是双曲线时，记该双曲线的离心率为，则，即，， 当越小，即越小时，越大，所以双曲线的开口越大，故选项D正确． 故选：BD． 题型9：由双曲线的离心率求参数或参数的取值范围 方法技巧 1. 由得到关系，结合推出的比例关系。 2. 将用题目中的参数表示，建立方程或不等式求解。 3. 焦点位置不确定时，需分类讨论。 4. 注意隐含条件，排除增根。 【例题8.1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆、双曲线的离心率公式结合可得出关于的等式，求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】设椭圆、双曲线的半焦距长分别为、， 由题意可知，椭圆、双曲线的焦点都在轴上，所以，， ，， 由可得，解得， 故双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A. 【例题8.2】（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【分析】本题利用双曲线离心率公式得到的取值范围，再结合两直线夹角定义、通径公式、焦点到渐近线距离的二级结论，逐一对四个选项进行推理判断，完成多选． 【详解】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 【变式8.1】（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 【变式8.2】（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 题型10：根据几何性质求双曲线标准方程 方法技巧 1. 先判断焦点所在坐标轴，设对应标准方程；不确定则分类讨论或设一般式。 2. 根据焦点、顶点、渐近线、离心率等条件列出的方程组。 3. 联立解出，代入标准方程。 4. 最终结果分母写，保持标准形式。 【例题10.1】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程. 【详解】（1）由题设，且，则，， 又顶点在轴上，故双曲线的标准方程为. （2）由题设，，则， 又一个焦点为，故双曲线的标准方程为. （3）由题设，，又焦点在轴上，令双曲线的标准方程为， 又一条渐近线方程为，即，则， 所以双曲线的标准方程为. 【例题10.2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线夹角求出的两种可能，由离心率范围舍去一种，再验证各选项中 的比值得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 两条渐近线夹角为，则渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 由离心率定义，结合，得. 已知，故，即. 若，则，，不符合的要求，故舍去，仅保留，即. 验证选项： 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，此时，满足所有条件. 【变式10.1】（第六单元双曲线B卷�名师原创能力提升卷）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线与双曲线N共渐近线设出双曲线M的方程，分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题意易知． 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为． 故选：D 【变式10.2】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答案. 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 题型11：双曲线的应用 方法技巧 1. 建立平面直角坐标系，将实际问题抽象为双曲线模型。 2. 从题意中提取实轴、虚轴、焦点等几何量，求出双曲线方程。 3. 利用双曲线的定义、性质求解实际问题，如测距、光学反射等。 4. 分清实际长度对应，注意单位统一。 【例题11.1】（25-26高三下·重庆·开学考试）瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建合适的直角坐标系并设出对应的双曲线方程，根据实轴长、所过的点求参数，即可得离心率. 【详解】构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点，实轴长为，即， 双曲线的焦点在轴上，设为，则，故离心率. 【例题11.2】（25-26高二下·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 【变式11.1】（25-26高二下·上海·期中）、、是我方三个炮兵阵地.地在地的正东，相距；地在地的北偏西，相距.为敌方炮兵阵地.某时刻地发现地某种信号，12秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为/秒）.若从地炮击地，准确炮击的方位角是__________. 【答案】北偏东. 【分析】以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可知在以，为焦点的双曲线的右支上，可求出点的轨迹方程，再求出线段的垂直平分线方程，联立两个方程可得点的坐标，再求即可求解. 【详解】以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，正东方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，， 因为， 所以在以，为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为，则，， 可得， 所以双曲线方程为， 即敌方炮兵阵地P可能分布在以，为焦点的双曲线的右支上，该轨迹的方程为； ，，所以， 因为C地与B地同时发现该信号， 所以，所以在线段的垂直平分线上， 因为，线段的中点坐标， 所以直线的方程为：，即， 由可得：， 即，解得：或（舍） 所以，，所以， ，所以， 所以点在点的北偏东方向，即准确炮击的方位角为北偏东. 【变式11.2】（25-26高二下·上海·阶段检测）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. (1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程（不需写过程）； AB段：___________________；BC段：___________________；CD段：___________________. (2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？ 【答案】(1)AB段：；BC段：；CD段： (2) 【分析】(1)利用双曲线及圆的定义判断即可. (2)由两点间距离公式再转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6， ∴线路段所在的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支（一部分），则其方程为； ∵线路段上任意一点到O的距离都相等，∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆， 则其方程为； ∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6， ∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支（一部分）， 则其方程为； （2）设，由，则， 由（1）得，， 即，则，∴当时，； 则站点为时，站点G到景点Q的距离最近. 题型12：双曲线第二定义、准线、焦半径的应用（拓展） 方法技巧 1. 第二定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数（）的点的轨迹是双曲线（定点不在定直线上）。 2. 准线方程： (1) 焦点在轴：准线为 (2) 焦点在轴：准线为 3. 焦半径公式 (1) 焦点在轴，双曲线上点：（到左焦点），（到右焦点） (2) 焦点在轴，双曲线上点：（到下焦点），（到上焦点） 【例题12.1】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）若动点满足，则动点P的轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据双曲线第二定义可得答案. 【详解】由等式可得 ， 即动点P到定点与定直线的距离之比为且大于1， 而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线. 故选：B 【例题12.2】（26-27高二上·全国·课后作业）在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线第二定义，可得，，，再结合即可求解. 【详解】已知双曲线方程，则，，， 根据双曲线的第二定义得，即， 同理，，， 因为，所以，解得． 【变式12.1】（2026高三·全国·专题练习）已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】如图，设A，B到右准线的距离分别是. 由双曲线定义知： . 设弦AB中点为M，它到准线l的距离为MN，则， 从而有. . . 因此以为直径的圆与右准线的位置关系是相交. 【变式12.2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $