2.2.3 直线的一般式方程（知识清单，知识点+五大易错点+九大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学资料聚焦“直线的一般式方程”，从定义（二元一次方程，A、B不同时为0）切入，关联点斜式、斜截式等五种方程形式，明确适用范围与互化条件，延伸至两条直线平行垂直的判定，扩展方向向量、法向量知识，构建完整学习支架。 知识链路按“定义-方程形式-位置关系-扩展应用”逻辑展开，通过表格对比方程形式与位置关系，易错点警示隐含条件与等价性，题型涵盖辨析、互化、综合应用等。结合待定系数法等技巧，培养数学思维的严谨性，提升用数学语言解决问题的应用意识。

第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程 1 🔷知识点一　直线的一般式方程 2 🔷知识点二　直线的五种方程 2 🔷知识点三　两条直线的位置关系 3 🔷知识点四　平行、垂直的直线的设法 4 🔷知识点五　 扩展：直线的方向向量、法向量和参数方程 4 4 易错点1：忽略一般式方程对系数的隐含要求 5 易错点2：不同形式方程互化时忽略等价性 5 易错点3：求一般式方程时遗漏特殊直线 5 易错点4：平行判定条件记忆混淆 6 易错点5：垂直的判定条件记忆混淆 6 6 题型1：直线的一般式方程及辨析 6 题型2：直线一般式方程与其他形式之间的互化 7 题型3：由一般式方程判断直线的平行 8 题型4：由一般式方程判断直线的垂直 9 题型5：由两条直线平行求方程 9 题型6：由两条直线垂直求方程 10 题型7：直线过定点问题 11 题型8：直线的方向向量、法向量 11 题型9：直线方程的综合应用 12 🔷知识点一　直线的一般式方程 1. 定义：关于x，y的二元一次方程____（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2. 适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用__二元一次方程__表示． ⚠️特别提醒 若直线的一般方程为， (1) 当时，，直线的斜率为___，横截距为____，纵截距为____； (2) 当时，直线的斜率为__0__，横截距__不存在__，纵截距为____； (3) 当时，，直线的斜率__不存在__，横截距____，纵截距__不存在__； (4) 当C=0时，对应直线过原点. 🔷知识点二　直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距） _______    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示垂直于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 一般式 为系数 任何位置的直线 ⚠ 特别提醒 几种特殊位置的直线方程 (1) x轴：y=0； (2) y轴：x=0； (3) 垂直于y轴的直线：y=b(常数)，斜率为0； (4) 垂直于x轴的直线：x=a(常数)，斜率不存在； (5) 过原点且斜率为k的直线：y=kx. 🔷知识点三　两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 相交 _____ _____ 当时，记为 垂直 __或__ ___ 当时，记为 平行 ____且____ 或， 当时，记为 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 🔷知识点四　平行、垂直的直线的设法 1. 平行直线方程设法 与直线平行的直线方程可设为，当时，两直线重合. 2. 垂直直线方程设法 与直线垂直的直线方程可设为. ⚠ 特别提醒 1. 平行：x、y 的系数保持不变，只改动常数项. 2. 垂直：A，B互换位置，其中一项变号，常数项换. 3. 为待定参数，一般代入已知点求解. 🔷知识点五　 扩展：直线的方向向量、法向量和参数方程 1. 直线的方向向量 (1) 在直线l上任取两个不同的点，向量是直线l的一个方向向量，则的坐标为____． (2) 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． (3) 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． (4) 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。利用这一特性可以灵活转化． 2. 直线的法向量 一般地，与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的_法向量_；以直线l的一般式方程（a、b不同时为零）的一次项系数为坐标的向量是直线l的一个法向量. 3. 直线的参数方程 直线l经过点，倾斜角为，则直线l的参数方程为 易错点1：忽略一般式方程对系数的隐含要求 【易错点】 直线的一般式方程，忽略隐藏条件A，B不同时为0． 【易错消除】 关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程． 【易错例题】（24-25高二上·全国·课前预习）方程______称为直线的一般式方程，简称一般式． 易错点2：不同形式方程互化时忽略等价性 【易错点】 一般式化为其他形式忽略有限制条件． 【易错消除】 若直线的一般方程为， (1) 当时，，直线的斜率为___，横截距为____，纵截距为____； (2) 当时，直线的斜率为__0__，横截距__不存在__，纵截距为____； (3) 当时，，直线的斜率__不存在__，横截距____，纵截距__不存在__； (4) 当C=0时，对应直线过原点. 【易错例题】（第01讲直线的方程（专项训练））求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 易错点3：求一般式方程时遗漏特殊直线 【易错点】 根据条件求直线方程，容易漏掉特殊直线. 【易错消除】 几种特殊位置的直线方程 (1) x轴：y=0； (2) y轴：x=0； (3) 垂直于y轴的直线：y=b(常数)，斜率为0； (4) 垂直于x轴的直线：x=a(常数)，斜率不存在； (5) 过原点且斜率为k的直线：y=kx. 【易错例题】（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 易错点4：平行判定条件记忆混淆 【易错点】 没有检验常数项，排除重合的可能性. 【易错消除】 1. 已知，若，则两直线平行. 2. 与直线平行的直线方程可设为，当时，两直线重合. 【易错例题】（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 易错点5：垂直的判定条件记忆混淆 【易错点】 仍然只用判断垂直，漏掉一条竖直线、一条水平线垂直的情况. 【易错消除】 已知，若 ，则两直线垂直． 【易错例题】（第6讲直线五方程各自有千秋）已知直线，，若，则实数______． 题型1：直线的一般式方程及辨析 方法技巧 利用待定系数法求直线方程的步骤: 1. 设方程：明确一般式方程的标准形式为（其中A，B不同时为0）. 2. 代入条件求系数：求出参数后，检验A，B不同时为0，若同时为0，则该方程不代表直线，需要舍去. 3. 通常习惯将 A 化为正数，且 A、B、C 尽量取整数，方便后续计算. 【例题1.1】（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【例题1.2】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【变式1.1】（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 题型2：直线一般式方程与其他形式之间的互化 方法技巧 直线方程形式的选择方法: 1. 已知一点坐标，常选择点斜式，注意斜率不存在时，是否满足题意. 2. 已知斜率选择斜截式或点斜式. 3. 已知两坐标轴上的截距(都不为0)时选择截距式，含参问题需注意截距为0时是否满足题意. 4. 已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. 【例题2.1】（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2.2】（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2.1】（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 【变式2.2】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 题型3：由一般式方程判断直线的平行 方法技巧 已知： 1. 若，则两直线平行． 2. 切勿只验证交叉相乘相等，必须同时验证常数项不成比例，以防两直线重合． 3. 对于含参方程，优先考虑系数为0导致斜率不存在的情况． 【例题3.1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【例题3.2】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【变式3.1】（25-26高三上·山东德州·期末）直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.2】（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 题型4：由一般式方程判断直线的垂直 方法技巧 已知： 1. 若 ，则两直线垂直． 2. 该公式无需讨论斜率是否存在，适用于所有直线，比斜率乘积法更安全快捷． 3. 记忆口诀：对应系数相乘再相加等于0． 【例题4.1】（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例题4.2】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4.1】（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·上海·课堂例题）在中，设a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，求直线与直线的夹角． 题型5：由两条直线平行求方程 方法技巧 1. 与直线平行的直线方程可设为，当时，两直线重合. 2. 一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为 3. 利用平行直线(斜率存在)的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程. 【例题5.1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题5.2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 【变式5.1】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·四川阿坝·期中）已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； (3)求边上的高所在直线方程． 题型6：由两条直线垂直求方程 方法技巧 1. 一般地，与直线垂直的直线方程可设为 2. 过点且与直线垂直的直线方程可设为. 3. 利用垂直直线的斜率之积为-1求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在的情况). 【例题6.1】（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题6.2】（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【变式6.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 题型7：直线过定点问题 方法技巧 分离参数法证明一条含参数k 的直线恒过某个定点： 1. 将方程整理为关于参数 k 的形式，即． 2. ，解方程组得到的 (x,y)即为定点坐标． 【例题7.1】（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【例题7.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【变式7.1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【变式7.2】（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 题型8：直线的方向向量、法向量 方法技巧 1. 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 3. 对于直线，其法向量为 ． 【例题8.1】（25-26高二上·上海·期末）直线的一个法向量为______． 【例题8.2】（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【变式8.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 题型9：直线方程的综合应用 方法技巧 将直线方程与几何图形、最值问题、实际应用问题结合： 1. 数形结合：画出图形，利用几何性质（如对称、面积、距离）辅助解题． 2. 分类讨论：涉及斜率不存在、截距为0、参数正负等情况时，务必分类讨论，防止漏解． 3. 转化思想：将几何条件转化为代数方程（如平行、垂直、共线），再通过解方程求解． 【例题9.1】（25-26高二·全国·暑假作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【例题9.2】（25-26高二上·浙江台州·期中）已知点， (1)求的面积； (2)是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式9.1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【变式9.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程 1 🔷知识点一　直线的一般式方程 2 🔷知识点二　直线的五种方程 2 🔷知识点三　两条直线的位置关系 3 🔷知识点四　平行、垂直的直线的设法 4 🔷知识点五　 扩展：直线的方向向量、法向量和参数方程 4 4 易错点1：忽略一般式方程对系数的隐含要求 5 易错点2：不同形式方程互化时忽略等价性 5 易错点3：求一般式方程时遗漏特殊直线 6 易错点4：平行判定条件记忆混淆 7 易错点5：垂直的判定条件记忆混淆 7 8 题型1：直线的一般式方程及辨析 8 题型2：直线一般式方程与其他形式之间的互化 10 题型3：由一般式方程判断直线的平行 12 题型4：由一般式方程判断直线的垂直 14 题型5：由两条直线平行求方程 15 题型6：由两条直线垂直求方程 18 题型7：直线过定点问题 20 题型8：直线的方向向量、法向量 22 题型9：直线方程的综合应用 24 🔷知识点一　直线的一般式方程 1. 定义：关于x，y的二元一次方程____（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2. 适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用__二元一次方程__表示． ⚠️特别提醒 若直线的一般方程为， (1) 当时，，直线的斜率为___，横截距为____，纵截距为____； (2) 当时，直线的斜率为__0__，横截距__不存在__，纵截距为____； (3) 当时，，直线的斜率__不存在__，横截距____，纵截距__不存在__； (4) 当C=0时，对应直线过原点. 🔷知识点二　直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距） _______    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示垂直于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 一般式 为系数 任何位置的直线 ⚠ 特别提醒 几种特殊位置的直线方程 (1) x轴：y=0； (2) y轴：x=0； (3) 垂直于y轴的直线：y=b(常数)，斜率为0； (4) 垂直于x轴的直线：x=a(常数)，斜率不存在； (5) 过原点且斜率为k的直线：y=kx. 🔷知识点三　两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 相交 _____ _____ 当时，记为 垂直 __或__ ___ 当时，记为 平行 ____且____ 或， 当时，记为 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 🔷知识点四　平行、垂直的直线的设法 1. 平行直线方程设法 与直线平行的直线方程可设为，当时，两直线重合. 2. 垂直直线方程设法 与直线垂直的直线方程可设为. ⚠ 特别提醒 1. 平行：x、y 的系数保持不变，只改动常数项. 2. 垂直：A，B互换位置，其中一项变号，常数项换. 3. 为待定参数，一般代入已知点求解. 🔷知识点五　 扩展：直线的方向向量、法向量和参数方程 1. 直线的方向向量 (1) 在直线l上任取两个不同的点，向量是直线l的一个方向向量，则的坐标为____． (2) 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． (3) 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． (4) 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。利用这一特性可以灵活转化． 2. 直线的法向量 一般地，与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的_法向量_；以直线l的一般式方程（a、b不同时为零）的一次项系数为坐标的向量是直线l的一个法向量. 3. 直线的参数方程 直线l经过点，倾斜角为，则直线l的参数方程为 易错点1：忽略一般式方程对系数的隐含要求 【易错点】 直线的一般式方程，忽略隐藏条件A，B不同时为0． 【易错消除】 关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程． 【易错例题】（24-25高二上·全国·课前预习）方程______称为直线的一般式方程，简称一般式． 【答案】（，不同时为0） 【分析】根据直线的一般式填空. 【详解】故答案为：（不同时为0） 易错点2：不同形式方程互化时忽略等价性 【易错点】 一般式化为其他形式忽略有限制条件． 【易错消除】 若直线的一般方程为， (1) 当时，，直线的斜率为___，横截距为____，纵截距为____； (2) 当时，直线的斜率为__0__，横截距__不存在__，纵截距为____； (3) 当时，，直线的斜率__不存在__，横截距____，纵截距__不存在__； (4) 当C=0时，对应直线过原点. 【易错例题】（第01讲直线的方程（专项训练））求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 易错点3：求一般式方程时遗漏特殊直线 【易错点】 根据条件求直线方程，容易漏掉特殊直线. 【易错消除】 几种特殊位置的直线方程 (1) x轴：y=0； (2) y轴：x=0； (3) 垂直于y轴的直线：y=b(常数)，斜率为0； (4) 垂直于x轴的直线：x=a(常数)，斜率不存在； (5) 过原点且斜率为k的直线：y=kx. 【易错例题】（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 【答案】ABD 【分析】根据直线l的方程，分和两类讨论，分别求出直线l的横截距和纵截距，根据题意列出方程即可求解. 【详解】当时，直线l的方程为，纵截距为，无横截距，不满足题意； 当时，令，得；令，得， 此时直线l的纵截距为，横截距为. 由题意得，所以或， 解得或或. 故选：ABD. 易错点4：平行判定条件记忆混淆 【易错点】 没有检验常数项，排除重合的可能性. 【易错消除】 1. 已知，若，则两直线平行. 2. 与直线平行的直线方程可设为，当时，两直线重合. 【易错例题】（25-26高二上·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【答案】 0 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 易错点5：垂直的判定条件记忆混淆 【易错点】 仍然只用判断垂直，漏掉一条竖直线、一条水平线垂直的情况. 【易错消除】 已知，若 ，则两直线垂直． 【易错例题】（第6讲直线五方程各自有千秋）已知直线，，若，则实数______． 【答案】或 【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值. 【详解】因为直线，所以，解得或． 故答案为：或 题型1：直线的一般式方程及辨析 方法技巧 利用待定系数法求直线方程的步骤: 1. 设方程：明确一般式方程的标准形式为（其中A，B不同时为0）. 2. 代入条件求系数：求出参数后，检验A，B不同时为0，若同时为0，则该方程不代表直线，需要舍去. 3. 通常习惯将 A 化为正数，且 A、B、C 尽量取整数，方便后续计算. 【例题1.1】（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 【例题1.2】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【答案】AC 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 【变式1.1】（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 【变式1.2】（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 题型2：直线一般式方程与其他形式之间的互化 方法技巧 直线方程形式的选择方法: 1. 已知一点坐标，常选择点斜式，注意斜率不存在时，是否满足题意. 2. 已知斜率选择斜截式或点斜式. 3. 已知两坐标轴上的截距(都不为0)时选择截距式，含参问题需注意截距为0时是否满足题意. 4. 已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. 【例题2.1】（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式方程，结合一般式，可得答案. 【详解】由题意可得直线方程为，化简可得. 故选：D. 【例题2.2】（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 【答案】 【分析】求出中点坐标，利用两点式求直线方程. 【详解】设中点，则，即， 所以边上的中线所在的直线方程为， 整理得， 故答案为：. 【变式2.2】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由点斜式，得直线方程为， 化成一般式即． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得直线方程为，化成一般式为. 题型3：由一般式方程判断直线的平行 方法技巧 已知： 1. 若，则两直线平行． 2. 切勿只验证交叉相乘相等，必须同时验证常数项不成比例，以防两直线重合． 3. 对于含参方程，优先考虑系数为0导致斜率不存在的情况． 【例题3.1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 【例题3.2】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 【变式3.1】（25-26高三上·山东德州·期末）直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线的平行关系求出的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由，得，解得或， 当时，，即，，此时重合； 当时，，，此时. 综上所述，是的充要条件. 故选：A   【变式3.2】（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 题型4：由一般式方程判断直线的垂直 方法技巧 已知： 1. 若 ，则两直线垂直． 2. 该公式无需讨论斜率是否存在，适用于所有直线，比斜率乘积法更安全快捷． 3. 记忆口诀：对应系数相乘再相加等于0． 【例题4.1】（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 【例题4.2】（25-26高二上·安徽·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 【变式4.1】（25-26高二上·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 【变式4.2】（24-25高二上·上海·课堂例题）在中，设a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，求直线与直线的夹角． 【答案】 【分析】利用直线一般式垂直的性质，结合正弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得， 因为直线，直线， 所以，则两直线垂直，即两直线的夹角为． 题型5：由两条直线平行求方程 方法技巧 1. 与直线平行的直线方程可设为，当时，两直线重合. 2. 一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为 3. 利用平行直线(斜率存在)的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程. 【例题5.1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 【例题5.2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）要注意截距互为相反数包含直线过原点的特殊情形，不能只用截距式，需要分过原点和不过原点两种情况求解； （2）先利用平行直线一般式系数相等的特点，再设出直线方程后代入已知点求出常数项． 【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 可设直线的方程为．又直线过点，所以，解得． 所以直线的方程为，即． 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线过原点时， 设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得， 则直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （2）已知直线，则直线的方程可化为， 所以直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为， 即． 【变式5.1】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 【变式5.2】（25-26高二上·四川阿坝·期中）已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； (3)求边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； （2）线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； （3）因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 题型6：由两条直线垂直求方程 方法技巧 1. 一般地，与直线垂直的直线方程可设为 2. 过点且与直线垂直的直线方程可设为. 3. 利用垂直直线的斜率之积为-1求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在的情况). 【例题6.1】（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 【例题6.2】（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 【变式6.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 【变式6.2】（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由直线方程的两点式得 ，即. （2）设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. （3）设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 题型7：直线过定点问题 方法技巧 分离参数法证明一条含参数k 的直线恒过某个定点： 1. 将方程整理为关于参数 k 的形式，即． 2. ，解方程组得到的 (x,y)即为定点坐标． 【例题7.1】（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 【例题7.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 【变式7.1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【变式7.2】（25-26高二下·贵州·阶段检测）在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得，再代入直线方程即可. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 则为， 即， 令，解得，则点的坐标为. 题型8：直线的方向向量、法向量 方法技巧 1. 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 3. 对于直线，其法向量为 ． 【例题8.1】（25-26高二上·上海·期末）直线的一个法向量为______． 【答案】（答案不唯一，） 【分析】求出直线的斜率，进而求出它的一个法向量. 【详解】直线的斜率， 所以该直线的一个方向向量为，其法向量为可以为. 故答案为： 【例题8.2】（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】的法向量为，因此，故. 【变式8.1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 【变式8.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 【答案】BC 【分析】A根据方向向量与斜率的关系判断；B利用直线垂直的判定求参数即可判断；C利用两点式求线段端点处斜率，数形结合确定斜率范围；D注意不过原点且垂直于坐标轴的直线； 【详解】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，故A错； B：直线与直线互相垂直的充要条件为， 即或， 故已知条件间关系为充分不必要条件，故B对； C：由，， 由图知斜率的取值范围是，故C对； D：对于不过原点且垂直坐标轴的直线，不能用表示，故D错. 故选：BC 题型9：直线方程的综合应用 方法技巧 将直线方程与几何图形、最值问题、实际应用问题结合： 1. 数形结合：画出图形，利用几何性质（如对称、面积、距离）辅助解题． 2. 分类讨论：涉及斜率不存在、截距为0、参数正负等情况时，务必分类讨论，防止漏解． 3. 转化思想：将几何条件转化为代数方程（如平行、垂直、共线），再通过解方程求解． 【例题9.1】（25-26高二·全国·暑假作业）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【答案】(1)存在；或 (2)存在；或 【分析】（1）设所求直线方程为，根据点坐标以及的周长求得，进而求得直线方程. （2）设所求直线方程为，根据点坐标以及的面积求得，进而求得直线方程. 【详解】（1）存在．设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得，或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）存在．设直线方程为， 由题意可知 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 【例题9.2】（25-26高二上·浙江台州·期中）已知点， (1)求的面积； (2)是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）先求直线方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可； （2）分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 【详解】（1），则， 即，， 点到直线的距离， 则； （2）设点． ，， 与不垂直， 若，则， ，解得， 点． 若，则， ， 解得，点， 综上，存在点，使四边形为直角梯形，或. 【变式9.1】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【分析】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【详解】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    【变式9.2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的斜率为，倾斜角为； (2)证明： 设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； (3)不存在，理由如下： 设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 【分析】（1）直接利用直线的法向量、斜率、倾斜角定义计算即可； （2）设直线m方程，计算四边形交点，求其面积结合直线过定点计算即可； （3）设直线方程，联立直线得坐标，由弦长公式、三角形面积公式建立方程组计算参数即可说明. 【详解】（1）易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为； （2）证明略，过定点； （3）不存在，理由略. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $