2.3.2直线中的对称问题（知识清单，知识点+五大易错点+十大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.2直线中的对称问题 内容概览 1 🔷知识点一　点关于点的对称 2 🔷知识点二　点关于直线的对称 2 🔷知识点三　直线关于点的对称 2 🔷知识点四　直线关于直线的对称 3 4 易错点1：点关于点对称，混淆中点公式 4 易错点2：点关于直线对称，漏写条件 4 易错点3：直线关于点对称，混淆两直线位置关系 5 易错点4：直线关于直线对称，不分类讨论对称轴与原直线位置关系 5 易错点5：直线关于直线对称，漏掉特殊对称轴 5 6 题型1：点关于点的对称问题 6 题型2：求点关于直线的对称点 6 题型3：求两点的对称轴 7 题型4： 光线反射问题 7 题型5： 求直线关于点的对称直线 9 题型6：求关于平行直线对称的直线 9 题型7：直线关于直线对称问题（非平行） 10 题型8： 将军饮马问题求最值 11 题型9：对称解决距离的最值问题 12 题型10：直线的轨迹问题 13 🔷知识点一　点关于点的对称 点关于点的对称点为. ⚠️特别提醒 · 点关于点的对称利用中点坐标公式即可得出. 🔷知识点二　点关于直线的对称 1. 直线l的斜率存在且不为0时,求点关于直线：的对称点: (1) 中点在直线l上：设中点为A，利用中点坐标公式得A点坐标：，将A点坐标代入直线中. (2) ：，联立两个方程，求出点坐标. 2. 几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) 3. y轴 (-a,b) 4. y=x (b,a) 5. y=-x (-b,-a) 6. x=m(m≠0) (2m-a,b) 7. y=n(n≠0) (a,2n-b) ⚠ 特别提醒 · 注意斜率为零和斜率不存在的特殊情况. 🔷知识点三　直线关于点的对称 1. 方法一:在已知直线上取一点A，求出它关于已知点P的对称点B，再利用对称直线与原直线平行求直线方程. 2. 方法二:在已知直线上取两点，求其关于点的对称点，再由对称点确定对称直线. 3. 方法三:利用对称直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再由定点到两平行直线的距离相等求出待定系数，即得对称直线的方程. 4. 特别地，直线关于原点对称的直线方程是. ⚠ 特别提醒 · 两条直线关于某点对称，两条直线是平行的. · 任取点时注意选取数值简单容易计算的点。 🔷知识点四　直线关于直线的对称 1. 直线：（）和：（），求关于直线的对称直线 ①若，则设所求直线方程为，然后在上找一点，求出点关于直线的对称点，再代入即可解出. 也可由平行线间的距离相等构建关于的方程求解. ②若不平行于l，则先找出与的交点，然后在上确定一点M（不同于交点），求出这一点M关于的对称点N，由直线的两点式方程确定所求直线方程. 2. 常见的直线关于直线的对称方程 设直线为. (1) 关于轴对称的直线的方程是； (2) 关于轴对称的直线的方程是； (3) 关于直线 对称的直线的方程是； (4) 关于直线 对称的直线的方程是； (5) 关于直线 对称的直线的方程是； (6) 关于直线对称的直线的方程是. ⚠ 特别提醒 · 直线关于直线的对称，有平行和相交两种情况，根据不同的情况选择不同的方法做题． · 任取点时注意选取数值简单容易计算的点。 易错点1：点关于点对称，混淆中点公式 【易错点】 容易把中点坐标公式记反，或在含参数时漏掉对称点坐标的符号处理。 【易错消除】 点关于点 M(a,b)的对称点为。依据是 M为线段 PP′的中点。 【易错例题】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 易错点2：点关于直线对称，漏写条件 【易错点】 “中点在对称轴上”和“连线与对称轴垂直”忽略其一，导致解不出或漏解。 【易错消除】 点 关于直线的对称点 ，需同时满足： ① PP′的中点在 上； ② PP′所在直线与 垂直。 若对称轴斜率不存在，则需单独处理。 【易错例题】（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 易错点3：直线关于点对称，混淆两直线位置关系 【易错点】 容易忽略直线关于点对称后所得直线与原直线平行这一结论。 【易错消除】 直线关于直线外一点对称，所得直线与原直线平行。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 易错点4：直线关于直线对称，不分类讨论对称轴与原直线位置关系 【易错点】 容易忽略对称轴与原直线平行、相交两种情况的区别，统一按一种方法处理。 【易错消除】 分两种情况： ① 若原直线与对称轴平行，则所求直线与原直线平行，且到对称轴的距离相等； ② 若原直线与对称轴相交，先求交点，再在已知直线上取一点求其关于对称轴的对称点，由交点和对称点确定所求直线。 【易错例题】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 易错点5：直线关于直线对称，漏掉特殊对称轴 【易错点】 容易忽略对称轴斜率不存在、斜率为零等特殊情况，直接套用一般斜率方法。 【易错消除】 若对称轴斜率不存在（），按竖直轴对称直接写出对称点或对称直线；若对称轴斜率为零（），按水平轴对称直接处理。一般斜率情况再用“交点 + 对称点”法求解。 【易错例题】（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 题型1：点关于点的对称问题 方法技巧 利用中点坐标公式。若点  关于点 M(a,b)的对称点为 ，则 M 是 AB 的中点： 1. 公式：，. 2. 点关于点对称的本质是“中点”，直接代入即可，无需讨论斜率. 【例题1.1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例题1.2】（25-26高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则________． 【变式1.1】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 【变式1.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知不同的两点关于点对称，则ab＝________. 题型2：求点关于直线的对称点 方法技巧 利用“垂直”和“中点在直线上”两个条件列方程组求解: 1. 设对称点为 (x,y)，已知点与对称点连线与已知直线垂直. 2. 已知点与对称点的中点在已知直线上. 3. 联立这两个方程即可求出对称点坐标。注意讨论斜率不存在的情况. 【例题2.1】（25-26高二上·江苏·期中）点关于直线：的对称点的坐标为______． 【例题2.2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（26-27高二上·广西贵港·开学考试）已知，求(均写出一般式方程); (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标. 题型3：求两点的对称轴 方法技巧 两点 A、B 的对称轴是线段 AB 的垂直平分线： 1. 先求AB的中点坐标. 2. 再求 AB 的斜率，对称轴的斜率为 （若=0，则对称轴斜率不存在）. 3. 最后用点斜式写出对称轴方程. 【例题3.1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【例题3.2】（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【变式3.1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型4： 光线反射问题 方法技巧 利用对称思想，将反射问题转化为直线问题： 1. 反射光线：作光源关于反射面的对称点，连接对称点与目标点，该连线与反射面的交点就是反射点；从反射点指向目标点的射线，就是反射光线. 2. 入射光线：作目标点关于反射面的对称点，连接光源与对称点，该连线与反射面交于反射点；从光源指向反射点的射线，就是入射光线. 3. 核心是“入射角等于反射角”，对称后共线. 【例题4.1】（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题4.2】（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【变式4.1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 题型5： 求直线关于点的对称直线 方法技巧 利用“平行”求解： 1. 对称直线与原直线平行（斜率存在时，斜率相等）。 2. 原直线上任意一点关于对称中心的对称点都在对称直线上。 3. 简便方法：设对称直线方程为 （与原直线 平行），利用对称中心到两直线距离相等列方程求 。 【例题5.1】（暑假预习讲义）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【例题5.2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式5.1】（2026天津专版大一轮）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【变式5.2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 题型6：求关于平行直线对称的直线 方法技巧 利用平行线间距离公式或点关于直线的对称： 1. 所求直线与原直线平行，设方程为 ． 2. 利用“对称轴到两直线距离相等”列方程：． 3. 注意舍去与原直线重合的解（即 ）． 4. 点对称法：在原直线上任取一点，求出该点关于对称轴的对称点，对称点落在所求直线上；结合平行的形式，代入该对称点坐标求出C'． 【例题6.1】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【例题6.2】（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【变式6.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【变式6.2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型7：直线关于直线对称问题（非平行） 方法技巧 转化为点关于直线的对称问题： 1. 求出原直线与对称轴的交点，该点在所求直线上. 2. 在原直线上任取一个异于交点的点，求这个点关于对称轴的对称点，该点也在所求直线上. 3. 由交点和该对称点，利用两点式写出对称直线的方程. 【例题7.1】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【例题7.2】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【变式7.2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 题型8： 将军饮马问题求最值 方法技巧 利用对称将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最值： 1. 作定点关于动点所在直线的对称点. 2. 连接对称点与另一定点，若连线与动点所在直线相交，则这条线段的长度就是最小值. 3. 交点即为取得最值时的动点位置. 4. 口诀：“同侧对称，异侧连线”. 【例题8.1】（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【例题8.2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·重庆·期中）（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【变式8.2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 题型9：对称解决距离的最值问题 方法技巧 利用对称将距离之和或差转化为可直接求最值的形式： 1. 求距离之和最小值：作对称点，连接后求线段长. 2. 求距离之差最大值：作对称点，利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到最大值. 3. 注意区分“同侧”和“异侧”的处理方式. 【例题9.1】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【例题9.2】（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【变式9.1】（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【变式9.2】（26-27高一上·河北石家庄·开学考试）如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 题型10：直线的轨迹问题 方法技巧 根据动点满足的几何条件，建立关于动点坐标(x,y)的方程： 1. 直接法：直接根据条件列等式化简. 2. 定义法：判断轨迹是否符合已知曲线（如直线、圆）的定义. 3. 相关点法：若动点 P 随已知曲线上的点Q 运动，用P的坐标表示Q，代入已知曲线方程。 4. 注意检验轨迹的纯粹性和完备性（排除不符合条件的点）. 【例题10.1】（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 【例题10.2】（2025·北京海淀·三模）已知为两个单位向量，且，是平面内的一个定点，是平面内的一个动点，，． （1）若，，则______． （2）若，则点的轨迹围成的图形面积为______． 【变式10.1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 【变式10.2】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． (1)若，，求； (2)已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.3.2直线中的对称问题 内容概览 1 🔷知识点一　点关于点的对称 2 🔷知识点二　点关于直线的对称 2 🔷知识点三　直线关于点的对称 2 🔷知识点四　直线关于直线的对称 3 4 易错点1：点关于点对称，混淆中点公式 4 易错点2：点关于直线对称，漏写条件 4 易错点3：直线关于点对称，混淆两直线位置关系 5 易错点4：直线关于直线对称，不分类讨论对称轴与原直线位置关系 6 易错点5：直线关于直线对称，漏掉特殊对称轴 6 7 题型1：点关于点的对称问题 7 题型2：求点关于直线的对称点 8 题型3：求两点的对称轴 11 题型4： 光线反射问题 13 题型5： 求直线关于点的对称直线 16 题型6：求关于平行直线对称的直线 18 题型7：直线关于直线对称问题（非平行） 21 题型8： 将军饮马问题求最值 24 题型9：对称解决距离的最值问题 28 题型10：直线的轨迹问题 31 🔷知识点一　点关于点的对称 点关于点的对称点为. ⚠️特别提醒 · 点关于点的对称利用中点坐标公式即可得出. 🔷知识点二　点关于直线的对称 1. 直线l的斜率存在且不为0时,求点关于直线：的对称点: (1) 中点在直线l上：设中点为A，利用中点坐标公式得A点坐标：，将A点坐标代入直线中. (2) ：，联立两个方程，求出点坐标. 2. 几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) 3. y轴 (-a,b) 4. y=x (b,a) 5. y=-x (-b,-a) 6. x=m(m≠0) (2m-a,b) 7. y=n(n≠0) (a,2n-b) ⚠ 特别提醒 · 注意斜率为零和斜率不存在的特殊情况. 🔷知识点三　直线关于点的对称 1. 方法一:在已知直线上取一点A，求出它关于已知点P的对称点B，再利用对称直线与原直线平行求直线方程. 2. 方法二:在已知直线上取两点，求其关于点的对称点，再由对称点确定对称直线. 3. 方法三:利用对称直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再由定点到两平行直线的距离相等求出待定系数，即得对称直线的方程. 4. 特别地，直线关于原点对称的直线方程是. ⚠ 特别提醒 · 两条直线关于某点对称，两条直线是平行的. · 任取点时注意选取数值简单容易计算的点。 🔷知识点四　直线关于直线的对称 1. 直线：（）和：（），求关于直线的对称直线 ①若，则设所求直线方程为，然后在上找一点，求出点关于直线的对称点，再代入即可解出. 也可由平行线间的距离相等构建关于的方程求解. ②若不平行于l，则先找出与的交点，然后在上确定一点M（不同于交点），求出这一点M关于的对称点N，由直线的两点式方程确定所求直线方程. 2. 常见的直线关于直线的对称方程 设直线为. (1) 关于轴对称的直线的方程是； (2) 关于轴对称的直线的方程是； (3) 关于直线 对称的直线的方程是； (4) 关于直线 对称的直线的方程是； (5) 关于直线 对称的直线的方程是； (6) 关于直线对称的直线的方程是. ⚠ 特别提醒 · 直线关于直线的对称，有平行和相交两种情况，根据不同的情况选择不同的方法做题． · 任取点时注意选取数值简单容易计算的点。 易错点1：点关于点对称，混淆中点公式 【易错点】 容易把中点坐标公式记反，或在含参数时漏掉对称点坐标的符号处理。 【易错消除】 点关于点 M(a,b)的对称点为。依据是 M为线段 PP′的中点。 【易错例题】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 易错点2：点关于直线对称，漏写条件 【易错点】 “中点在对称轴上”和“连线与对称轴垂直”忽略其一，导致解不出或漏解。 【易错消除】 点 关于直线的对称点 ，需同时满足： ① PP′的中点在 上； ② PP′所在直线与 垂直。 若对称轴斜率不存在，则需单独处理。 【易错例题】（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 易错点3：直线关于点对称，混淆两直线位置关系 【易错点】 容易忽略直线关于点对称后所得直线与原直线平行这一结论。 【易错消除】 直线关于直线外一点对称，所得直线与原直线平行。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 易错点4：直线关于直线对称，不分类讨论对称轴与原直线位置关系 【易错点】 容易忽略对称轴与原直线平行、相交两种情况的区别，统一按一种方法处理。 【易错消除】 分两种情况： ① 若原直线与对称轴平行，则所求直线与原直线平行，且到对称轴的距离相等； ② 若原直线与对称轴相交，先求交点，再在已知直线上取一点求其关于对称轴的对称点，由交点和对称点确定所求直线。 【易错例题】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 易错点5：直线关于直线对称，漏掉特殊对称轴 【易错点】 容易忽略对称轴斜率不存在、斜率为零等特殊情况，直接套用一般斜率方法。 【易错消除】 若对称轴斜率不存在（），按竖直轴对称直接写出对称点或对称直线；若对称轴斜率为零（），按水平轴对称直接处理。一般斜率情况再用“交点 + 对称点”法求解。 【易错例题】（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 题型1：点关于点的对称问题 方法技巧 利用中点坐标公式。若点  关于点 M(a,b)的对称点为 ，则 M 是 AB 的中点： 1. 公式：，. 2. 点关于点对称的本质是“中点”，直接代入即可，无需讨论斜率. 【例题1.1】（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 【例题1.2】（25-26高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则________． 【答案】 【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可. 【详解】由已知得，解得，即， 故答案为： 【变式1.1】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 【答案】 【分析】借助中点坐标公式计算即可得. 【详解】设，则有，，故. 故答案为：. 【变式1.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知不同的两点关于点对称，则ab＝________. 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 题型2：求点关于直线的对称点 方法技巧 利用“垂直”和“中点在直线上”两个条件列方程组求解: 1. 设对称点为 (x,y)，已知点与对称点连线与已知直线垂直. 2. 已知点与对称点的中点在已知直线上. 3. 联立这两个方程即可求出对称点坐标。注意讨论斜率不存在的情况. 【例题2.1】（25-26高二上·江苏·期中）点关于直线：的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意得到，求解可得. 【详解】因为点关于直线：的对称点为， 设点的坐标为，则，的中点为， 由题意得，即，解得：， 即对称点的坐标为. 【例题2.2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析  ，，则．故选B． 【变式2.1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 【变式2.2】（26-27高二上·广西贵港·开学考试）已知，求(均写出一般式方程); (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由题可得中点坐标，结合坐标，可得中线方程； （2）当直线过原点时，显然满足题意；当直线不过原点时，利用截距式结合题意可得答案； （3）由题可得，中点在上，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得中点坐标为，又， 则，从而中线方程为：； （2）当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则， 则可为：. 综上可得：为或. （3）因关于对称，则可得，中点在上， 设，则， 从而，则. 题型3：求两点的对称轴 方法技巧 两点 A、B 的对称轴是线段 AB 的垂直平分线： 1. 先求AB的中点坐标. 2. 再求 AB 的斜率，对称轴的斜率为 （若=0，则对称轴斜率不存在）. 3. 最后用点斜式写出对称轴方程. 【例题3.1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【答案】 【分析】利用直线的位置关系结合点斜式计算两点中垂线即可. 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 【例题3.2】（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 【变式3.1】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因为轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 题型4： 光线反射问题 方法技巧 利用对称思想，将反射问题转化为直线问题： 1. 反射光线：作光源关于反射面的对称点，连接对称点与目标点，该连线与反射面的交点就是反射点；从反射点指向目标点的射线，就是反射光线. 2. 入射光线：作目标点关于反射面的对称点，连接光源与对称点，该连线与反射面交于反射点；从光源指向反射点的射线，就是入射光线. 3. 核心是“入射角等于反射角”，对称后共线. 【例题4.1】（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【例题4.2】（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 【变式4.1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 【变式4.2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解出的长度. 【详解】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 故选：D. 题型5： 求直线关于点的对称直线 方法技巧 利用“平行”求解： 1. 对称直线与原直线平行（斜率存在时，斜率相等）。 2. 原直线上任意一点关于对称中心的对称点都在对称直线上。 3. 简便方法：设对称直线方程为 （与原直线 平行），利用对称中心到两直线距离相等列方程求 。 【例题5.1】（暑假预习讲义）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 【例题5.2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【变式5.1】（2026天津专版大一轮）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 【变式5.2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 题型6：求关于平行直线对称的直线 方法技巧 利用平行线间距离公式或点关于直线的对称： 1. 所求直线与原直线平行，设方程为 ． 2. 利用“对称轴到两直线距离相等”列方程：． 3. 注意舍去与原直线重合的解（即 ）． 4. 点对称法：在原直线上任取一点，求出该点关于对称轴的对称点，对称点落在所求直线上；结合平行的形式，代入该对称点坐标求出C'． 【例题6.1】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 【例题6.2】（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【变式6.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【变式6.2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 题型7：直线关于直线对称问题（非平行） 方法技巧 转化为点关于直线的对称问题： 1. 求出原直线与对称轴的交点，该点在所求直线上. 2. 在原直线上任取一个异于交点的点，求这个点关于对称轴的对称点，该点也在所求直线上. 3. 由交点和该对称点，利用两点式写出对称直线的方程. 【例题7.1】（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程. 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 【例题7.2】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式7.1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【变式7.2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 题型8： 将军饮马问题求最值 方法技巧 利用对称将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最值： 1. 作定点关于动点所在直线的对称点. 2. 连接对称点与另一定点，若连线与动点所在直线相交，则这条线段的长度就是最小值. 3. 交点即为取得最值时的动点位置. 4. 口诀：“同侧对称，异侧连线”. 【例题8.1】（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点对称然后连线找最短，求两点间距离即可 【详解】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 【例题8.2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 【变式8.1】（24-25高二上·重庆·期中）（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 【变式8.2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 题型9：对称解决距离的最值问题 方法技巧 利用对称将距离之和或差转化为可直接求最值的形式： 1. 求距离之和最小值：作对称点，连接后求线段长. 2. 求距离之差最大值：作对称点，利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到最大值. 3. 注意区分“同侧”和“异侧”的处理方式. 【例题9.1】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【分析】，表示点到点和的距离之和，找出关于轴对称的点，作图数形结合即可求出答案. 【详解】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ， 故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 【例题9.2】（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 【变式9.1】（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 【变式9.2】（26-27高一上·河北石家庄·开学考试）如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可. 【详解】设， 在长方形中，,， ，又， ∴， ∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长， 即. 题型10：直线的轨迹问题 方法技巧 根据动点满足的几何条件，建立关于动点坐标(x,y)的方程： 1. 直接法：直接根据条件列等式化简. 2. 定义法：判断轨迹是否符合已知曲线（如直线、圆）的定义. 3. 相关点法：若动点 P 随已知曲线上的点Q 运动，用P的坐标表示Q，代入已知曲线方程。 4. 注意检验轨迹的纯粹性和完备性（排除不符合条件的点）. 【例题10.1】（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 【答案】直线 【详解】将变形为． 等式左侧表示动点到定点的距离； 等式右侧，即，可理解为动点到定直线的距离． 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹是经过点与该直线垂直的直线． 【例题10.2】（2025·北京海淀·三模）已知为两个单位向量，且，是平面内的一个定点，是平面内的一个动点，，． （1）若，，则______． （2）若，则点的轨迹围成的图形面积为______． 【答案】 【分析】（1）根据计算出结果； （2）记点，，，，点的轨迹为矩形，且，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】（1）为两个单位向量，且， 故， ； （2）当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 记点，，，，则点的轨迹为四边形； 因为，故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为， 故答案为：， 【变式10.1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 【答案】 【分析】根据直线的方程结构，确定其方程求法，类比得到直线的方程. 【详解】点E为直线与直线的交点． 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 并与直线的方程：一致. 同理，点F为直线与直线的交点， 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 所以直线的方程为. 【变式10.2】（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． (1)若，，求； (2)已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）当时，，变换公式为， 即由上式解出：，． 代入直线方程，得． 若且，则，与、不全为零矛盾， 故上式是关于的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上． （ii）存在，，（）． 设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上： ， 即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线． 若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为， 故，，均等价于，即（）． 此时：，． 若（过原点）：直线为，变换后为． 两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（看，的情形）： ． 若，即，则：，即上面的情形； 若，即（），则：． 当时：，变换后为，不是同一直线； 当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除． 综上，满足条件的直线为，（）． 【分析】（1）直接代入定义：先求数量积和模方，再按公式计算即可， （2）（i）由定义写出时的坐标变换，反解出用表示，代入原直线方程，得到关于的一次方程，系数不全为零，故在一条直线上，（ii）设不动直线，将变换式代入，要求所得直线与原直线重合，分与讨论，比较系数得或，即与. 【详解】（1），，则，， 故． （2）（i）略 （ii）略 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $