模拟01期中考试模拟基础卷（范围：第1-4章）2026-2027学年北师大版九年级数学上册高频考题专项训练（重庆专用）

2026-2027学年北师大版九年级上学期期中模拟卷 数学基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~4章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．如图：在中，，点为的中点，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为4，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 5．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 6．如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为（     ） A．0 B．3 C．－3 D．3或－3 7．如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 9．如图，在正方形中，连接，点为上一点，连接，点为线段上一点，且，点为线段上一点，．若，的面积为，则EF的长为（     ） A． B． C．6 D． 10．定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（     ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A．个 B．个 C．个 D．个 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．方程的解是________． 12．已知：，则_____． 13．一位画家把边长为1m的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为__ ．    14．如图，在中，，若，则的值为__________． 15．如图，矩形中，边，作等腰直角三角形，，，连接，，若，则线段____________，线段____________． 16．如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程： (1) (2)． 18．如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 19．如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 20．列方程（组）解决问题： 随着人工智能技术日益普及，各类服务套餐逐渐成为用户刚需．某人工智能公司推出高级版和标准版两种服务套餐．已知每月高级版套餐比标准版贵120元，今年8月份高级版套餐的销售额为480万元，标准版套餐的销售额为360万元，且标准版套餐的销量是高级版的倍． (1)求该人工智能公司高级版和标准版套餐的单价； (2)9月份，公司对高级版套餐进行降价促销：已知每份高级版套餐的成本（含算力、存储、运维成本）为160元，每份标准版套餐的成本比高级版的成本低．若高级版套餐售价每降低20元，销量就比8月份多3000份；标准版套餐售价和销量都与8月份相同．此次促销销售完两种套餐的总利润为456万元，求高级版套餐每份降价了多少元？ 21．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：，并进一步证明四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 22．如图，在矩形中，，，动点P以每秒的速度从点A出发，沿折线的方向运动，同时点Q以每秒的速度从点C出发沿射线方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动．设运动时间为x秒，记的面积为，矩形与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23．如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动，速度是（不与点，重合）；同时，点从点出发沿向点以的速度（不与点，重合）移动，点达到点时两点同时停止运动．设运动时间为秒． (1)为何值时，四边形是平行四边形？ (2)为何值时，？ (3)将沿折叠，点的对应点为点，是否存在某一时刻，点正好落在的延长线上，且点不与点重合．若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 24．如图，已知教学楼前面的玻璃幕墙垂直于地面，为测量的高度，身高1.6米的小凯从教学楼底点沿直线步行4米到达长度为10米的斜坡的底端点处，在处用仪器测得，然后再沿着斜坡上行到达点（已知且），到达点后继续沿平行于地面的平台直线行走了6米到达点，此时他刚好踩着太阳光照射下楼顶点的影子．这时小凯同学的影长米，用线段表示小凯同学身高，，，，，，，，，在同一个平面内，且，，和，，在各自的同一水平线上，其中，，，． (1)求线段和的长度； (2)求玻璃幕墙的高度．（，结果保留一位小数） 25．在菱形中，，动点在直线上，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，求证； (3)如图3，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取最小值时，直接写出． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版九年级上学期期中模拟卷 数学基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~4章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可． 【详解】解：从正面看到的视图是： 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足：一个未知数、最高次为、整式方程． 选项A：含有两个未知数，不符合题意； 选项B：最高次数为，不符合题意； 选项C：含有分式，不是整式方程，不符合题意； 选项D：只含一个未知数，最高次数为，且为整式方程，符合题意； 故选D． 3．如图：在中，，点为的中点，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，点为的中点，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 4．如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为4，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故选C． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 5．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 6．如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为（     ） A．0 B．3 C．－3 D．3或－3 【答案】C 【分析】将代入方程，即可求出的值，然后利用一元二次方程满足的条件即可求出的正确值． 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入方程，得， 解得或． 一元二次方程的二次项系数不为0， ，即， ． 7．如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A和B；根据可判断C；根据，可判断D． 【详解】解：， ，故选项A成立； ， ，故选项B成立； ， ， ，故选项C成立； ，， ，而选项D中为，故选项D不成立． 8．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 9．如图，在正方形中，连接，点为上一点，连接，点为线段上一点，且，点为线段上一点，．若，的面积为，则EF的长为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过点作，交的延长线于点，先推导出，，由，得到，即，推导出是等腰直角三角形，得到，进而推导出，将①代入上式，得到，接着推导出，即，化简，得到，将①③代入②，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴． 又∵，即是中边上的高， ∴， ∴， 化简得， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，且， ∴， 即． 在中，由勾股定理得： ， ∴． 将①代入上式： 在中，， 由勾股定理得． 又∵， ∴， 即． 将代入分子展开化简： ， ， ， ∴， ∴（负值已舍去）． 将①③代入②，得 化简得， 解得， ∵点在线段上， ∴． 10．定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（     ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据“奇根方程”的定义，利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系，逐个判断四个说法的正误，统计正确个数得到答案。 【详解】解：对于一元二次方程 ，两根之和为 ，方程有实数根需满足判别式 ， 据此逐个判断： ①对于方程，，得 ，满足，且，有两个实数根， 因此该方程是“奇根方程”，①正确； ②对于方程 ，由题意得，，方程有两个不等实根得，即，两根和，取，得，不满足定义，因此该方程不一定是“奇根方程”，②错误； ③对于方程，由定义得，解得，方程有两个实根得，即， 因此符合条件的整数为，和为，③错误； ④对于方程，由定义得，解得，计算判别式，取 ，是有理数，满足，此时是完全平方数，方程根为有理数， 因此存在满足条件的有理数，④正确． 综上，正确的说法共 个． 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．方程的解是________． 【答案】 ， 【分析】将原方程移项整理后，用因式分解法求解即可. 【详解】解：移项得， 提取公因式因式分解得， ∴ 或， 解得，. 12．已知：，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， 设， ． 13．一位画家把边长为1m的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为__ ．    【答案】23 【分析】依据图形，从上面，前后面，左右面5个方向看，找找面总数目，据此计算即可． 【详解】解：正方体的单个面的面积为：1， 从上面看有5个面，从前后面各有4个面，左右面看各有5个面， 即涂色面积． 故答案为：23． 【点睛】结合图形的特征，认真观察，是解决此类问题的关键． 14．如图，在中，，若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，则，由，证明，得，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 15．如图，矩形中，边，作等腰直角三角形，，，连接，，若，则线段____________，线段____________． 【答案】 / 【分析】过作，分别交于，设，根据勾股定理可得，再利用勾股定理即可求，证，则，，进而可得，再设，利用勾股定理求得，进而可得、及，然后利用勾股定理求即可． 【详解】解：过作，分别交于， 设，又为等腰直角三角形， ，即， 解得，即， 在矩形中，， ， ，且， 四边形为矩形，则， 又 ， 在和中， ， ， ，，则， 设，则，， 又， ，即， 解得，则， ，则， ． 16．如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 6789 2178 【详解】解：根据“登高数”定义，要得到最大的四位“登高数”，需满足，且， 当千位数，则，，，不存在符合条件的， 因此最大为，此时，取，，满足，且， 因此最大的四位“登高数”是； 设“登高数”，则， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴或或， 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，不存在符合条件的； ∴满足条件的中，最小值为，最大值为，差值为. 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练运用配方法、公式法、因式分解法是正确解答此题的关键． （1）将方程变形为，再用配方法即可求解； （2）将方程变为一般形式再用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 变形为， 两边同时加上1得：， 开方得： 或， ∴，； （2）解：， 整理得：，即， 因式分解得：， 可得或， ，． 18．如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 【答案】(1)解：如图， (2)，，，， 【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可； （2）首先证明四边形为平行四边形．再利用三个角是直角的四边形是矩形，证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 20．列方程（组）解决问题： 随着人工智能技术日益普及，各类服务套餐逐渐成为用户刚需．某人工智能公司推出高级版和标准版两种服务套餐．已知每月高级版套餐比标准版贵120元，今年8月份高级版套餐的销售额为480万元，标准版套餐的销售额为360万元，且标准版套餐的销量是高级版的倍． (1)求该人工智能公司高级版和标准版套餐的单价； (2)9月份，公司对高级版套餐进行降价促销：已知每份高级版套餐的成本（含算力、存储、运维成本）为160元，每份标准版套餐的成本比高级版的成本低．若高级版套餐售价每降低20元，销量就比8月份多3000份；标准版套餐售价和销量都与8月份相同．此次促销销售完两种套餐的总利润为456万元，求高级版套餐每份降价了多少元？ 【答案】(1)该人工智能公司高级版套餐的单价为320元，标准版套餐的单价为200元 (2)60元 【分析】（1）设该人工智能公司高级版套餐的单价为x元，则标准版套餐的单价为元，根据“今年8月份高级版套餐的销售额为480万元，标准版套餐的销售额为360万元，且标准版套餐的销量是高级版的倍．”列出方程，即可求解； （2）设高级版套餐每份降价了m元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该人工智能公司高级版套餐的单价为x元，则标准版套餐的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：该人工智能公司高级版套餐的单价为320元，标准版套餐的单价为200元； （2）解：设高级版套餐每份降价了m元，则题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：高级版套餐每份降价了60元． 21．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：，并进一步证明四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）结合平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由矩形的性质得到，由，可得，由勾股定理和平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 22．如图，在矩形中，，，动点P以每秒的速度从点A出发，沿折线的方向运动，同时点Q以每秒的速度从点C出发沿射线方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动．设运动时间为x秒，记的面积为，矩形与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 性质：当时，随x增大而增大； 当时，随x增大而减小，（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）当点P在线段上，，当点P在线段上，，据此求出关于x的函数关系式即可；由勾股定理可得，过点D作于点E，根据三角形面积公式求出，再根据，求出，即可求出关于x的函数关系式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再求出对应的函数性质即可； （3）求出两函数的交点横坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理得：， 当点P在线段上时，此时，， ∴； 当点P在线段上时，此时，则， ∴； 综上所述，； 如图，过点D作于点E， ∵， 又∵， ∴， 即； （2）略 （3）解：联立得：，即， 解得：或（舍去）； 联立得：，即， 解得：或（舍去）； ∴由函数图象可得，当时，x的取值范围为或． 23．如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动，速度是（不与点，重合）；同时，点从点出发沿向点以的速度（不与点，重合）移动，点达到点时两点同时停止运动．设运动时间为秒． (1)为何值时，四边形是平行四边形？ (2)为何值时，？ (3)将沿折叠，点的对应点为点，是否存在某一时刻，点正好落在的延长线上，且点不与点重合．若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， 此时， 解得； （2）解：如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； （3）解：假设存在，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， 解得，， ∵点与点不重合， ∴，即， ∴，此时点未到达点，符合题意， ∴假设成立，当时，点正好落在的延长线上，且点不与点重合． 24．如图，已知教学楼前面的玻璃幕墙垂直于地面，为测量的高度，身高1.6米的小凯从教学楼底点沿直线步行4米到达长度为10米的斜坡的底端点处，在处用仪器测得，然后再沿着斜坡上行到达点（已知且），到达点后继续沿平行于地面的平台直线行走了6米到达点，此时他刚好踩着太阳光照射下楼顶点的影子．这时小凯同学的影长米，用线段表示小凯同学身高，，，，，，，，，在同一个平面内，且，，和，，在各自的同一水平线上，其中，，，． (1)求线段和的长度； (2)求玻璃幕墙的高度．（，结果保留一位小数） 【答案】(1)线段HE的长度为米，EM的长度为12米 (2)玻璃幕墙GH的高度约为19.7米 【详解】（1）∵GE⊥EM，CM⊥DM， ∴∠CMD=∠HED=90°， 在Rt△HED中，DE=4米，∠HDE=30°， ∴（米） ∵CM：DM=3：4， ∴设CM=3x米，则DM=4x米， 在Rt△CDM中，DM2+CM2=CD2， ∴（4x）2+（3x）2=102， ∴x=2或x=-2（舍去）， ∴CM=6米，DM=8米， ∴EM=DE+DM=12（米）， ∴线段HE的长度为米，EM的长度为12米； （2）延长BC交EG于点F， 则CF=EM=12米，EF=CM=6米，∠GFC=90°， ∵BC=6米， ∴BF=CF+BC=18（米）， 由题意得： 即 ∴ ∴GF=16米， ∴（米） ∴玻璃幕墙GH的高度约为19.7米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 25．在菱形中，，动点在直线上，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，求证； (3)如图3，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取最小值时，直接写出． 【答案】(1) (2)证明：延长到点H，使得，连接， 则， ∵点G是AF的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定，勾股定理解答即可； （2）延长到点H，使得，连接，则，只需证明，，证明即可． （3）过点D作于点Q，在上截取，连接，，点P在过点M且垂直于的定直线上运动，根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合，根据菱形的性质，勾股定理，面积分割法计算解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴； （2）略 （3）解：过点D作于点Q，在上截取，连接， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴ ∴，是等腰直角三角形， ∴；   ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在过点M且垂直于的定直线上运动， 根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合， 此时， 设， 同理可得， ∴, ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $