专题12 随机事件的概率（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题12 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．D 7．D 8．C 9．D 10．D 考点02 概率 1．【答案】 【分析】 题目主要考查概率的计算，理解概率的计算方法是解题关键． 本题中，事件为抽到参与文艺汇演的同学，情况数为8，总情况数为40，因此概率为，即可求解． 【详解】 解：由概率计算公式，抽到参与文艺汇演同学的概率为参与人数与总人数之比，即， 故答案为：． 2．【答案】 【分析】 本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据简单的概率计算公式计算即可． 【详解】 解：随机抽取一张卡片有4种结果，是非金属元素的结果有两种，所以从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是． 故填：． 3．【答案】 【分析】 本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】 解：由题意，得：； 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据从箱子中随机取出1个小球共有3种等可能的结果，用红球数除以总球数即可得到答案． 【详解】 解：由题意，从箱子中随机取出1个小球共有3种等可能的结果，则从箱子中随机取出一个球是红色小球的概率为． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了概率公式． 直接利用概率公式计算即可． 【详解】 解：一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 则从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 先统计出点数是3的倍数的个数，再根据概率公式解答． 【详解】 解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6， 故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 7．【答案】 【分析】 本题考查简单事件的概率，需计算抽到非负数的概率，即非负数卡片数量与总卡片数量的比值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：总卡片数为5，非负数卡片有0、1、3，共3张， 故概率为， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了概率的求法，掌握概率的求法是解题的关键． 通过列举所有可能的结果，找出甲出的卡片数字大于乙出的卡片数字的情况数，再计算概率． 【详解】 解：甲可能出的数字为：1，4，7；乙可能出的数字为：3，5，8； 所有等可能的结果共有：种，其中甲出的数字大于乙出的数字的结果有：甲4乙3，甲7乙3，甲7乙5，共3种； 因此概率为：． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 用物理变化的张数除以总张数即可． 【详解】 解：从中随机抽取一张卡片共有4种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果， 冰化成水和衣服晾干属于物理变化， 所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了等可能事件的概率计算公式，直接根据等可能事件的概率计算公式即可求解，解题的关键是熟记等可能事件的概率计算公式． 【详解】 解：∵不透明的袋子中装有个黑球和个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同， ∴随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，用点数不超过4的结果数除以点数朝上的所有结果数即可得到答案． 【详解】 解：∵投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一共有6种情况，其中朝上的点数不超过4的情况有4种，且朝上的点数的6种情况是等可能性的， ∴落地后朝上的点数不超过4的概率为， 故答案为：． 12．【答案】15 【分析】 本题考查了根据概率求数量，根据概率的定义，磁器口邮票的数量与总邮票数的比值等于给定的概率，由此建立方程求解． 【详解】 解：设磁器口邮票有枚，则概率公式为， 解方程得， 故答案为：15． 13．【答案】（1）     （2） 这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平．      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，中心对称图形和轴对称图形的识别，熟知相关知识是解题的关键． （1）A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形，据此结合概率计算公式求解即可； （2）A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形，据此列出表格得到所有等可能性的结果数，再分别找到摸出的两张牌的牌面图形是轴对称图形和两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果数，最后分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵一共有四张纸牌，其中牌面图形是中心对称图形的有三张（A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形），且每张牌被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为； (2) 小问详解： 解：这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平． 考点03 用列举法求概率 1．B 2．C 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了列表法求概率， 列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式得出答案． 【详解】 解：列表如下： 可知一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合条件的有1种，所以两次摸取的小球标号都是1的概率是． 第一次        第二次 1 2 3 1 2 3 4．【答案】 【分析】 本题考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到挑选到《西游记》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】 解：用A、B、C、D分别表示《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中挑选到《西游记》的结果数有6种， ∴挑选到《西游记》的概率为， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于6的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】 解：所有可能的结果有9种：， ， ， ， ， ， ， ， ．其中两次标号的和等于6的结果有， ， 共3种，因此概率为． 故答案为． 6．【答案】（1）240，35     （2） 补全条形统计图如图：      （3）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再利用概率公式计算概率．也考查了统计图． （1）根据该项所占的百分比等于该项人数÷总人数．两图给出了“卤土鸡”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“酸辣粉”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出选“红军饼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果数，然后根据概率公式求解． (1) 小问详解： 解：本次抽取的游客总人数为 ， ∴， ∴， 故答案为：240，35； (2) 小问详解： 解：选红军饼的人数为人． 补全条形统计图略 (3) 小问详解： 把四种美食分别记为 A：酸辣粉、B：松花蛋、C：红军饼、D：卤土鸡，画树状图如图． 共有12种等可能的结果，其中选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果有2种， ∴选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率 7．【答案】 【分析】 本题考查了用列表法求概率．根据列表法求概率即可求解． 【详解】 解：将2张红桃扑克牌记为红1、红2，1张黑桃扑克牌记为黑1 列表如下， 共有种等可能结果，其中摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的有2种 ∴摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率为 故答案为：． 红1 红2 黑1 红1 红1，红2 红1，黑1 红2 红2，红1 红2，黑1 黑1 黑1，红1 黑1，红2 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了列表法求概率．先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】 解：根据题意列表如下， 共有9种可能，其中和为奇数的有4种， ∴两次数字之和为奇数的概率是． 故答案为：． 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 9．【答案】 【分析】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列出表格，从中得出所有结果数与符合条件的结果数，再求出抽中“勤能补拙”的概率． 【详解】 解：“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语分别记为A，B，C，D， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中有“勤能补拙”6种， 其中抽中“勤能补拙”的概率为， 故答案为：． A B C D A B C D 11．【答案】 【分析】 根据题意列表格，然后求概率即可． 【详解】 解：由题意知列表如下： 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中小附和小中恰好在同一个组共有3种等可能的结果， ∵， ∴小附和小中恰好在同一个组的概率为． A B C A （A,A） B C 【点睛】 本题考查了列举法求概率．解题的关键在于正确的列表格． 12．【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊， 画树状图如图， 共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了画树状图求概率，能准确地画出树状图是解题的关键；先画出树状图，可知总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，从而可求解． 【详解】 解：画树状图，如图所示： 由图可知，总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，因此两人都选到周四的概率为， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】 解：画出树状图如图： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好选中小军和小红的情况有种， ∴恰好选中小军和小红的概率是， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种， ∴一张是红牌和一张是绿牌的概率是． 故答案为：． 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 16．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是用列表法或画树状图法求概率，解题关键是熟练掌握树状图法求概率． 画出树状图，共有个等可能的结果，甲，乙两名学生同时选中跑步项目的结果有个，即可求解． 【详解】 解：将跑步、跳远和跳绳三个参赛项目分别设为、、， 画树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等， 其中他们同时选中跑步项目的结果有种， 他们同时选中跑步项目的概率是． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：记甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”分别为A、B、C、D， 列表如下： ∴共有12种可能结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的有2种， ∴抽取两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率． A B C D A B C D 18．【答案】（1），，．     （2）      【分析】 （1）根据中位数、众数的定义进行分析即可； （2）画出树状图，用恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数除以所有结果数即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知：甲班学生组人数为：8人， 甲班学生C组人数为：（人）， 甲班学生D组人数为：（人）， 则甲班学生A组人数为：（人）， 中位数取整体排序第10个和第11个数据的平均值，即B组第6个和第7个数据的平均值． 将B组数据按从小到大排列为81，82，82，82，83，84，85， 86， B组第6个数据是84，第7 个数据是85， ， ∴． ∵乙班被抽取学生的成绩中83出现4次，次数最多， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，，． (2) 小问详解： 解：树状图如下图：（列表法略） 总共有12种均等的可能，抽到一男一女的情况有6种． ． 【点睛】 本题主要考查中位数，众数，扇形统计图中比例的计算，用树状图或列表法求概率，熟练掌握相关概念和计算方法是解决本题的关键． 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种，然后列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是和， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． (3) 小问详解： 解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 20．【答案】（1）88，92，65     （2） 九年级学生的古诗词竞赛成绩较好， 因为八、九年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相等，而九年级学生成绩的中位数大于八年级， 所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级， 所以九年级学生的古诗词竞赛成绩较好（答案不唯一，合理均可）；     （3）      【分析】 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，列表法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据中位数及众数，优秀率分析即可得出结果； （2）根据平均数相等，根据九年级成绩的中位数大于八年级的成绩的中位数，即可求解； （3）列出表格，根据概率公式即可求解． (1) 小问详解： 解：九年级成绩在A、B组的人数为（人）， ∴九年级成绩的中位数（分）， 由八年级20名学生的竞赛成绩，可得八年级成绩的众数分， 九年级成绩的优秀率，即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：列表为： 由表格可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到丁和乙的有2种结果， 所以选中的2人恰好是丁和乙的概率为． 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 21．【答案】.25 【分析】 本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】 解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果， 其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 22．【答案】（1）162；162     （2）175；108     （3）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案． （2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162， 该组数据的中位数是． 该组数据中出现次数最多的为162， 该组数据的众数为162． 故答案为：162；162． (2) 小问详解： 全校的男生人数为（人， 选择项目的男生共有（人． 扇形统计图中项目所占圆的圆心角为． 故答案为：175；108． (3) 小问详解： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， 甲和乙同学同时被选中的概率为． 23．【答案】（1）；；     （2）当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人     （3）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式． （1）首先求出部分市民的人数为，根据米直道竞速赛人数所占的百分比求得，根据题意即可得到结论； （2）根据扇形统计图即可得到结论； （3）设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到的一男一女的概率． (1) 小问详解： 解：部分市民的人数为（人）， （人），（人）， 所在扇形圆心角的度数为； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：根据扇形统计图可得当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多， （人）， 答：当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人； (3) 小问详解： 解：设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有6种， 所以恰好抽到的两名交警是一男一女的概率为：． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中的结果数有和，共2种， ∴的概率是， 故答案为：． ab 2 3 4 5 2 3 4 5 25．【答案】 【分析】 本题考查了不放回抽样的概率计算，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率． 利用树状图或列表法求概率即可． 【详解】 解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 26．【答案】（1）；     （2） 补全条形统计图如图，     ，；     （3）抽中全是类学生的概率为．      【分析】 此题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图的知识，样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由类人数及其所占百分比可得总人数； （）总人数减去的人数求得类人数，由乘以类所占比例得类的圆心角度数，用的人数除以总人数可得对应百分比； （）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． (1) 小问详解： 解：全班学生总人数是（人）， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（）得全班学生总人数是人， ∴类人数为（人）， ∴，类的圆心角为， ∴， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：列表如下， 由表可知，共有种等可能结果，其中全是类学生的有种结果， ∴抽中全是类学生的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．A 2．C 3．B 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（九·重庆铜梁·期末）下列事件：①一个纸箱装有大小质地相同的10个乒乓球，其中1个黄色9个白色，随机摸出一个，摸到红色乒乓球；②翻开数学书，恰好翻到偶数页；③体育老师投篮一次，投中篮筐．其中不可能事件的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据概念逐项判断每个事件是否为必然事件即可解答． 【详解】 解：① 纸箱中无红色乒乓球，则摸到红色乒乓球是不可能事件； ② 数学书有偶数页，则翻到偶数页是随机事件； ③ 投篮可能投中，投中篮筐是随机事件； 则不可能事件只有① 共1个． 故选：B． 2．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【分析】 本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】 解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误； B、是必然事件，符合题意，选项正确； C、是随机事件，不符合题意，选项错误； D、是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：B． 3．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）下列事件中，属于必然事件的是（       ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 早上的太阳从东方升起 C. 经过红绿灯路口，遇到红灯 D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 【答案】B 【分析】 本题考查了事件分类．根据必然事件的定义：即在一定条件下一定发生的事件，进行判断各选项，即可作答． 【详解】 解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，不是必然事件； B、早上的太阳从东方升起，是自然规律，一定发生，是必然事件； C、经过红绿灯路口，遇到红灯，可能遇到红灯也可能遇到绿灯，不是必然事件； D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，对方可能出石头、剪刀或布，不是必然事件 故选：B． 4．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列事件属于不可能事件的是（     ） A. 画饼充饥 B. 守株待兔 C. 打草惊蛇 D. 旭日东升 【答案】A 【分析】 根据事件的定义，结合生活实际判断解答即可． 本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 解：A. 画饼充饥是不可能事件，符合题意；        B. 守株待兔是随机事件，不符合题意；        C. 打草惊蛇是随机事件，不符合题意；        D. 旭日东升是必然事件，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年九上·重庆万州·期末）下列事件中，属于必然事件的是（       ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 13名同学中有两个同学的生日在同一月 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【分析】 本题考查必然事件的定义，必然事件是一定条件下必定发生的事件，需结合各选项事件的确定性判断． 【详解】 解：A：打开电视机可能播放广告或其他内容，是随机事件，不符合题意； B：翻书页码可能是奇数或偶数，是随机事件，不符合题意； C：一年共有12个月份，现有13名同学，根据鸽巢原理，必然存在两名同学的生日在同一月，该事件为必然事件，符合题意； D：抛掷硬币正面或反面朝上均有可能，是随机事件，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列事件属于必然事件的是（     ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】 本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】 解：、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件，此选项不符合题意； 、三角形的外心到三边的距离相等是随机事件，此选项不符合题意； 、抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，此选项不符合题意； 、直径所对圆周角是直角是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 7．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）下列事件中，是必然事件的是 （　　） A. 投掷一枚硬币，向上一面是正面 B. 射击一次，击中靶心 C. 天气热了，新冠病毒就消失了 D. 写出一个有理数，它的绝对值是非负数 【答案】D 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】 解：、投掷一枚硬币，向上一面是正面，是随机事件； 、射击一次，击中靶心，是随机事件； 、天气热了，新冠病毒就消失了，是不可能事件； 、有理数的绝对值是非负数，是必然事件； 故选：D． 【点睛】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题的关键是掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）下面事件中必然事件是（     ） A. 今天下午刮风，则明天下雨 B. 两条直线被第三条直线所截，则内错角相等 C. 抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6 D. 两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】 本题主要考查必然事件的概念，熟练掌握必然事件就是一定发生的事件，是解题的关键．通过分析每个选项是否必然发生来判断即可． 【详解】 解：A．今天下午刮风与明天下雨无必然因果关系，是不确定事件，故A不符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等仅当两直线平行，否则不一定，是不确定事件，故B不符合题意； C．正六面体骰子的点数范围为1至6，因此点数不大于6一定发生，是必然事件，故C符合题意； D．两个有理数的积为正数时，两数可能同为正或同为负，不一定都是正数，是不确定事件，故D不符合题意． 故选：C． 9．（25-26学年九上·重庆川外基础教）下列事件为必然事件的是（       ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开电视，正在播放“新闻联播” C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 在平面内画一个任意三角形，其内角和为 【答案】D 【分析】 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】 解：选项A：座位号可能是奇数或偶数，是随机事件，不符合题意； 选项B：电视可能播放其他节目，是随机事件，不符合题意； 选项C：抛硬币正面朝上或反面朝上都是随机事件，不符合题意； 选项D：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 某射击运动员射击一次，命中靶心 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 一个口袋只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球 【答案】D 【分析】 本题考查了事件的分类，事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】 解：打开电视，正在播放广告是偶然事件；某射击运动员射击一次，命中靶心是偶然事件；抛掷一枚硬币，正面向上是偶然事件；一个口袋只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球的概率是1，是必然事件； 故选D． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）重庆市育才中学初2025届某班有40名同学，其中共有8名同学参与了文艺汇演节目．从该班随机抽取1名同学，抽到参与文艺汇演的同学的概率是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 题目主要考查概率的计算，理解概率的计算方法是解题关键． 本题中，事件为抽到参与文艺汇演的同学，情况数为8，总情况数为40，因此概率为，即可求解． 【详解】 解：由概率计算公式，抽到参与文艺汇演同学的概率为参与人数与总人数之比，即， 故答案为：． 2．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 【答案】 【分析】 本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据简单的概率计算公式计算即可． 【详解】 解：随机抽取一张卡片有4种结果，是非金属元素的结果有两种，所以从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是． 故填：． 3．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】 解：由题意，得：； 故答案为：． 4．（25-26学年九上·重庆川外基础教）不透明的箱子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从箱子中随机取出一个球，则取到红色小球为的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据从箱子中随机取出1个小球共有3种等可能的结果，用红球数除以总球数即可得到答案． 【详解】 解：由题意，从箱子中随机取出1个小球共有3种等可能的结果，则从箱子中随机取出一个球是红色小球的概率为． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了概率公式． 直接利用概率公式计算即可． 【详解】 解：一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 则从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·重庆十一中教育）掷一个质地均匀的正方体骰子一次，骰子的6个面分别刻有1到6个点，则向上一面的点数是3的倍数的概率是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先统计出点数是3的倍数的个数，再根据概率公式解答． 【详解】 解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6， 故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 7．（25-26学年九上·重庆万州·期末）分别写有数字，，，，的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查简单事件的概率，需计算抽到非负数的概率，即非负数卡片数量与总卡片数量的比值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：总卡片数为5，非负数卡片有0、1、3，共3张， 故概率为， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·重庆·期末）现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了概率的求法，掌握概率的求法是解题的关键． 通过列举所有可能的结果，找出甲出的卡片数字大于乙出的卡片数字的情况数，再计算概率． 【详解】 解：甲可能出的数字为：1，4，7；乙可能出的数字为：3，5，8； 所有等可能的结果共有：种，其中甲出的数字大于乙出的数字的结果有：甲4乙3，甲7乙3，甲7乙5，共3种； 因此概率为：． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，如图所示，将4种生活现象写在4张看上去无差别的卡片上，从中随机抽取一张卡片，抽中物理变化的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 用物理变化的张数除以总张数即可． 【详解】 解：从中随机抽取一张卡片共有4种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果， 冰化成水和衣服晾干属于物理变化， 所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）不透明的袋子中装有个黑球和个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等可能事件的概率计算公式，直接根据等可能事件的概率计算公式即可求解，解题的关键是熟记等可能事件的概率计算公式． 【详解】 解：∵不透明的袋子中装有个黑球和个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同， ∴随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）投掷一枚质地均匀的骰子，落地后朝上的点数不超过4的概率为　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，用点数不超过4的结果数除以点数朝上的所有结果数即可得到答案． 【详解】 解：∵投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数一共有6种情况，其中朝上的点数不超过4的情况有4种，且朝上的点数的6种情况是等可能性的， ∴落地后朝上的点数不超过4的概率为， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票50张，除图案外完全相同，现将所有邮票放入不透明口袋中，随机抽取一枚邮票图案为磁器口的概率是，则这个口袋中有磁器口邮票　　　　　　　　枚． 【答案】15 【分析】 本题考查了根据概率求数量，根据概率的定义，磁器口邮票的数量与总邮票数的比值等于给定的概率，由此建立方程求解． 【详解】 解：设磁器口邮票有枚，则概率公式为， 解方程得， 故答案为：15． 13．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 【答案】（1）     （2） 这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平．      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，中心对称图形和轴对称图形的识别，熟知相关知识是解题的关键． （1）A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形，据此结合概率计算公式求解即可； （2）A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形，据此列出表格得到所有等可能性的结果数，再分别找到摸出的两张牌的牌面图形是轴对称图形和两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果数，最后分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵一共有四张纸牌，其中牌面图形是中心对称图形的有三张（A、B、C三张牌的牌面图形都是中心对称图形，D的牌面图形不是中心对称图形），且每张牌被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为； (2) 小问详解： 解：这个游戏公平，理由如下： A、B、D这三张牌的牌面图形是轴对称图形，C的牌面图形不是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果数有6种，摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴小明和小亮获胜的概率相同， ∴这个游戏公平． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图1所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（       ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【分析】 根据树状图展示的所有结果，找出恰好一个红球和一个白球所占结果． 【详解】 由树状图得，从两个口袋中各随机取出一个球共有6种等可能结果， 其中恰好一个红球和一个白球有2种结果． 故选：B． 【点睛】 此题考查的是树状图的知识点，根据树状图展示的所有结果，找到符合条件的结果数是解题的关键． 2．（25-26学年九上·重庆·期末）如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中两次都是有理数的有4种， 两次记录的数字都是有理数的概率是， 故选：C． 3．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）在一个不透明的口袋中，有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是1的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了列表法求概率， 列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式得出答案． 【详解】 解：列表如下： 可知一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合条件的有1种，所以两次摸取的小球标号都是1的概率是． 第一次        第二次 1 2 3 1 2 3 4．（九·重庆铜梁·期末）数学老师推动以“四大名著中的数学问题”跨学科主题寒假阅读行动，小斌同学从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》中挑选2本作为寒假阅读内容，则挑选到《西游记》的概率是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到挑选到《西游记》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】 解：用A、B、C、D分别表示《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中挑选到《西游记》的结果数有6种， ∴挑选到《西游记》的概率为， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于6的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】 解：所有可能的结果有9种：， ， ， ， ， ， ， ， ．其中两次标号的和等于6的结果有， ， 共3种，因此概率为． 故答案为． 6．（25-26学年九上·重庆·期末）为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． （1）本次共调查游客          人，扇形统计图中m的值为        ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 【答案】（1）240，35     （2） 补全条形统计图如图：      （3）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再利用概率公式计算概率．也考查了统计图． （1）根据该项所占的百分比等于该项人数÷总人数．两图给出了“卤土鸡”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“酸辣粉”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出选“红军饼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果数，然后根据概率公式求解． (1) 小问详解： 解：本次抽取的游客总人数为 ， ∴， ∴， 故答案为：240，35； (2) 小问详解： 解：选红军饼的人数为人． 补全条形统计图略 (3) 小问详解： 把四种美食分别记为 A：酸辣粉、B：松花蛋、C：红军饼、D：卤土鸡，画树状图如图． 共有12种等可能的结果，其中选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果有2种， ∴选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率 7．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别．从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了用列表法求概率．根据列表法求概率即可求解． 【详解】 解：将2张红桃扑克牌记为红1、红2，1张黑桃扑克牌记为黑1 列表如下， 共有种等可能结果，其中摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的有2种 ∴摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率为 故答案为：． 红1 红2 黑1 红1 红1，红2 红1，黑1 红2 红2，红1 红2，黑1 黑1 黑1，红1 黑1，红2 8．（2026·重庆育才中学校·三模）在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了列表法求概率．先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】 解：根据题意列表如下， 共有9种可能，其中和为奇数的有4种， ∴两次数字之和为奇数的概率是． 故答案为：． 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 9．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）小江要从“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语中随机抽取2个组成标语，其中抽中“勤能补拙”的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列出表格，从中得出所有结果数与符合条件的结果数，再求出抽中“勤能补拙”的概率． 【详解】 解：“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语分别记为A，B，C，D， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中有“勤能补拙”6种， 其中抽中“勤能补拙”的概率为， 故答案为：． A B C D A B C D 11．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）西大附中运动会上，小附和小中均报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小附和小中恰好在同一个组的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意列表格，然后求概率即可． 【详解】 解：由题意知列表如下： 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中小附和小中恰好在同一个组共有3种等可能的结果， ∵， ∴小附和小中恰好在同一个组的概率为． A B C A （A,A） B C 【点睛】 本题考查了列举法求概率．解题的关键在于正确的列表格． 12．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊， 画树状图如图， 共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：． 13．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）小影和晓成准备在周一、周二、周三、周四这四天中选择一天上游泳兴趣班，求两人都选到周四的概率为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了画树状图求概率，能准确地画出树状图是解题的关键；先画出树状图，可知总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，从而可求解． 【详解】 解：画树状图，如图所示： 由图可知，总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，因此两人都选到周四的概率为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）某校为开展“立志、修身、博学、报国”主题教育活动，准备从小明、小军两名男生中随机挑选一名，从小红、小丽两名女生中随机挑选一名作为活动的主持人，则恰好选中小军和小红的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】 解：画出树状图如图： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好选中小军和小红的情况有种， ∴恰好选中小军和小红的概率是， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·重庆第十八中学）有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中抽到一张是红牌和一张是绿牌的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种， ∴一张是红牌和一张是绿牌的概率是． 故答案为：． 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 16．（25-26学年九上·重庆南开中学校）某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是用列表法或画树状图法求概率，解题关键是熟练掌握树状图法求概率． 画出树状图，共有个等可能的结果，甲，乙两名学生同时选中跑步项目的结果有个，即可求解． 【详解】 解：将跑步、跳远和跳绳三个参赛项目分别设为、、， 画树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等， 其中他们同时选中跑步项目的结果有种， 他们同时选中跑步项目的概率是． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：记甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”分别为A、B、C、D， 列表如下： ∴共有12种可能结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的有2种， ∴抽取两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率． A B C D A B C D 18．（25-26学年九上·重庆万州·期末）某校初二年级举办“中华传统文化知识竞赛”，从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个组，其中A：；B：；C：；D：） 甲班学生B组的成绩为：82，81，83，84，82，86，82，85． 乙班被抽取学生的成绩为：68，70，72，74，76，78，80，82，82，83，83，83，83，85，85，88，89，90，90，92． 甲乙两班抽取学生的统计表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 80 a 82 乙班 80 83 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）学校要选派一名甲班学生和一名乙班学生作为本次竞赛的文化宣传大使．已知甲班A组学生中是2名男生和2名女生，乙班A组学生中恰好是1名男生2名女生．现从甲班A组和乙班A组中分别随机选一名学生，用树状图或列表法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1），，．     （2）      【分析】 （1）根据中位数、众数的定义进行分析即可； （2）画出树状图，用恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数除以所有结果数即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知：甲班学生组人数为：8人， 甲班学生C组人数为：（人）， 甲班学生D组人数为：（人）， 则甲班学生A组人数为：（人）， 中位数取整体排序第10个和第11个数据的平均值，即B组第6个和第7个数据的平均值． 将B组数据按从小到大排列为81，82，82，82，83，84，85， 86， B组第6个数据是84，第7 个数据是85， ， ∴． ∵乙班被抽取学生的成绩中83出现4次，次数最多， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，，． (2) 小问详解： 解：树状图如下图：（列表法略） 总共有12种均等的可能，抽到一男一女的情况有6种． ． 【点睛】 本题主要考查中位数，众数，扇形统计图中比例的计算，用树状图或列表法求概率，熟练掌握相关概念和计算方法是解决本题的关键． 19．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了众数，中位数，画树状图求概率，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，再得一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种，然后列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，分析八年级20名学生的竞赛成绩，出现次数最多，且为次， ∴众数； ∵调查20名九年级学生竞赛成绩， ∴中位数排在第和名之间， 则，即A组有9名学生， 结合成绩情况，得出第和名的竞赛成绩分别是和， ∴中位数， 又∵组有名学生， 则， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：依题意，， ∴估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． (3) 小问详解： 解：把八年级2名学生分别记为甲和乙，九年级2名学生分别记为丙和丁，画出树状图如下： ∴一共有12种等可能的结果，抽到的学生至少有一名来自八年级的结果有种， ∴抽到的学生至少有一名来自八年级的概率为． 20．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园•魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A．；B．；C．；D．，其中分数不低于80为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： 67，69，72，72，75，77，78，79，85，85，86，90，91，92，92，92，95，96，98，99． 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 85.5 a 众数 b 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，            ，            ，            ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁4人中随机选取2人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2人恰好是丁和乙的概率． 【答案】（1）88，92，65     （2） 九年级学生的古诗词竞赛成绩较好， 因为八、九年级学生的古诗词竞赛成绩的平均数相等，而九年级学生成绩的中位数大于八年级， 所以九年级学生成绩的高分人数多于八年级， 所以九年级学生的古诗词竞赛成绩较好（答案不唯一，合理均可）；     （3）      【分析】 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，列表法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据中位数及众数，优秀率分析即可得出结果； （2）根据平均数相等，根据九年级成绩的中位数大于八年级的成绩的中位数，即可求解； （3）列出表格，根据概率公式即可求解． (1) 小问详解： 解：九年级成绩在A、B组的人数为（人）， ∴九年级成绩的中位数（分）， 由八年级20名学生的竞赛成绩，可得八年级成绩的众数分， 九年级成绩的优秀率，即； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：列表为： 由表格可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到丁和乙的有2种结果， 所以选中的2人恰好是丁和乙的概率为． 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 21．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）在一次试验中，每个电子元件 有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，若每个电子元件都处于通电状态，则A、B之间电流能够正常通过．在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是　　　　　　． 【答案】.25 【分析】 本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】 解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果， 其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 22．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）162；162     （2）175；108     （3）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案． （2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162， 该组数据的中位数是． 该组数据中出现次数最多的为162， 该组数据的众数为162． 故答案为：162；162． (2) 小问详解： 全校的男生人数为（人， 选择项目的男生共有（人． 扇形统计图中项目所占圆的圆心角为． 故答案为：175；108． (3) 小问详解： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， 甲和乙同学同时被选中的概率为． 23．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）2025年重庆荣昌举行了“千年荣昌，龙舟争渡”为主题的龙舟赛．共有29支队伍参加比赛．比赛设置男子组、女子组，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 A B C D 关注人数 56 40 a b （1）                 ，                 ，D所在扇形圆心角的度数为                 ； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，荣昌交警支队派出4名交警（3男1女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）；；     （2）当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人     （3）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式． （1）首先求出部分市民的人数为，根据米直道竞速赛人数所占的百分比求得，根据题意即可得到结论； （2）根据扇形统计图即可得到结论； （3）设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到的一男一女的概率． (1) 小问详解： 解：部分市民的人数为（人）， （人），（人）， 所在扇形圆心角的度数为； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：根据扇形统计图可得当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多， （人）， 答：当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人； (3) 小问详解： 解：设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有6种， 所以恰好抽到的两名交警是一男一女的概率为：． 24．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）四张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字2，3，4，5，将它们背面朝上，洗匀后先随机抽取一张，得到的牌面数字记为a，然后不放回，继续抽取第二张，得到的牌面数字记为b，则的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中的结果数有和，共2种， ∴的概率是， 故答案为：． ab 2 3 4 5 2 3 4 5 25．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了不放回抽样的概率计算，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率． 利用树状图或列表法求概率即可． 【详解】 解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 【答案】（1）；     （2） 补全条形统计图如图，     ，；     （3）抽中全是类学生的概率为．      【分析】 此题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图的知识，样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由类人数及其所占百分比可得总人数； （）总人数减去的人数求得类人数，由乘以类所占比例得类的圆心角度数，用的人数除以总人数可得对应百分比； （）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． (1) 小问详解： 解：全班学生总人数是（人）， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（）得全班学生总人数是人， ∴类人数为（人）， ∴，类的圆心角为， ∴， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：列表如下， 由表可知，共有种等可能结果，其中全是类学生的有种结果， ∴抽中全是类学生的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·重庆·期末）在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，设总颗数为，根据题意得，解方程即可求解，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】 解：设总颗数为， ∵摸到红色玻璃珠的频率稳定在， ∴ ， 解得， ∴估计布袋里玻璃珠的总颗数为， 故选：． 2．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（     ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【分析】 本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用摸到白球的频率估计其概率，即白球个数÷总球数，计算即可得出答案． 【详解】 解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 3．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共30个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为（     ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【分析】 本题考查了频率求数量． 根据摸到红球的频率稳定在左右计算即可． 【详解】 解：∵摸到红球的频率稳定在左右， ∴盒子中红球的个数约为（个）． 故选：B． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（九·重庆铜梁·期末）下列事件：①一个纸箱装有大小质地相同的10个乒乓球，其中1个黄色9个白色，随机摸出一个，摸到红色乒乓球；②翻开数学书，恰好翻到偶数页；③体育老师投篮一次，投中篮筐．其中不可能事件的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 3．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）下列事件中，属于必然事件的是（       ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 早上的太阳从东方升起 C. 经过红绿灯路口，遇到红灯 D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 4．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列事件属于不可能事件的是（     ） A. 画饼充饥 B. 守株待兔 C. 打草惊蛇 D. 旭日东升 5．（25-26学年九上·重庆万州·期末）下列事件中，属于必然事件的是（       ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 13名同学中有两个同学的生日在同一月 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 6．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列事件属于必然事件的是（     ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角是直角 7．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）下列事件中，是必然事件的是 （　　） A. 投掷一枚硬币，向上一面是正面 B. 射击一次，击中靶心 C. 天气热了，新冠病毒就消失了 D. 写出一个有理数，它的绝对值是非负数 8．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）下面事件中必然事件是（     ） A. 今天下午刮风，则明天下雨 B. 两条直线被第三条直线所截，则内错角相等 C. 抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6 D. 两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数 9．（25-26学年九上·重庆川外基础教）下列事件为必然事件的是（       ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开电视，正在播放“新闻联播” C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D. 在平面内画一个任意三角形，其内角和为 10．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 某射击运动员射击一次，命中靶心 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 一个口袋只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球 考点02 概率 1．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）重庆市育才中学初2025届某班有40名同学，其中共有8名同学参与了文艺汇演节目．从该班随机抽取1名同学，抽到参与文艺汇演的同学的概率是　　　　　　　　　　． 2．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 3．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·重庆川外基础教）不透明的箱子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从箱子中随机取出一个球，则取到红色小球为的概率为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·重庆十一中教育）掷一个质地均匀的正方体骰子一次，骰子的6个面分别刻有1到6个点，则向上一面的点数是3的倍数的概率是　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·重庆万州·期末）分别写有数字，，，，的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·重庆·期末）现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，如图所示，将4种生活现象写在4张看上去无差别的卡片上，从中随机抽取一张卡片，抽中物理变化的概率是　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）不透明的袋子中装有个黑球和个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）投掷一枚质地均匀的骰子，落地后朝上的点数不超过4的概率为　　　　　　； 12．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票50张，除图案外完全相同，现将所有邮票放入不透明口袋中，随机抽取一枚邮票图案为磁器口的概率是，则这个口袋中有磁器口邮票　　　　　　　　枚． 13．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别标有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，若摸出的两张牌面图形都是中心对称图形则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由（纸牌用A、B、C、D表示） 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图1所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（       ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2．（25-26学年九上·重庆·期末）如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）在一个不透明的口袋中，有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是1的概率为　　　　　　． 第一次        第二次 1 2 3 1 2 3 4．（九·重庆铜梁·期末）数学老师推动以“四大名著中的数学问题”跨学科主题寒假阅读行动，小斌同学从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》中挑选2本作为寒假阅读内容，则挑选到《西游记》的概率是　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是　　　　　． 6．（25-26学年九上·重庆·期末）为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． （1）本次共调查游客          人，扇形统计图中m的值为        ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 7．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别．从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是　　　　　． 红1 红2 黑1 红1 红1，红2 红1，黑1 红2 红2，红1 红2，黑1 黑1 黑1，红1 黑1，红2 8．（2026·重庆育才中学校·三模）在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为　　　　　　　　　　　． 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 9．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是　　　　　． 10．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）小江要从“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语中随机抽取2个组成标语，其中抽中“勤能补拙”的概率为　　　　　　． A B C D A B C D 11．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）西大附中运动会上，小附和小中均报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小附和小中恰好在同一个组的概率是　　　　　． A B C A （A,A） B C 12．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）小影和晓成准备在周一、周二、周三、周四这四天中选择一天上游泳兴趣班，求两人都选到周四的概率为　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）某校为开展“立志、修身、博学、报国”主题教育活动，准备从小明、小军两名男生中随机挑选一名，从小红、小丽两名女生中随机挑选一名作为活动的主持人，则恰好选中小军和小红的概率是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·重庆第十八中学）有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中抽到一张是红牌和一张是绿牌的概率是　　　　　　． 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 16．（25-26学年九上·重庆南开中学校）某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是　　　　　　　　　． A B C D A B C D 18．（25-26学年九上·重庆万州·期末）某校初二年级举办“中华传统文化知识竞赛”，从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个组，其中A：；B：；C：；D：） 甲班学生B组的成绩为：82，81，83，84，82，86，82，85． 乙班被抽取学生的成绩为：68，70，72，74，76，78，80，82，82，83，83，83，83，85，85，88，89，90，90，92． 甲乙两班抽取学生的统计表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 80 a 82 乙班 80 83 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）学校要选派一名甲班学生和一名乙班学生作为本次竞赛的文化宣传大使．已知甲班A组学生中是2名男生和2名女生，乙班A组学生中恰好是1名男生2名女生．现从甲班A组和乙班A组中分别随机选一名学生，用树状图或列表法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 19．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，87，86，89，85，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，______； （2）若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ （3）该校从八、九两个年级竞赛成绩在A组的所有学生中随机抽取了4名学生，其中八年级2名，九年级2名．现从这4名学生中随机抽取2人参加市赛，请用列表法或画树状图法，求抽到的学生至少有一名来自八年级的概率． 20．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了“诗意校园•魅力诗词”古诗词知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A．；B．；C．；D．，其中分数不低于80为优秀）．下面给出部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为： 67，69，72，72，75，77，78，79，85，85，86，90，91，92，92，92，95，96，98，99． 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83，83，88，88，88，89． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 85.5 a 众数 b 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，            ，            ，            ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁4人中随机选取2人作古诗词积累的经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2人恰好是丁和乙的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 21．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）在一次试验中，每个电子元件 有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，若每个电子元件都处于通电状态，则A、B之间电流能够正常通过．在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是　　　　　　． 22．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 23．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）2025年重庆荣昌举行了“千年荣昌，龙舟争渡”为主题的龙舟赛．共有29支队伍参加比赛．比赛设置男子组、女子组，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 A B C D 关注人数 56 40 a b （1）                 ，                 ，D所在扇形圆心角的度数为                 ； （2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？ （3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，荣昌交警支队派出4名交警（3男1女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到一男一女的概率． 24．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）四张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字2，3，4，5，将它们背面朝上，洗匀后先随机抽取一张，得到的牌面数字记为a，然后不放回，继续抽取第二张，得到的牌面数字记为b，则的概率是　　　　　　． ab 2 3 4 5 2 3 4 5 25．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·重庆·期末）在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（     ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 3．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共30个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为（     ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $