内蒙古赤峰市三校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

2026-2027学年度上学期高二联考考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.每年的月日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的家肉制品店、家粮食加工品店和家乳制品店进行抽检，要用分层随机抽样的方法从中抽检家，则粮食加工品店需要被抽检（ ）家 A. B. 10 C. D. 2．在如下图给出的频率分布直方图三种分布形态中，关于平均数，众数和中位数的说法正确的是（    ） A．图1中，中位数平均数众数 B．图2中，众数中位数平均数 C．图3中，中位数平均数众数 D．三个图中，中位数与平均数和众数都大致相等 3．若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．样本数据为，，，，，，，，，的第55百分位数为（    ） A．9.5 B．10 C．10.5 D．11 5．已知圆锥的底面半径为2，母线长6，则该圆锥的侧面积为（  ） A． B. C. D． 6．设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（     ） A．12 B． C．6 D．36 7．甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．元宵活动中有个游戏为掷骰子,规则是“一局游戏有6次投掷机会,只要能投掷出6点便视为游戏成功,否则,游戏失败”.假设骰子质地均匀,则随机玩一局游戏,比较游戏成功与失败的可能性,下列说法正确的是(　　) A.游戏成功的可能性更大 B.游戏失败的可能性更大 C.游戏成功与游戏失败的可能性一样大 D.游戏成功与游戏失败的可能性无法比较 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是（ ） A．3件都是红色 B．3件都是白色 C.至少有1件红色 D．有1件白色 10.对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（     ） A．若，则 B．若，则的最大值是 C．可能是对立事件 D．不可能是互斥事件 11．已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（     ）． A．这组数据最多有4个数据大于7 B．这组数据最多有4个数据小于7 C．若这组数据的标准差为2，则 D．若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设事件A, B,已知 13．如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为____ 14.如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间再求） (1)记事件为“”，求事件的概率； (2)记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 16．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值 17．随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． (1)求a，b的值； (2)现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前20%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分不低于80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均低于90分的概率． 18.如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点． (1) 求证：； (2) (2)若为的中点，求三棱锥的体积； (3)若平面，求的长． 19.在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立． (1)若． ①求甲获得第四名的概率； ②设甲总共进行了3场比赛为事件，甲获得冠军为事件，证明：事件，相互独立； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛（争夺冠军），败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由。 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期10月份联考数学答案 一．单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D A C D A 二．多选题 9 10 11 AD ABD BCD 三．填空题 12 13 14 0.7 1 14.答案：1 解析：因为，所以.因为，，，所以.因为M，D，E，F四点共面，所以，所以.因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1.故答案为1. 15.【详解】（1）由题意可知，所有样本点可表示为，其中，都是，，，中的数， 则样本空间且，事件：“”，则对立事件：“”， 对立事件， 符合条件的基本事件数， 所以，因此．------------6分 （2）由（1）可知，样本空间且， 事件表示“能被整除或”， 则事件包含样本点为：，，，，，，，，，，，， 符合条件的基本事件数， 所以.---------------13分 16. 【详解】（1）因为所以 17.【详解】（1）由直方图的数据得①， 由评分在的快递车比内的多40辆，得 ，解得②， 联立①②，解得，．-------------5分 （2）达到前20%时的分数线，等价于求第80百分位数．从低分段累计频率： ， 第80百分位数落在区间， 设分数线为x，则， 解得，估计A等车的分数线为87.5分．-----------10分 （3）分层抽样：评分在有80辆，有20辆。 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 编号：在组的4辆车记为1，2，3，4；组的1辆车记为5． 样本空间 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含5）： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种， 两车评分均不超过90分的概率：．-----------15分 18．(1)证明：因为底面，底面，所以． 设，因为，，， 所以．且． 所以，即． 又因为，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以 ------ 5分 (2) (3) 【分析】（1）先由线面垂直得，再由三角形全等证，根据线面垂直的判定定理证得平面，即得； （2）利用为的中点实现三棱锥的体积转化，即，再根据三棱锥的体积公式计算即得； （3）取中点,利用面面平行的判定定理证明平面平面，再由其性质定理推得，从而得为的中点，借助于直角三角形即可求得. （2）因为为的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的2倍． 故． 在中，易得，于是． 由三棱锥的高，得; ------- 10分 （3）如图，取中点，连接，． 在中，由，，得． 于是，则． 在中，因为，，，所以．故． 又因为平面，平面.故平面． 因为平面，平面，所以平面平面． 又因平面平面，平面平面， 所以．因为为的中点，所以为的中点． 因为底面，底面，所以． 因为，所以． 所以. --------17分 1．(1)①； --------------- 3分 ②甲总共进行了3场比赛，有四种可能性分别为 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛败获得第二名； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮败获得第三名； 第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮败获得第三名； 所以， 甲获得冠军，有三种可能性分别为 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 所以， 事件和事件同时发生，只有一种可能，即甲连续三场全胜获得冠军， 所以， 因为， 所以事件，相互独立. ------10 (2)在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率， 在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率， 因为， 所以当时，，即“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，即两种赛制下甲夺冠的概率一样； 当时，，即“双败淘汰制”对甲夺冠有利. --------17 【分析】（1）①结合对立事件和独立事件概率公式求解即可； ②根据事件独立的充要条件，分别计算出三个概率验证等式成立即可. （2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的赛制对甲夺冠有利. 【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，即甲双败，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $