内蒙古赤峰二中2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题 1． A.2 B. C. D.5 答案B 2．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或. 显然是的真子集， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 3.某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 02  93  12  25  85  69  68  34  31  45  73  93  28  75  56  35  87  30  11  07 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（   ） A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35 【答案】B 【分析】根据题意分析出两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的基本事件数有9个，总的事件数有20个，根据古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】因为1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心， 所以两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示：随机数组中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个； 它们分别是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9个， 即满足条件的基本事件数有9个，总的事件数有20个， 所以该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为． 故选：B. 4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意有：向量在向量上的投影向量是： ， 故选：A. 6已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 7.已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点的坐标，再求得的长即得． 【详解】设点关于直线的对称点为，则有解得， 因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5. 故选：C． 8.四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 故选：C 二、多选题 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线关于对称的直线方程是 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D 【详解】令，故直线在轴上的截距为，A错误； 直线与直线之间的距离，B正确； 直线斜率为，且与交于点， 故直线关于对称的直线斜率为3且经过点，方程为，C错误； 直线斜率为，直线斜率为，两直线的斜率乘积为，两直线垂直，D正确. 故选：BD. 10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】BCD 【分析】列出两次出现的点数组，由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事件的概率公式可判断BCD选项. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示： 第二次第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有种， 表示事件“两次掷出的点数相同”, 表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数” ，故B正确； 表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种： ，故C正确； 事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；， 事件“两次掷出的点数相同”共6种：， 表示事件“两次为相同的偶数”共3种： ， 即，与相互独立，故D正确. 故选：BCD 11．在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面相交 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间垂直向量的坐标表示判断A；利用线面平行的向量法判断B；利用面面平行的向量法判断C；利用向量法求出点到平面的距离公式判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， ， A：，有， 则DF与不垂直，故A错误； B：，， 设平面DEF的法向量为， 则，令，得， 所以，得，所以平面DEF，故B正确； C：，由B选项可知平面DEF的法向量， 设平面的法向量分别为， ，令，得， 所以，得不成立，所以平面与平面DEF相交，故C正确； D：由，平面DEF的法向量， 则点B到平面DEF的距离为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．两条直线与的交点到直线x+y-3=0的距离为 【详解】由解得，故两直线交点为(－1，2)， 故d= 13． “青年大学习”是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答.某期学习中假设同学小华答对第一､二个问题的概率分别为，，且两题是否答对互不影响.则小华恰好答对一个问题的概率为 . 【答案】 14.在正方体中,以D为圆心正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形CD画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧C上任一点，点M,N到平面AD 设正方体棱长为1，建系D-xyz,设M（m,n,0）N(0,n,p)，所求问题转化成向量DM,DN夹角的余弦值，即,根据已知求n即可。 答案：或 四、解答题 15．下面有两个关于“袋子中装有红、白两种颜色的相同小球，从袋中无放回地取球”的游戏规则，这两个游戏规则公平吗？为什么？ 游 戏 1 游 戏 2 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取1个球，再取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 【详解】解：游戏1：从2个红球和2个白球中，取1个球，再取1个球，基本事件共有12个. “取出的两个球同色”包含的基本事件有4个.　　　　　　　　　　　　　　 所以P（甲胜）＝，P（乙胜）＝ 因此规则是不公平的. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 游戏2：从3个红球和1个白球中，取1个球，再取1个球，基本事件共有12个. “取出的两个球同色”包含的基本事件有6个. 　　　　　　　　　　　　　 所以P（甲胜）＝，P（乙胜）＝ 因此规则是公平的. 16.已知直线l:kx-y+1+2k = 0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 17．新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. (1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； (2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果； （2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果. 【详解】（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，， 记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以. （2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，事件“乙符合该大学某专业报考条件”，事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”， 由（1）可知，， . 18．某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判断定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴，轴正向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在满足条件的点，设，利用空间向量求出的值即可. 【详解】（1）取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在图1中，且, 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的正切值为. 19．．在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的方程为 = ，直线的方程为 = ，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值. 1．(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的方程，得到直线的一个方向向量，由直线的方程，得到的一个方向向量，再利用夹角公式求解. （2）先求得平面的一个法向量，再根据直线过点，写出平面的方程. （3）先求得平面的法向量，易知平面的一个法向量为，再求得平面与平面的交线（即直线）的方向向量，由平面可知平面的一个法向量为，然后根据，由求解. 【详解】（2）由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $赤峰二中2024级高二上学期第一次月考 数学试题 命题人： 一、单选题 1.已知a=(←-11,1)，b=(2,x,)且a1五，那么6=() A.2 B.v6 C.V1⑩ D.5 2.设eR,则“元=-3”是“直线3.x+(2-1)y=1与直线x+1-)y=2平行”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次 投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2， 3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心：再以每两个随机数为一组，代表两次 的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 0293122585696834314573932875563587301107 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为() A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35 4.如图，空间四边形0ABC中，OA=a,O8=b,0C=c,点M在OA上，且OM=2aA, 点N为BC中点，则M等于() A. 2+.15.1- B.- a+b+- 321 c. D.a+3 2 5.已知空间向量a=(2,-2,-1),b=(3,0,1),则向量6在向量d上 的投影向量是() 10105 B 10105 3-33 c.(2o D 30. 、21 2 6.已知直线1过点(0,4)，且与直线√3x-y+4=0及x轴围成等腰三角形，则1的方程为() 高二数学第1页，共4页 A.√3x+y-4=0或V3x-3y+12=0 B.√5x-3y+12=0或3x-√5y+4V3=0 C.V3x-y+3=0 D.√5x+y-3=0 7.已知直线：x-y+1=0,从点A(-2,3)射出的光线经直线1反射后经过点B(2,4),则光线从A 到B的路程为() A.2 B.3 C.5 D.6 8.四棱锥S-ABCD中，AB=(4,-1,0),AD=(0,3,0),AS=(-3,1,-4),则三棱锥S-ABD的 体积为() A.5 B.6 C.8 D.9 二、多选题 9.已知直线：x-3y+1=0,则下列说法正确的是() A.直线1在x轴上的截距为1 B.直线1与直线：x-3y+2=0之间的距离为 10 C.直线1关于x-y=0对称的直线方程是3x-y+1=0 D.直线1与直线12：3x+y+1=0垂直 10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷的点数之和是4”，B表示事件“第二 次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”， 则() A.A与C互斥 B.) c.P() D.B与C相互独立 11.在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别是棱BC,CC的中点，则() A.DE⊥DF B.AD∥平面DEF C.平面BCD与平面DEF相交 D.点B到平面DEP的距离为 三、填空题 12.两条直线：x-y+3=0与l,:2x+y=0的交点到直线x+y-3=0的距离为」 13.“青年大学习”是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需 高二数学第2页，共4页 要点击回答某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为导，子且两题是否答对互 不影响.则小华恰好答对一个问题的概率为 14.在正方体ABCD-ABCD中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方 形CDD1C1画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧CD1上任一点，点M,N到平面ADD1A1 的距离相等，且<DN,D成<成，D瓜牙则cas∠MDN=一 四、解答题 15.下面有两个关于“袋子中装有红、白两种颜色的相同小球，从袋中无放回地取球”的游戏规 则，这两个游戏规则公平吗？为什么？ 游戏1 游戏2 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取1个球，再取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 16.己知直线1：kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明：直线1过定点： (2)若直线1不经过第四象限，求k的取值范围： (3)若直线1交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,0为坐标原点，设△AOB的面积为S, 求S的最小值及此时直线1的方程 17.新高考实行3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1 为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中 任选两科某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科： (1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该 大学某专业报考条件的概率； (2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率， 18.某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中 提到了“刍甍(g)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E,F,G 高二数学第3页，共4页 分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁 掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）. G D B B 图1 图2 (I)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO//平面GCF; (②)若二面角A-B7-B的大小为号，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值： (3)在(2)的条件下，在棱AG上是否存在点P,使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正 切值为5？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由。 19.在空间直角坐标系Oxz中，已知向量i=(a,b,c)(其中a、b、c不同时为0)，点(x,y,2o) 若直线以为方向向量且经过点P。,则直线1的标准方程可表示为 X-七=y,=名-(ac≠0)：若平面a以元为法向量且经过点B,则平面a的点法式方程 0 b 可表示为a(x-x)+b(y-yo)+c(2-z。上0，将其整理为一般式方程为ax+by+cz-d=0,其 中d=。+y。+czo. (①少已知直线的方程为号=生=-2，直线，的方程为号=号=2-5，求直线名与，所成 2 2 角的余弦值： 回若直线号-仁-)与直线--)片学布在平有u内求平面0的一般方程， 42 (3)已知斜三棱柱ABC-AB,C中，侧面ABBA1所在平面2经过三点 P(4,0,0),Q(3,1,-1),H(-1,5,2),侧面BCCB1所在平面B,的一般式方程为x+2y+二+4=0， 侧面ACC1A所在平面y2的一般式方程为x+6y+2c+1=0,求实数的值. 高二数学第4页，共4页