精品解析：内蒙古包头市第二十七中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年度第一学期包头市第二十七中学 高二月考数学试卷 一、单项单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 5. 空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 8. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，则下列结论正确的是（ ） A. 每一条直线都有点斜式与斜截式方程 B. 倾斜角为钝角的直线，斜率为负数 C. 直线过点，倾斜角为，则其方程为 D. 方程与方程表示同一条直线 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时，上存在点M，使得，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上） 12. 已知空间向量，，且，则______． 13. 若直线与平行，则______． 14. 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 四、解答题（共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设若四点共面，求实数的值 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，M是的中点，点Q在上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与的夹角． 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． （1）证明：； （2）求的长； （3）求到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期包头市第二十七中学 高二月考数学试卷 一、单项单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线l的倾斜角为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线l的倾斜角为45°，得直线l的斜率. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线的斜率为,再结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】将直线化为斜截式方程为：, 所以，直线的斜率为, 因为直线的倾斜角满足, 所以，直线的倾斜角为. 3. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】 ，故选项A正确． 4. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，． 5. 空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由且，得． 因为为的中点，所以． 因此． 6. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【分析】三个向量不能构成空间基底，即共面，即存在实数，使， 所以， 所以，解得. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则，， ，， ， ，，， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则. 8. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析直线的斜率不存在、斜率小于零、斜率等于零或斜率大于零四种情况，可得到满足题意的直线方程. 【详解】如图，设，直线过和． ①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在； ②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以， 所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为， 方程为，即； ③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零； ④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形. 设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得， 所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 故选:A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，则下列结论正确的是（ ） A. 每一条直线都有点斜式与斜截式方程 B. 倾斜角为钝角的直线，斜率为负数 C. 直线过点，倾斜角为，则其方程为 D. 方程与方程表示同一条直线 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程的适用条件进行判断． 【详解】当直线斜率不存在时，直线不存在点斜式和斜截式方程，故A错误； 根据斜率等于倾斜角的正切值可知，当倾斜角为钝角时，其正切值为负数，故B正确； 当直线过点，倾斜角为时，斜率不存在，故其方程为，故C正确； 方程表示的直线不含点，而方程包含点，故不表示同一条直线，故D错误． 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时，上存在点M，使得，则 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示线段上动点的坐标，将立体几何问题转化为向量坐标运算；对垂直关系选项A、C，通过计算对应向量的点积是否为 0，判断线线垂直是否成立；对选项B向量数量积最值问题，将点积表示为参数的二次函数，利用二次函数对称轴求最小值；对选项D，设出点坐标，代入向量夹角余弦公式列方程，求解并验证选项结论. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为 1， 则，，，，， 设（），则的坐标为. 选项 A ， ， ， 故，令， 解得，即存在点使得，因此A错误； 选项 B ，， ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值为，因此B正确； 选项 C，当时，， ， 即，故，因此 C正确； 选项 D，设在上，（）， 则，，， 所以， 令，平方化简得，即，因此D错误. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上） 12. 已知空间向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由于，所以， 则. 13. 若直线与平行，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 14. 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率的取值范围. 【详解】如图所示，由点和， 可得， 要使得过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则满足或， 所以直线的斜率的取值范围为 四、解答题（共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设若四点共面，求实数的值 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量垂直关系的坐标表示求出 ，进而求出的坐标，再利用坐标求出模. （2）由四点共面，得向量共面，建立等式求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得， 则，而， 因此，所以. 【小问2详解】 若四点共面，则向量共面，设， 即， 因此，解得， 所以的值是. 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； 【小问3详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，M是的中点，点Q在上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与的夹角． 【答案】（1） 证明：由平面，截面为矩形， 以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，故， 又，即，则， 所以， ，， ，且平面，所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设构建空间直角坐标系，应用向量法证明、，再由线面垂直的判定证结论； （2）由（1）有，即可确定异面直线夹角大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，即直线与的夹角为. 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． ，分别是，的中点，， ． 平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线，结合平行线的传递性，可得，进而根据线面平行的判定求解即可， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，，两两垂直．设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 19. 如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足． （1）证明：； （2）求的长； （3）求到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，由， 得均为等边三角形，则，而为的中点， 因此，又平面， 则平面，又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）利用平行四边形性质及余弦定理求解. （3）利用线面平行的性质，结合等体积法列式计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，而为的中点，则， 由（1）得，因此，即， 又，则，由，得四边形为平行四边形， 则， . 【小问3详解】 由（1）（2）知，而平面，则平面， 由，得，而平面，平面， 因此平面，点到平面的距离等于点到平面的距离， 而， 由，得，则， 所以到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $