福建莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

沙堤中学2026-一2027九上数学第一次月考试卷 考试时间：120分钟 满分150分 学校： 班级： 姓名：一 学号： 一、选择题（每小题34分，共40分） 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是() A.3x+1=0 B.x2+y=1 C.x2-2x=3 D.是+x=2 2.将方程(x+1)(x-3)=5化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是() A.1,-2,2 B.1,-2,-8 C.1,2,-8 D.1,2,8 3.用配方法解方程x2-6x+4=0,配方后所得的方程是(） A.(x-3)2=13B.(x+3)2=5 C.(x-3)2=5 D.(x-6)2=40 4.方程x(x-2)=3(x-2)的解是() A.x=3 B.X1=2,X2=3 C.X1=-2,x2=3D.X1=2,x2=-3 5.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是() A.m<1 B.m>1 C.m≤1 D.m<-1 6.若关于x的方程(m-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是() A.m≠0 B.m≠2 C.m≠-2 D.m>2 7.抛物线y=-2(x+1)2+3的顶点坐标是() A.(1,3) B.(-1,-3) C.(-1,3) D.(1,-3) 8.将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是 () A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-3)2+2 C.y=(x+3)2-2 D.y=(x-3)2-2 9.如图，己知二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列结论正确的是（() A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0D.a<0,b<0 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0,1)，顶点的横坐标为2。下列结论中错误 的是() A.abc>0 B.4a+b=0 C.当x>2时，y随x的增大而减小 D.当x=-1时，y<0 (第9题) (第10题) 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.一元二次方程(x-2)2=9的根是 12.若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根，则m的值是 13.抛物线y=3(x-2)2-1的顶点坐标是 、 14.若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是 15.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-2,0)和(4,0)，则该抛物线的对称轴是直 线 16.已知点A(-1,y1),B(2,y2),C(4,y3)都在抛物线y=-x2+2x+3上，则y1,y2,y3的大小关系 是 (用“<”连接)。 三、计算与求解（共40分) 17.(本小题满分8分)解下列方程： (1)x2-5x+6=0: (2)2x2-4x-1=0。 18.(本小题满分8分)己知a是方程x2-2018x+1=0的一个根，求a2-2017a+ 2018 a2+1 的值. 19.(本小题满分8分)己知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0。 (1)若方程有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根： (2)若x=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根。 20.(本小题满分8分)某超市2026年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为242万元。该 超市1月份到3月份营业额的月平均增长率相同，求这个月平均增长率。 21.(本小题满分8分)如图，某小区有一块长32m、宽20m的矩形空地，现计划在空地上修建两条宽 度相同且互相垂直的小路（一条与空地的长边平行，一条与空地的宽边平行），剩余部分种植草坪。若草 坪的面积为540m㎡，求小路的宽度。 32m 22.(本题10分)某商店销售一种成本为每件30元的商品，物价部门规定每件售价不高于50元.经市 场调查发现：当每件售价定为40元时，每天可售出60件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减 少2件. (1)求每天销售利润W(元)与每件售价X(元)之间的函数关系式： (2)当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23.(本小题满分10分)阅读材料：若m2-4mn+5n2-2n+1=0,求m、n的值. 解：m2-4mn+5n2-2n+1=0, ∴(m2-4mn+4n2）+(n2-2n+1）=0, ∴(m-2n)2+(n-1)2=0, ∴.(m-2nm)2=0,(n-1)2=0, .n=1,m=2. 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x、y的值： (2)己知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+b2=12a+8b-52,且△ABC是等腰三角形，求c的值. 24.(本小题满分12分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x2,且 x-x2=2,那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程x2+2x=0的两个根是x=0,2=-2, 0-（-2)=2,方程x2+2x=0是“伴根方程”. 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程x2+8x+15=0是否为“伴根方程”： (2)已知关于x的方程(x-m)(x+)=0(m是常数)是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若m>0,解关于1的方程mt2+4t+4=0. 25.(本小题满分14分)如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C。点P是第一象限内该抛物线上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作PQ‖y 轴，交线段BC于点Q。 (1)求点A,B,C的坐标及直线BC的解析式： (2)设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PQ的长： (3)当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值。 沙堤中学2026--2027九上数学第一次月考试卷 考试时间：120 分钟    满分 150 分 学校：__________    班级：__________    姓名：__________    学号：__________ 一、选择题（每小题 34分，共 40 分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）     A. B. C. D. 2. 将方程 化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　）     A. 1，−2，2 B. 1，−2，−8  C. 1，2，−8 D. 1，2，8 3. 用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（　　）     A. B. C. D. 4. 方程 的解是（　　）     A.   B. ，C. ，D. ， 5. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）     A.   B. C. D. 6. 若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是（　　）     A.   B. C.   D. 7. 抛物线 的顶点坐标是（　　）     A.   B.   C. D. 8. 将抛物线 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　）     A. B. C.   D. 9. 如图，已知二次函数 的图象，则下列结论正确的是（　　）     A. ，B. ，C. ，D. ， 10. 如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，顶点的横坐标为 2。下列结论中错误的是（）     A. B. C. 当 时， 随 的增大而减小 D. 当 时， (第9题) (第10题) 二、填空题（每小题 4分，共 24 分） 11. 一元二次方程 的根是     。 12. 若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值是    。 13. 抛物线 的顶点坐标是     。 14. 若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是    。 15. 已知抛物线 （）与 轴交于点 和 ，则该抛物线的对称轴是直线     。 16. 已知点 ，， 都在抛物线 上，则 ，， 的大小关系是     （用“<”连接）。 三、计算与求解（共 40 分） 17.（本小题满分 8 分）解下列方程： （1）； （2）。 18．（本小题满分 8分）已知是方程的一个根，求的值． 19.（本小题满分 8 分）已知关于 的一元二次方程 。 （1）若方程有两个相等的实数根，求 的值及此时方程的根； （2）若 是方程的一个根，求 的值及方程的另一个根。 20.（本小题满分 8分）某超市 2026 年 1 月份的营业额为 200 万元，3 月份的营业额为 242 万元。该超市 1 月份到 3 月份营业额的月平均增长率相同，求这个月平均增长率。 21.（本小题满分 8分）如图，某小区有一块长 32 m、宽 20 m 的矩形空地，现计划在空地上修建两条宽度相同且互相垂直的小路（一条与空地的长边平行，一条与空地的宽边平行），剩余部分种植草坪。若草坪的面积为 540 m²，求小路的宽度。 22．（本题10分）某商店销售一种成本为每件 30元的商品，物价部门规定每件售价不高于 50 元．经市场调查发现：当每件售价定为40 元时，每天可售出60 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 2件． (1)求每天销售利润 W（元）与每件售价 X（元）之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（本小题满分 10 分）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，求、的值； (2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 24．（本小题满分 12分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 25.（本小题满分 14 分）如图，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 的左侧），与 轴交于点 。点 是第一象限内该抛物线上的一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴，交线段 于点 。 （1）求点 ，， 的坐标及直线 的解析式； （2）设点 的横坐标为 ，用含 的代数式表示线段 的长； （3）当 的面积最大时，求点 的坐标及 面积的最大值。 人教版九年级上册数学第一次月考试卷参考答案 一、选择题（每小题 4分，共 40分） 1. C    2. B    3. C    4. B    5. A     6. B 7. C    8. D    9. A    10. A 解析： 1. A 是一元一次方程；B 含有两个未知数；D 是分式方程；C 可化为 ，是一元二次方程，故选 C。 2. 展开得 ，移项合并得一般形式 ，所以二次项系数、一次项系数、常数项依次为 1，−2，−8，故选 B。 3. 移项得 ，两边同时加上 9，得 ，即 ，故选 C。 4. 移项得 ，提公因式得 ，所以 ，。注意不能在方程两边同时除以 ，否则会丢失 这个根，故选 B。 5. 由题意得 ，即 ，解得 ，故选 A。 6. 一元二次方程要求二次项系数不为 0，即 ，解得 ，故选 B。 7. 由顶点式直接读出顶点坐标为 ，故选 C。 8. 向右平移 3 个单位长度得 ，再向下平移 2 个单位长度得 ，故选 D。 9. 抛物线开口向上，得 ；对称轴在 轴左侧，即 ，结合 得 ，故选 A。 10. 由图象开口向下得 ；顶点横坐标为 2，即 ，得 ；由图象与 轴交于点 得 。所以 ，A 错误；B 正确；抛物线开口向下，对称轴右侧 随 的增大而减小，C 正确； 时图象在 轴下方，，D 正确。故选 A。 二、填空题（每小题 4分，共 24 分） 11. ，        12. 2          13. 14.          15.         16. 三、计算与求解（共 86分） 17. （1）解：因式分解，得 。     于是 或 ，解得 ，。     （2）解：这里 ，，。     。     由求根公式，得 。     即 ，。     18． 利用一元二次方程的解的定义得到，则可变形为，通分得到原式，然后把代入计算即可． 解：是方程的一个根， ， ， ． 19. （1）解：因为方程有两个相等的实数根，所以 ，     即 ，解得 。     此时方程为 ，即 ，     解得 。     （2）解：把 代入方程，得 ，解得 。     此时方程为 ，因式分解，得 ，     解得 ，，所以方程的另一个根是 。     20.（8 分） 解：设这个月平均增长率为 。     根据题意，得 。     解这个方程，得 ，开平方，得 ，     所以 ，。     因为增长率不能为负数，所以 不符合题意，舍去。     答：这个月平均增长率为 10%。     21. 解：设小路的宽度为 m。     利用图形平移，剩余草坪可合成长为 m、宽为 m 的矩形。     根据题意，得 。     整理，得 。     因为 ，     所以 ，解得 ，。     因为 ，小路的宽度不能超过空地的宽，所以 不符合题意，舍去。     答：小路的宽度为 2 m。     22．(1) (2)售价 元时最大利润 元 【详解】（1）解：根据题意得： ∴， ∴每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式为． （2）解：根据（1）得： ∴此抛物线开口向下，对称轴为，有最大值， ∵在范围， ∴当时，， ∴当每件售价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元． 23．(1)， (2)或 【分析】（1）利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质得出，，即可求出、的值； （2）根据，利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质求出，，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】（1）解： ∴ ， ，， ，． （2）解：， ， ， ， ∵，， ∴，， 解得，， 是等腰三角形， 或， 经检验，或都符合三角形的三边关系． 24．(1)是“伴根方程” (2)①或；② 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； （2）解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 25. （1）解：令 ，得 ，即 ，     因式分解，得 ，解得 ，。     因为点 在点 的左侧，所以 ，。     令 ，得 ，所以 。     设直线 的解析式为 。把 ， 代入，得 ，，     解得 。所以直线 的解析式为 。     （2）解：因为点 的横坐标为 ，且点 在抛物线上，所以 。     因为 轴，所以点 的横坐标也为 。又点 在直线 上，所以 。     因为点 在第一象限且位于直线 上方，所以 ，其中 。     （3）解：线段 把 分成 和 两部分，     以 为公共底边，点 到直线 的水平距离为 ，点 到直线 的水平距离为 ，     所以 。     配方，得 。     因为 ，所以当 （满足 ）时， 的面积最大，最大值为 8。     此时 ，所以点 的坐标为 。     学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $