湖南长沙市珺琟高级中学2026-2027学年上学期高二第一次月考试卷数学试题

珺琟高级中学2026-2027学年上学期高二第一次月考试卷 数 学 命题人:吕 游 审题人:王智群 喻忠霞 唐梦乐 时量:120分钟满分:150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，0，1，，，则（　　） A． B．， C．，1， D． 2．若复数满足，则（　　） A．1 B． C．2 D． 3．已知向量，且，那么（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 5．若直线与直线之间的距离是，则（　　） A．0 B．1 C． D．2 6．若点在以，，为顶点的△的内部运动（包含边界），则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，，，，，则与的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，点，，，，，，定义．如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为（　　） A．， B．， C．， D．， 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知点，，为圆上一点，则（　　） A．点在圆外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，是由两种及以上正多边形围成的、所有棱长完全相等的多面体，有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的所有棱长均为6，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（　　） A．棱长为2 B．共有8个正六边形面和8个正方形面 C．表面积为 D．体积为 11．下列四个命题中正确的是（　　） A．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．已知两条直线，，若，则 C．若直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 D．若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为， 3、 填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点，1，，点，1，，则点，1，到直线的距离为　 ． 13．如图，在中，，为上一点，且满足，则的值为　 ． 14．在一个底面半径为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内放入6个半径为的铁球，则圆柱高的最小值为 　 ． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）当时，试判断△的形状． 16．（15分）如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）中，，， （1）求证：平面． （2）求与平面所成的角的余弦值； （3）求二面角的正弦值． 17．（15分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，，，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示． （1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （2）现按分层抽样从质量为，，，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率； （3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元个收购． 请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 参考数据：． 18．（17分）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． （1）问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值． （2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． 19．（17分定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为，的最小值为，若，则称为圆的“伴随点”；若同时是圆和圆的“伴随点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴随点”． （1）求点所在曲线的方程； （2）已知圆，，均为圆“”的“共生点”． 求直线的方程； 若圆是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线与圆交于、两点，是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 数学试题 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 珺琟高级中学2026-2027学年上学期高二第一次月考试卷 数学参考答案与试题解析 选择题:1一8题，每题5分;9一11题,每题6分，共58分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B C A C D A ABD ACD BC 填空题:每题5分，共15分。 12. 13. 14. 详 解 1．【答案】 【解答】解：因为集合，，0，1，，， 所以，1，． 2．【答案】 【解答】解：，故． 3．【答案】 【解答】解：向量，且，，． 4．【答案】 【解答】解：表示到上点的距离的平方 的最小值是到的距离的平方 据点到直线的距离公式得的最小值是． 5．【答案】 【解答】解：直线与直线之间的距离是， ，，（负值舍去） 6．【答案】 【解答】解：根据已知条件，可知点是以点，，为顶点的△ 内部一动点（包含边界），的几何意义是过动点与定点的直线的斜率，由已知得，，， 可得的取值范围是． 7．【答案】 【解答】解：在平行六面体中，，，，， 设，则， ， ．设与的夹角为， ， 与的夹角的余弦值为：． 8．【答案】 【解答】解：设，，，，，， ，，点的轨迹为． 又，则△△，， 即，得点的轨迹为， 设点轨迹与轴两个交点分别为，，点轨迹为圆，圆心为，半径， 且与轴两个交点分别为，，结合图象得：， 又，，所以． 9．【答案】 【解答】解：对于，、所以在圆外，正确； 对于，，正确； 对于，当时，，，，错误； 对于，设，，则，故， ， 所以，当且仅当时取等，正确． 10．【答案】 【解答】解：对于，因为正八面体的所有棱长均为6，截去的四棱锥都是全等的， 所以截去后，剩余棱长为2，故正确； 对于，根据立体图形可知，阿基米德多面体共有8个正六边形面和6个正方形面，故错误； 对于，阿基米德多面体由8个全等的正六边形面和6个全等的正方形面组成， 单个正方形面积为， 单个正六边形面积为， 所以阿基米德多面体表面积为，故正确； 对于，阿基米德多面体体积为正八面体体积减去6个全等的四棱锥体积． 正八面体体积为两个全等的四棱锥的体积之和：， 单个截去的四棱锥体积为：， 所以阿基米德多面体体积为，故正确． 11．【答案】 【解答】解：选项：过点在轴和轴上的截距互为相反数的直线为：和，共两条，故错误； 选项，， 整理得：，，， 且，解得，故正确； 选项直线等价于，恒过定点， ， 又直线与线段相交，或，即为或，故正确； 选项：当直线与平行时，即时不能构成三角形； 当直线与平行时，即时不能构成三角形； 直线与交于点， 当点在直线上时，即时，不能构成三角形， 实数的取值集合为，1，，故错误． 12．【答案】． 【解答】解：由题意可得：，， ，，， 根据空间点到直线的距离公式． 13．【答案】． 【解答】解：因为，所以， 所以，又因为，，三点共线， 所以，解得． 14．【答案】． 【解答】解：由题意，若同一层放2个球：两球心相距，每个球心到圆柱中心轴的距离为， 球心到圆柱侧壁的距离为，刚好等于球半径，可放下， 若同一层放3个球：三个球心构成边长为的正三角形， 其外接圆半径为，加球半径后大于，超出圆柱底面半径，放不下， 因此6个球分3层，每层2个放置，总高最小，此时相邻两层的两个球错开放置，如图所示． 若，为下层球心，，为上层球心，且四个铁球两两相切，则四面体的各棱长为， 将四面体补全为上图所示的正方体，则正方体的棱长为， 即上层铁球的球心所在平面与下层铁球的球心所在平面的距离， 即上下两层铁球球心的间隔为， 最下层球心距底面、最上层球心距顶面均为球半径，3层共2个间隔， 所以总高为． 四．解答题（共5小题） 15．【解答】解：（1）根据边角转换可得， ，则， 则，根据二倍角公式可得， 整理得 4分 又因为，， 故，解得，则 6分 （2）证明：因为，所以，即， 因为，所以 8分 10分 即， 即，解得 12分 因为，所以，于是， 所以，△为等边三角形 13分 16．【解答】证明：（1）以为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，2，，，2，， ，1，，，1，，，0，， ， 2分 ，， ，平面 4分 解：（2）设，，为平面的一个法向量， ，0，，，1，， 则，取，得，2， 6分 又，1，，设与平面所成角为，则， 与平面所成的角的余弦值为 9分 （3）由（2）知平面的一个法向量为，2，， 设，，为平面的一个法向量， ，1，，，1，， 则，取，得，， 11分 设二面角的平面角为， 则 13分 ．二面角的正弦值为 15分 17．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.05，0.17，0.20，0.30，0.25，0.03， 这组数据的平均数 3分 （2）法一：利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在，内的芒果有2个，记为，，质量在，内的芒果有3个，记为，，； 从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合： ，，，，，，，． 从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为 5分 法二：利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在，内的芒果有2个，质量在，内的芒果有3个， 从抽取的5个芒果中抽取2个共有种 6分 记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则的不同组合有种 7分 从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为 8分 （3）方案①收入：（元 10分 方案②：低于250克的芒果收入为（元 12分 不低于250克的芒果收入为（元 14分 故方案②的收入为（元． 由于，所以选择方案②获利多 15分 18．【解答】解：（1）在△中，由余弦定理得：， 2分 所以，， 所以四边形的面积为： 6分 当，即时，四边形的面积取得最大值为 8分 （2）因为，且△为等边三角形，，， 所以，所以 10分 即的最大值为6，当且仅当取等号 11分 所以，不妨设， 则余弦定理得：，解得 15分 所以， 因为，所以 17分 19．【解答】解：（1）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以，可得 2分 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为 4分 （2）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以，可得 5分 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点 7分 因为，均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，因此直线的方程为 9分 存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，，，，，，如下图： 联立，整理可得 11分 易知△，； 此时 13分 令，解得或或 14分 易知时，取定值为4 15分 时，取定值为12 16分 当时，取定值为3 17分 数学参考答案 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $珺唯高级中学2026-2027学年上学期高二第一次月考试卷 数学 命题人：吕游审题人：王智群喻忠霞唐梦乐 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.己知集合M={-2,-1,0,1,2,N={x≥0，则M∩N=() A.{0} B.1,2 C.{0,1,2} D.{x|x≥0} 2.若复数z满足z(+)=2-2i,则z=（) A.1 B.√2 C.2 D.2W2 3.已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,1),且a1b,那么x=() A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知x+2y=1,则x2+y2的最小值为（) A.1 B. c D. 10 5.若直线1：x-2y+m=0(m>0)与直线1：x+y-3=0之间的距离是√5，则m+n=（) A.0 B.1 C.-1 D.2 6.若点P,)在以A(-3,1),B(-1,0),C(←2,0)为顶点的△4ABC的内部运动（包含边界），则y-2 x-1 的取值范围是() A.5 B. c.2 D.) 7.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中，AB=AD=4,AA=6,∠BAD=90°， ∠BA4=∠DA4'=60°，则AC:与AB的夹角的余弦值为() A.73 D 26 A B.7N19 38 c.723 46 D.729 58 数学试题第1页（共4页） 8.在空间直角坐标系Az中，点M(飞，片，)，N,巧，2)，定义 dM,M=:-x+-+|马-2.如图，正方体的棱长为5，D正=2DC, 平面Az内两个动点P,G分别满足d(G,A)=1,∠APB=∠DPE,则|PG的取 值范围为() B A.[2,16 B.[3,15] C.[4,15] D.[4,1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点A1,0),B(4,0),M为圆O:x2+y2=4上一点，则() A.点B在圆O外 B.|MB的最大值为6 C.1 D.|MA+|MB|的最大值为9 10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，是由两种及以上正多边形围成的、所有棱长完 全相等的多面体，有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体 E-ABCD-F的所有棱长均为6，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面 体，则该阿基米德多面体() A.棱长为2 B.共有8个正六边形面和8个正方形面 C.表面积为24+483 D.体积为642 11.下列四个命题中正确的是() A.过点(3,1)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0 B.已知两条直线1：(3+t)x+4y=5-3t,:2x+(5+)y=8,若4∥l2,则t=-7 C.若直线-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 ≤或号 D.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+y=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值 组成的集合为{-1,1} 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知点AQ,1,1),点B(2,1,0),则点P(,1,0)到直线AB的距离为 数学试题第2页（共4页） 13.如图，在△ABC中，AD=2DB，,P为CD上一点，且满足 亚=mAc+号0m∈R,则m的值为一 14.在一个底面半径为4cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略 不计)内放入6个半径为2cm的铁球，则圆柱高的最小值为 A D cm. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且bsim2A-asin B=0. (1)求A; (2)当sinC-√3sin(-B)=2 sin A时，试判断△ABC的形状. 16.(15分)如图，已知在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱）ABCD-AB,C,D中，AD⊥DC, D AB//DC,DC=DD =2AD=2AB=2 (1)求证：DB⊥平面B,BCC· (2)求BC,与平面ABD所成的角的余弦值： D (3)求二面角A-DB-C的正弦值. 17.（15分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分 别在[100,150)，[150,200)，[200，250)，[250,300)，[300,350)，[350,4001（单位：克） 中，经统计的频率分布直方图如图所示. (1)估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）： (2)现按分层抽样从质量为[200,250)，[250,300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中 随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率： 数学试题第3页（共4页） (3)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估 计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购： 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个 收购. 请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 参考数据：5×125+17×175+20×225+30×275+25×325+3×375=25600. 0.006 0.005 0.004 0.0034 0.001 0.0006 0物的动西动动主 18.(17分)如图，半圆o的直径为4cm,A为直径延长线上的点，OA=4c,B为半圆上任 意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=a. (1)问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定 理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时 取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC. B 0 19.(17分定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记MNI的最大值为m,|MNI的最小 值为n,若m=3,则称N为圆c的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G 为圆“日-卫”的“共生点”.己知圆4：(x-少+0+-子，P为圆A的“伴随点”， (1)求点P所在曲线的方程： (2)已知圆B:(+2)2+(y-2)2=3,P,Q均为圆“A-B”的“共生点”. )求直线PQ的方程： ()若圆H是以线段PQ为直径的圆，过点IL,0)且斜率不为0的直线1与圆H交于J、K两点， 是否存在x轴上的定点W(a,0),使得|wJWK为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标： 若不存在，请说明理由. 数学试题第4页（共4页）