精品解析：黑龙江省大庆市第三十六中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

大庆市第三十六中学教育集团2026—2027学年第一学期 初四学年数学学科阶段检测试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 命题范围：二次函数和圆的前三节内容 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的直径为，点与圆心的距离，则点（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 3. 若函数是二次函数，则（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 4或3 4. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y取最大值 C. 抛物线与y轴交于点 D. 抛物线与x轴有1个交点 5. 如图，的半径为5，弦心距，则弦的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 6. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆； ④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ①③⑤ 二、填空题（共8小题，每题3分） 11. 二次函数的对称轴是_______________． 12. 将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 13. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 14. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为_________．（用连接） 15. 用一根长为的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为_________，围成的矩形的最大面积是_________． 16. 已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 17. 已知半径为3的中，弦，弦，则______． 18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为，若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为______． 三、简答题（共10小题） 19. 计算： （1） （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个函数的表达式 22. 如图所示，是的弦，为弦上两点，且，延长，分别交于点． 试证:=. 23. 在平面直角坐标系中，二次函数（b，c都是常数）的图象经过点和． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的取值范围； 24. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 25. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 26. 如图，在中，．若动点D从点B出发，沿线段运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作交于点E，设动点D运动的时间为x秒，的长为y． （1）求出的面积S与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，的面积S有最大值，最大值为多少？ 27. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． （1）求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 28. 如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； （3）点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第三十六中学教育集团2026—2027学年第一学期 初四学年数学学科阶段检测试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 命题范围：二次函数和圆的前三节内容 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：解：A选项中y是x的一次函数，则A选项不符合题意； B选项中当时不是二次函数，则B选项不符合题意； C选项是二次函数，则C选项符合题意； D选项化简后是，它是一次函数，则D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键． 2. 已知圆的直径为，点与圆心的距离，则点（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系的判断，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来判断点的位置即可，解题的关键是理解确定点与圆心的距离与半径的大小关系；当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴半径， ∵， ∴点在圆外， 故选：． 3. 若函数是二次函数，则（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 4或3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 4. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y取最大值 C. 抛物线与y轴交于点 D. 抛物线与x轴有1个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴抛物线的开口向上，选项A正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，y取最小值，选项B错误，符合题意； ∵当时，， ∴抛物线与y轴交于点，选项C正确，不符合题意； 当时，得到方程， ∵， ∴抛物线与x轴有一个交点，故选项D正确，符合题意， 故选：B． 5. 如图，的半径为5，弦心距，则弦的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出，再根据垂径定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为弦心距， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 6. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 7. 下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆； ④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④． 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； ②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误； ③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确； ④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误， 正确的只有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 8. 如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 9. 已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④；⑤关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①④⑤ C. ②③⑤ D. ①③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可．掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键． 【详解】解：①抛物线开口向上，因此，与轴交于负半轴，因此，故，所以①正确； ②抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，所以②不正确； ③时，随的增大而增大，所以③不正确； ④对称轴为直线，即，，所以④正确； ⑤抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以⑤正确； 故选：B． 二、填空题（共8小题，每题3分） 11. 二次函数的对称轴是_______________． 【答案】直线 【解析】 【分析】已知二次函数的一般式，直接代入对称轴公式计算即可得到结果． 【详解】解：对于二次函数一般式，对称轴公式为， ∵ 本题中二次函数为，可得，， ∴ 将代入公式得 ， 因此该二次函数的对称轴是直线． 12. 将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 13. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 先求得，如图：过O作于F，连接，则、 ，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过O作于F，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为_________．（用连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线得，对称轴为直线，且，由开口方向向上，到对称轴距离越远的点对应的函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，则离对称轴的距离越远的点函数值越大， 且， ， 故答案为：． 15. 用一根长为的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则与之间的函数关系式为_________，围成的矩形的最大面积是_________． 【答案】 ①. ②. 25 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．由矩形的面积公式写出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为25， 故答案为：，25． 16. 已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 17. 已知半径为3的中，弦，弦，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：当与在点的两旁．由，，得到为等边三角形，则，又由，，过O作，垂足为D，根据勾股定理求出，继而判断出，所以；同理可得当与在点的同旁．有． 【详解】解：如图1，当与在点的两旁．连接，，， 过O作，垂足为D， 在中，，， 为等边三角形， ； 在中， ， ， ∴， ∴， ∴， ； 如图2，当与在点的同旁． 同理可求得，， ． 综上所述：的度数为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用． 18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为，若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ， 整理得，， 对称轴为直线，此时的最小值为； 根据题意需要分类讨论： ①， ； ②，无解； ③， 或（舍去）． 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 三、简答题（共10小题） 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再代入计算结果． 【详解】解： 将代入得：原式． 21. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个函数的表达式 【答案】 【解析】 【详解】解：设这个二次函数的表达式为， ∵这个二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． 22. 如图所示，是的弦，为弦上两点，且，延长，分别交于点． 试证:=. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质由得，由得，再根据三角形外角性质得，利用等量代换得到，然后根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可得到结论． 【详解】证明:∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 即， ∴=. 23. 在平面直角坐标系中，二次函数（b，c都是常数）的图象经过点和． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入得： ， 解得； 【小问2详解】 解：这个函数的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴的最小值为 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，的最大值为， ∴当时，y的取值范围是． 24. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 【答案】（1）y＝；（2）5小时 【解析】 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到正常水位AB的距离，进而求出时间． 【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0）， 由CD＝10m，可设D（5，b）， 由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b﹣3）， 把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ， 解得：， ； （2）∵b＝﹣1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， （小时）， 所以再持续5小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题． 25. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：∵交于点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 26. 如图，在中，．若动点D从点B出发，沿线段运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作交于点E，设动点D运动的时间为x秒，的长为y． （1）求出的面积S与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，的面积S有最大值，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）当x＝2时，S有最大值，最大值为6 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出，证明，推出，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵，且， ∴当时，S有最大值，最大值为6． 27. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． （1）求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，即； 【小问2详解】 解：由题意得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 28. 如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； （3）点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）符合条件的点D的坐标是或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $