重难点02 三角形内外角计算及两大角度模型（单元复习、期中复习）2026-2027学年八年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点2 三角形的内外角计算及两大角度模型 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、三角形的内角和外角定理 2 知识点二、飞镖模型（燕尾模型） 3 知识点三、8字模型 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型1 三角形内角和定理的证明、基础应用】 6 【题型2 直角三角形的两个锐角互余及判定】 11 【题型3 三角形的外角的定义、性质、计算】 13 【题型4 角度综合：平行线、折叠、角平分线】 15 【题型5 8字模型角度计算】 18 【题型6 飞镖模型角度计算】 26 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 31 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 53 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・三角形内角和定理：定理内容、证明思路，利用内角和进行角度求值。 ・直角三角形性质与判定：直角三角形两锐角互余；两锐角互余的三角形为直角三角形。 ・三角形外角概念与外角性质：外角等于不相邻两内角之和，外角大于任意一个不相邻内角。 ・角度综合：结合平行线、角平分线、折叠变换，求解三角形内、外角。 ・几何模型：8 字模型、飞镖模型的角度结论推导与直接应用。 ・基础层面：选择、填空单独考查内角和、外角性质、直角三角形锐角关系，基础角度计算。 ・能力层面：折叠、角平分线与内外角结合，考查角度转化与等量代换，侧重逻辑推理。 ・综合层面：8 字、飞镖模型常嵌入小题或几何大题第一问，快速简化角度推导。 ・趋势特征：弱化单纯套公式计算，侧重模型识别；多设置多步角度推导，陷阱藏在外角识别、折叠等角转化。 考情解码： ・分值定位：三角形角度计算是平面几何推理核心基础，小题高频考查，也是全等、多边形、几何压轴的必备工具。 ・学生高频失分点：①分不清外角，误用相邻内角关系；②折叠问题找不到相等角；③模型只会背结论，不会独立推导；④多步推理时漏写角度等量关系。 ・备考提示：熟记内外角性质，规范角度推导书写；重点训练从复杂图形中识别 8 字、飞镖模型；区分 “直接套用结论” 和 “推导证明” 两种答题要求。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、三角形的内角和外角定理 定 义 示例剖析 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 知识点二、飞镖模型（燕尾模型） （一）基础模型 如图1所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C。因为此图的形状像“飞镖”、“燕尾”，因此被成为飞镖模型或燕尾模型。 图1 【证明】如图，延长 BD交 AC 于点E. ∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC 是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. （二）模型拓展 1.如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 则有结论：∠O=（∠A+∠C）。 图2 2.如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 则有结论：∠O=（∠D-∠B）。 图3 3.证明飞镖模型其他添加轴助线的方法 知识点三、8字模型 （一）模型简介 如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. （二）模型拓展 1：若 BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，则∠P=（∠A＋∠C）. 2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，则∠P=∠A+∠C 3： AB+BC+CD+AD＞AC+BD 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 三角形内角和定理的证明、基础应用】 【例1】（九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级上·广东佛山·期末）在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【答案】D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 【变式1-2】（七年级下·广东揭阳·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【题型2 直角三角形的两个锐角互余及判定】 【例2】（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，，垂足为，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义求出，利用直角三角形两锐角互余求出，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，再根据是的角平分线求出．再利用直角三角形两锐角互余，求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（26-27八年级上·天津·期中）下列条件不能确定是直角三角形的是（     ） A．在中，，都是锐角 B．的三个内角的度数之比是 C．在中， D．有两个内角互余 【答案】A 【分析】两个锐角无法确定三角形的形状，可先锁定A选项，再结合三角形内角和定理验证其余选项． 【详解】解：A选项：仅知，为锐角，第三个角可能为锐角、直角或钝角，不能确定是直角三角形，符合题意； B选项：最大内角为，可确定是直角三角形，不符合题意； C选项：由得， ∵， ∴， 即，可确定是直角三角形，不符合题意； D选项：两个内角互余，则这两个角的和为，第三个内角为，可确定是直角三角形，不符合题意． 【变式2-3】（25-26八年级上·北京·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 【详解】解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 【题型3 三角形的外角的定义、性质、计算】 【例3】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（     ） A．三个外角的度数之比是 B．的三个内角的度数之比是 C．； D． 【答案】B 【分析】验证各选项条件下三角形是否存在内角，即可判断能否确定为直角三角形． 【详解】解：A． 三角形外角和为，最小外角为，对应最大内角为，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； B． 三角形内角和为，最大内角为，为锐角三角形，不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； C． ∵， ∴， ∵， ∴，即，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； D． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意． 【变式3-1】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ， ， ． 【变式3-2】（26-27八年级上·云南·期中）如图，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解：，，， ∴． 【变式3-3】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，直线，一副三角板放置在和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三角板的直角顶点在上，两个三角板的斜边在同一直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质得出。 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴. 【题型4 角度综合：平行线、折叠、角平分线】 【例4】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式4-1】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在中，和的角平分线交于点O．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，可求，从而，进而可求． 【详解】解：， ， 和的角平分线交于点O， ，， ， ， 则的度数为． 【变式4-2】（八年级下·山东日照·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 【变式4-3】（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 【详解】解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型5 8字模型角度计算】 【例5】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 【变式5-1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1) 证明：在中，， 在中，， ， ． (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）， 设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， ；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）① 略 ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）解：如图，   ，， ． ， ； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【题型6 飞镖模型角度计算】 【例6】（八年级上·福建南平·期中）如图，若，则____________． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 【变式6-1】（八年级·全国·专题练习）如图所示，已知四边形，求证． 【答案】 证明：方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 【变式6-2】（七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 【变式6-3】（八年级上·山东德州·期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________． 【答案】360° 【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4， 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°． 故选：D． ． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】过点作于，根据直角三角形的两个锐角互余得到得出，根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）的三个内角满足下列条件： ①； ②； ③．其中能判定是直角三角形的是（     ） A．①②③ B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】有一个角为直角的三角形是直角三角形． 【详解】解：①最大角，不是直角三角形； ②，， ， ，是直角三角形； ③设，则， ， ， 解得， 最大角，不是直角三角形． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在中，，，的平分线交于点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴． ∵，分别是，的平分线， ∴，． ∴． ∴． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出和，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵处在处的南偏西方向， ∴， ∵， ∴， ∵处在处的北偏东方向， ∴， ， ∵处在处的南偏东方向， ∴， ， ∴． 5．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过三角形内角和和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 由图可得，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是的平分线，是外角的平分线，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【详解】解：是的平分线，是的邻补角的平分线，，， ，， 是的外角， . 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图所示是某零件的平面图，其中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接并延长到点，利用外角的性质得到，运算求解即可． 【详解】解：连接并延长到点，如图所示： ∴，， ∴． 8．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，是钝角，则钝角三角形的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】∵，是钝角， ∴是钝角三角形， ∵是的外角， ∴， ∴是钝角三角形 ∴钝角三角形的个数为5个 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）两个直角三角形如图放置，则与的度数之比等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理可求得，进而可求得的度数，再根据平行线的性质可知，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 10．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据垂直定义、角平分线的性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：如下图所示， 是的高线， ， ， 交于， ， ， ， 故结论①正确； 平分， ，， ，， ， ， 故结论②正确； 是的高线， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 由①得：， ， ， 故结论③正确； ，， ， ，， ， ，， ， ， 故结论④错误； 综上所述，结论正确的有①②③． 11．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论：①，②，③，④，正确的是________． 【答案】①④/④① 【分析】由角平分线的定义可得，，再结合三角形外角的定义及性质即可判断①正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理即可判断②③错误；由角平分线的定义并结合三角形外角的定义及性质即可判断④正确． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故①正确； ∵，分别平分，， ∴，， ∴，故②③错误； ∵分别平分，为外角的平分线， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①④． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，于点C，的延长线与交于点E，若，则等于________． 【答案】 【分析】先根据三角形的外角性质求解的度数，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 13．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为________． 【答案】或 【分析】分两种情况：①，②，利用三角形的外角性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：①如图，当时，为直角三角形， ∵，， ∴； ②如图，当时，为直角三角形， ∵在中，，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 14．（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，中，，．平分，则________ 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义求解． 【详解】解：，，， ， 平分， ． 15．（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）如图，在中，，分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，由三角形内角和定理得，利用平角定义得，再代入计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得 ，， 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 16．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义和三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ 17．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，已知，点为外一点（点不在直线，，上），连接，，设，，，，当点在直线上方时，直接写出，，，之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形． 【答案】①如图1，；②如图2，；③如图3， 【分析】分3种情况讨论，分别利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①如图1， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即； ②如图2， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即； ③如图3， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即； 综上所述，，，，之间所有可能的数量关系为：如图1，；②如图2，；③如图3，． 18．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若平分分别交于E，F，求证：． 【答案】(1)证明：，， ，， ； (2)证明：在中，， 在中，． 又平分， ， ． 又， ． 【分析】（1）根据同角的余角相等证明即可； （2）根据直角三角形锐角互余，进行等量代换得到，再由对顶角相等等量代换即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，O 是、 外角的平分线的交点，若，求的度数．     【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理： 在中，得出，即可得，最后在中根据三角形内角和定理解答即可； 【详解】解：∵O是的外角、的角平分线交点， ∴，， ∵、是的外角， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 20．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分．若，则_________； 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则_________； (3)如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则_________度． 【答案】(1) (2) (3)，理由： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． (4) 【分析】本题主要考查了三角形内角和为、角平分线的定义，三角形外角的定义等知识． （1）利用三角形内角和为、角平分线的定义，即可作答； （2）同（1）中方法，结合角三等分线的定义，即可作答； （3）利用三角形外角的定义表示出、，结合角平分线的定义即可作答； （4）延长，，二者交于点X，延长，，二者交于点Y，利用（3）中的结论即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，三等分，，三等分， ∴，， ∴， ∴； （3）见答案 （4）延长，，二者交于点X，延长，，二者交于点Y，如图， 根据（3）中的结论可知：， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）已知直线与相互垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，则的度数为__________． (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点． ①若，则的度数为__________． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？请说明理由． (3)如图3，已知点在的延长线上，的平分线、的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中，设． ①直接写出的度数．（用含的代数式表示） ②在中，如果某一个内角的度数是另一个内角度数的5倍，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①； ②大小不变，度数恒为，理由如下： ， ， 设， ， 平分，平分， ，， ， ， 大小不变，度数恒为； (3)①；②36或30 【分析】（1）先由直线垂直得到直角，结合已知求出，再利用角平分线定义得到两个半角，最后依据三角形内角和定理计算． （2）①利用垂直定义与三角形的性质求出，结合角平分线得到两组半角，再计算；②设，用含的代数式表示相关半角，作差消去参数，证明为定值． （3）①由邻补角与角平分线推出，结合三角形的性质得到与的数量关系，再根据直角三角形两锐角互余，推导出与的关系式；②为直角三角形，分四种角度倍数情况分类讨论，舍去超出锐角范围的解，得到符合题意的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （2）解：①， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； ②略 （3）解：①平分，平分， ，， ， 平分，， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴． ②由①得：，，． 情况1：， ， ， 即． 情况2：， ， ， ， ， 是直角三角形内锐角，，故此解舍去． 情况3：， ， ， ，， ，不符合题意，舍去． 情况4：， ， ， ， 即． 综上，的值为或． 22．（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）探索归纳： (1)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (2)如图2，根据（1）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (3)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与的关系为：，理由如下： ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系是：． 【分析】（1）（2）利用三角形的外角性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：在中，由外角性质可知： ，， ∵， ∴ ． （2）解：猜想与的关系是， 由三角形外角性质可知：，， ∴ ， ∴与的关系是：； （3）略 23．（26-27八年级上·广东惠州·阶段检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则______度，若，则______度（用含的式子表示）： ②如图③，平分，平分，若，，的度数是______． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由（1）可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，分别将、代入计算即可； ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 当时，； 当时，； ②由（1）可得，， ， 又∵平分平分， ， ． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 54 页 第 1 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点2 三角形的内外角计算及两大角度模型 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、三角形的内角和外角定理 2 知识点二、飞镖模型（燕尾模型） 3 知识点三、8字模型 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型1 三角形内角和定理的证明、基础应用】 6 【题型2 直角三角形的两个锐角互余及判定】 8 【题型3 三角形的外角的定义、性质、计算】 9 【题型4 角度综合：平行线、折叠、角平分线】 10 【题型5 8字模型角度计算】 10 【题型6 飞镖模型角度计算】 13 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 16 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 24 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・三角形内角和定理：定理内容、证明思路，利用内角和进行角度求值。 ・直角三角形性质与判定：直角三角形两锐角互余；两锐角互余的三角形为直角三角形。 ・三角形外角概念与外角性质：外角等于不相邻两内角之和，外角大于任意一个不相邻内角。 ・角度综合：结合平行线、角平分线、折叠变换，求解三角形内、外角。 ・几何模型：8 字模型、飞镖模型的角度结论推导与直接应用。 ・基础层面：选择、填空单独考查内角和、外角性质、直角三角形锐角关系，基础角度计算。 ・能力层面：折叠、角平分线与内外角结合，考查角度转化与等量代换，侧重逻辑推理。 ・综合层面：8 字、飞镖模型常嵌入小题或几何大题第一问，快速简化角度推导。 ・趋势特征：弱化单纯套公式计算，侧重模型识别；多设置多步角度推导，陷阱藏在外角识别、折叠等角转化。 考情解码： ・分值定位：三角形角度计算是平面几何推理核心基础，小题高频考查，也是全等、多边形、几何压轴的必备工具。 ・学生高频失分点：①分不清外角，误用相邻内角关系；②折叠问题找不到相等角；③模型只会背结论，不会独立推导；④多步推理时漏写角度等量关系。 ・备考提示：熟记内外角性质，规范角度推导书写；重点训练从复杂图形中识别 8 字、飞镖模型；区分 “直接套用结论” 和 “推导证明” 两种答题要求。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、三角形的内角和外角定理 定 义 示例剖析 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 知识点二、飞镖模型（燕尾模型） （一）基础模型 如图1所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C。因为此图的形状像“飞镖”、“燕尾”，因此被成为飞镖模型或燕尾模型。 图1 【证明】如图，延长 BD交 AC 于点E. ∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC 是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. （二）模型拓展 1.如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 则有结论：∠O=（∠A+∠C）。 图2 2.如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 则有结论：∠O=（∠D-∠B）。 图3 3.证明飞镖模型其他添加轴助线的方法 知识点三、8字模型 （一）模型简介 如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. （二）模型拓展 1：若 BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，则∠P=（∠A＋∠C）. 2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，则∠P=∠A+∠C 3： AB+BC+CD+AD＞AC+BD 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 三角形内角和定理的证明、基础应用】 【例1】（九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（23-24八年级上·广东佛山·期末）在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【变式1-2】（七年级下·广东揭阳·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【变式1-3】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【题型2 直角三角形的两个锐角互余及判定】 【例2】（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，，垂足为，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【变式2-2】（26-27八年级上·天津·期中）下列条件不能确定是直角三角形的是（     ） A．在中，，都是锐角 B．的三个内角的度数之比是 C．在中， D．有两个内角互余 【变式2-3】（25-26八年级上·北京·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型3 三角形的外角的定义、性质、计算】 【例3】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（     ） A．三个外角的度数之比是 B．的三个内角的度数之比是 C．； D． 【变式3-1】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27八年级上·云南·期中）如图，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，直线，一副三角板放置在和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三角板的直角顶点在上，两个三角板的斜边在同一直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型4 角度综合：平行线、折叠、角平分线】 【例4】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【变式4-1】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在中，和的角平分线交于点O．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（八年级下·山东日照·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【题型5 8字模型角度计算】 【例5】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【变式5-1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【变式5-3】（七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【题型6 飞镖模型角度计算】 【例6】（八年级上·福建南平·期中）如图，若，则____________． 【变式6-1】（八年级·全国·专题练习）如图所示，已知四边形，求证． 【变式6-2】（七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【变式6-3】（八年级上·山东德州·期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）的三个内角满足下列条件： ①； ②； ③．其中能判定是直角三角形的是（     ） A．①②③ B．② C．①③ D．②③ 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在中，，，的平分线交于点，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，是的平分线，是外角的平分线，，，则（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图所示是某零件的平面图，其中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，是钝角，则钝角三角形的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）两个直角三角形如图放置，则与的度数之比等于（     ） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论：①，②，③，④，正确的是________． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，于点C，的延长线与交于点E，若，则等于________． 13．（26-27八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为________． 14．（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）如图，中，，．平分，则________ 15．（26-27七年级上·山东东营·阶段检测）如图，在中，，分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则______． 16．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，已知，点为外一点（点不在直线，，上），连接，，设，，，，当点在直线上方时，直接写出，，，之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形． 18．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若平分分别交于E，F，求证：． 19．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，O 是、 外角的平分线的交点，若，求的度数．     20．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分．若，则_________； 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则_________； (3)如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则_________度． 21．（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）已知直线与相互垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，则的度数为__________． (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点． ①若，则的度数为__________． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？请说明理由． (3)如图3，已知点在的延长线上，的平分线、的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中，设． ①直接写出的度数．（用含的代数式表示） ②在中，如果某一个内角的度数是另一个内角度数的5倍，直接写出此时的值． 22．（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）探索归纳： (1)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (2)如图2，根据（1）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (3)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 23．（26-27八年级上·广东惠州·阶段检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则______度，若，则______度（用含的式子表示）： ②如图③，平分，平分，若，，的度数是______． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 54 页 第 1 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $