重难点06 等腰三角形综合专题讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点06 等腰三角形综合 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、等腰三角形、等边三角形 2 知识点二、 垂直平分线 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一】 4 【题型2 等腰三角形判定：等角对等边（证明边相等、求边长）】 6 【题型3 等腰三角形性质与判定综合证明计算】 9 【题型4 格点等腰三角形、定点寻找构成等腰三角形的点】 11 【题型5 等边三角形性质、判定及综合应用】 15 【题型6 含 30° 直角三角形性质；大角对大边、小角对小边】 18 【题型7 最短路径——将军饮马问题】 20 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 24 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 50 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・等腰三角形的定义、等边对等角、等角对等边 ・等腰三角形 “三线合一” 性质的理解与规范运用 ・等腰三角形多解问题：边不确定（腰 / 底）、角不确定（顶角 / 底角）分类讨论 ・等腰三角形的轴对称性，对称轴识别 ・等边三角形的性质与判定，等边三角形边角计算 ・等腰三角形与角平分线、平行线组合模型（角分线 + 平行出等腰） ・等腰三角形结合全等、折叠、角度计算综合推理 ・基础层面：选择填空直接考查等腰三角形边角计算、三线合一简单应用，属于基础必考题 ・能力层面：侧重分类讨论思想，无图等腰三角形是高频考法，检验思维完整性 ・综合层面：嵌套在几何证明、角度推导大题中，常和全等、轴对称、折叠结合设问 ・拓展层面：以等腰三角形为载体，铺垫最短路径、几何动态探究类问题 考情解码： ・分值定位：选择填空 2–3 分，解答证明小问 3–6 分，是几何综合题的常用基础图形 ・高频失分点：忽略分类讨论漏解；误用三线合一条件；没有画图分析，凭主观判定顶角底角；证明时条件写不完整 ・备考提示：熟记性质判定，专门训练无图等腰分类题型；区分等边对等角、等角对等边的使用场景；积累角平分线 + 平行线出等腰的常见模型 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、等腰三角形、等边三角形 1．等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 知识点二、 垂直平分线 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线． 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线． 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则． 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 如图，若，则点在线段的垂直平分线上． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一】 【例1】（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰三角形中，，．高线与角平分线交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等腰三角形中，高线同时也是底边上的中线和顶角的平分线．在中，由求出，再由平分得，进而求出，由平分得． 【详解】解：，是的高线， ，平分， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，，点E是直线上一点，连接．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短得出的最小值为的长度，则，再根据等腰三角形的三线合一性质得到,然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图过程知垂直平分， ∴， ∴，当点A、M、D共线时取等号， ∴的最小值为的长度， ∵长度的最小值为10， ∴， ∵在中，，D为的中点， ∴, ∵面积为40， ∴，解 得． 【变式1-3】（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 【题型2 等腰三角形判定：等角对等边（证明边相等、求边长）】 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】D 【详解】解：如图，图②和图③满足题意，图①不能分成两个小等腰三角形. 【变式2-1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【变式2-2】（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，由直角三角形锐角互余可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 【题型3 等腰三角形性质与判定综合证明计算】 【例3】（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级上·山东聊城·期中）对于下列命题：（1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；（3）轴对称图形不一定只有一条对称轴；（4）如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质与相关概念，逐一判断各命题的真假，即可得到真命题的个数. 【详解】解：（1）∵关于某直线成轴对称的两个图形能够完全重合， ∴关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，该命题是真命题； （2）∵等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，顶角平分线本身是线段，不是直线， ∴该命题是假命题； （3）举例来说，长方形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，因此轴对称图形不一定只有一条对称轴，该命题是真命题； （4）∵两个三角形全等只能说明形状大小相等，位置不一定满足轴对称的要求， 例如两个平移摆放的全等三角形不成轴对称， ∴该命题是假命题； 综上，真命题的个数为2． 【变式3-2】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据等边对等角，求出，角的和差关系推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据余角的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型4 格点等腰三角形、定点寻找构成等腰三角形的点】 【例4】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 【变式4-1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论A、B、C分别为顶点时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，以A为顶点时，符合条件的C点有、、、、，以B为顶点时，符合条件的C点有、，当C点为顶点时，没有符合条件的C点，故符合条件的点C共有7个． 故选：D． 【变式4-2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【变式4-3】（八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．根据，可得是等腰三角形，根据角平分线的定义可得，得到是等腰三角形，再利用平行线的性质可得，得到是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵的平分线相交于点D， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴共有5个等腰三角形：． 故选：C． 【题型5 等边三角形性质、判定及综合应用】 【例5】（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知，进而根据全等三角形的性质可证是等边三角形，进而根据三角形的外角定理可知，进而可知即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴,, ∵, ∴是等边三角形， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴，, ∴， ∴． 【变式5-1】（八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） ①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形； ②圆的直径是圆的对称轴； ③有两个角是的三角形是等边三角形； ④顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质、对称轴的定义和圆的基本概念、等边三角形的判定，逐一判断每个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】① 根据轴对称的性质，关于某直线对称的两个图形全等，因此关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，故①是真命题； ② 对称轴的定义是直线，圆的直径是线段，正确表述是直径所在的直线是圆的对称轴，故②是假命题； ③ 三角形内角和为，若三角形有两个角是， 第三个角为，三个内角都相等，因此该三角形是等边三角形，故③是真命题； ④ 等腰三角形两个底角相等，且这个等腰三角形顶角与底角相等， 这个三角形三个内角都相等， ∴这个三角形的每个内角都是，因此该三角形是等边三角形，故④是真命题； 综上，真命题共个． 【变式5-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是等边三角形得，， 则，证明是等边三角形得， 则，再证明， 得，由此可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵点在边上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，，将折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（     ） ①； ②垂直平分； ③是等边三角形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据①中全等三角形的性质可得，，结合，证明是等边三角形，即可判断③；证明是的平分线，进一步即可判断②；④易得，，，进而可判断④，于是可得答案． 【详解】解：①∵由翻折而成， ∴，故结论①正确； ③∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形，故结论③正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． ∵， ∴， ∴垂直平分，故结论②正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 【题型6 含 30° 直角三角形性质；大角对大边、小角对小边】 【例6】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若的面积为6，则的面积是（    ）． A．10 B．1 C．12 D．13 【答案】C 【分析】作交于点E，由作图过程可知，平分，则，根据30度角的性质得到，进而得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交于点E， 由作图过程可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 即． 【变式6-2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则，据此根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 【题型7 最短路径——将军饮马问题】 【例7】（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（   ）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 【变式7-3】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图可知，垂直平分线段，得到，继而得出，，然后根据三角形的内角和定理与外角的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【答案】D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 4．（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 5．（七年级上·山东东营·期中）如图，等腰的底边长为，面积为，腰的垂直平分线交于点E，交于点F，D为的中点，M为直线上的动点．则周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质可得，即A、M、D三点共线时，最小值为的长，根据面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， 即A、M、D三点共线时，最小值为的长， ∵，点D为的中点， ∴，, ∵等腰的底边长为,面积为， ∴, ∴周长的最小值为． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，点为的中点，过点作的垂线，交于点，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质、与角平分线有关的三角形的内角和问题．根据题意，易得垂直平分，进而推出，根据角平分线定义，得到，再由三角形的内角和定理得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．对顶角相等 C．等边三角形的每个内角都是 D．全等三角形的对应边相等 【答案】B 【分析】先写出各选项中原命题的逆命题，再结合直角三角形的性质、对顶角的定义、等边三角形的性质及全等三角形的性质逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．原命题的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意， B．原命题的逆命题为相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，故该选项符合题意， C．原命题的逆命题为每个内角都是的三角形是等边三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意， D．原命题的逆命题为对应边相等的三角形是全等三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意． 10．（八年级上·四川德阳·期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得即可解答A；再根据“边角边”证明，解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴，则A正确； ∵ ∴， ∴点B到的距离相等， 则B正确，D不正确； ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确． 12．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是______． 【答案】/110度 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：在直线m上点E的左侧取点D，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有___． 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质可得，，可证明，可得到，，，故③正确；再证明，可得到，，故②④正确；进而得到，故①正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，，故②④正确； ∴，即，故①正确， 故结论正确的有①②③④． 14．（26-27八年级上·青海·期中）如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】由等边三角形得到点D关于的对称点E在上，连接，，则，那么当三点共线时，有最小值，再由等边三角形的两条边上的高相等得到． 【详解】解：∵是等边三角形，D、M分别是、中点， ∴是的对称轴，， ∴如图，点D关于的对称点E在上，连接， ∵关于对称， ∴， ∴点E是的中点， 如图，连接、，则， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∵等边，点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 16．（26-27八年级上·山东·期中）如图，，，则的度数为_______． 【答案】60 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由全等三角形的性质得到，证明是等腰直角三角形，得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 17．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，求点到的距离． 【答案】(1)全等．理由如下： ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ； (2)① 由（1）可知， ，， ， ，即， 又， ； ②点到的距离为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据证明和全等即可； （2）①根据，得到，，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证结论； ②根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，根据，，得到，继而根据角平分线的性质定理得到点到的距离为． 【详解】（1）略； （2）略； ②由①可知，，， 平分， 点到的距离等于点到的距离， ，， ，即， ， 点到的距离为． 18.（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 相伴等腰三角形 【概念理解】 一个三角形能分成三个等腰三角形，这样的三角形叫做“相伴等腰三角形”． 【问题解决】 问题1：如图1，顶角为的等腰为“相伴等腰三角形”，可分为三个等腰三角形，其中 ，，则的度数为_________． 问题2：如图2，顶角为的等腰为“相伴等腰三角形”，小组成员欣欣将其分为三个等腰三角形，分割方式为作，作，交于点E．请你帮她完成证明为等腰三角形的过程． 证明：∵， ∴． …    任务： (1)材料中，问题1中的的度数为_________． (2)请补全问题2的证明过程． (3)如图3，相伴等腰中，，，试画出示意图，并求出三个等腰三角形的顶角度数．（只要一种情况即可） 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形. (3)三个等腰三角形，如图即为所求． 为等腰三角形的顶角；为等腰三角形的顶角；为等腰三角形的顶角． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质分别求出，，，最后根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据，得出，根据垂线定义得出，求出，根据三角形外角性质求出得出，根据等腰三角形的判定即可证明结论； （3）以点A为角的顶点，为角的一边，在下方作，交于点D，以点D为角的顶点，为角的一条边，在上方作，交于点E．再根据三角形内角和定理求得各等腰三角形的顶角即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）解：作图略； 为等腰三角形的顶角； 为等腰三角形的顶角； 为等腰三角形的顶角． 19．（26-27八年级上·山东·期中）发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 问题解决 (1)如图1，与的位置关系是　 ；的取值范围是　 　 ； 问题应用 (2)如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系； 拓展延伸 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】(1)； (2) (3)8 【分析】（1）证明，得到，则可得到；由三角形的三边关系可得，则，即； （2）延长到点，使得，连接．证明，得到，．再证明，可得； （3）延长到点H，使得，连接．同理可证明，得到．证明，推出，，设，则，，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：延长到，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由三角形的三边关系可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长到点H，使得，连接． 同理可证明， ∴，． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，在中，． (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点作直线交于，交于即可； （2）由可得，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21．（26-27八年级上·浙江·期中）已知．，点，分别在射线，上，，交于点，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时， ①求证： ； ②连接，若是直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ． (2)①证明：如图：在上截取，使得，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ∵， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． ②或． 【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质以及线段的和差即可证明结论； （2）①先证明是等边三角形，再证明可得，进而证明结论；②如图：连接，由①可得，，，易证是等边三角形可得、；再证明可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略． ②如图：连接， 由①可得，，， ∴， ∴，即， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵是直角三角形，， ∴或， ∴或． 22.（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点06 等腰三角形综合 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、等腰三角形、等边三角形 2 知识点二、 垂直平分线 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一】 4 【题型2 等腰三角形判定：等角对等边（证明边相等、求边长）】 5 【题型3 等腰三角形性质与判定综合证明计算】 6 【题型4 格点等腰三角形、定点寻找构成等腰三角形的点】 7 【题型5 等边三角形性质、判定及综合应用】 8 【题型6 含 30° 直角三角形性质；大角对大边、小角对小边】 9 【题型7 最短路径——将军饮马问题】 9 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 11 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 19 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・等腰三角形的定义、等边对等角、等角对等边 ・等腰三角形 “三线合一” 性质的理解与规范运用 ・等腰三角形多解问题：边不确定（腰 / 底）、角不确定（顶角 / 底角）分类讨论 ・等腰三角形的轴对称性，对称轴识别 ・等边三角形的性质与判定，等边三角形边角计算 ・等腰三角形与角平分线、平行线组合模型（角分线 + 平行出等腰） ・等腰三角形结合全等、折叠、角度计算综合推理 ・基础层面：选择填空直接考查等腰三角形边角计算、三线合一简单应用，属于基础必考题 ・能力层面：侧重分类讨论思想，无图等腰三角形是高频考法，检验思维完整性 ・综合层面：嵌套在几何证明、角度推导大题中，常和全等、轴对称、折叠结合设问 ・拓展层面：以等腰三角形为载体，铺垫最短路径、几何动态探究类问题 考情解码： ・分值定位：选择填空 2–3 分，解答证明小问 3–6 分，是几何综合题的常用基础图形 ・高频失分点：忽略分类讨论漏解；误用三线合一条件；没有画图分析，凭主观判定顶角底角；证明时条件写不完整 ・备考提示：熟记性质判定，专门训练无图等腰分类题型；区分等边对等角、等角对等边的使用场景；积累角平分线 + 平行线出等腰的常见模型 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、等腰三角形、等边三角形 1．等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 知识点二、 垂直平分线 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线． 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线． 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则． 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 如图，若，则点在线段的垂直平分线上． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一】 【例1】（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰三角形中，，．高线与角平分线交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，，点E是直线上一点，连接．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【题型2 等腰三角形判定：等角对等边（证明边相等、求边长）】 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，②，③，下列3个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①② D．②③ 【变式2-1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-2】（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 等腰三角形性质与判定综合证明计算】 【例3】（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【变式3-1】（24-25八年级上·山东聊城·期中）对于下列命题：（1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；（3）轴对称图形不一定只有一条对称轴；（4）如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【题型4 格点等腰三角形、定点寻找构成等腰三角形的点】 【例4】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式4-1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-3】（八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型5 等边三角形性质、判定及综合应用】 【例5】（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） ①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形； ②圆的直径是圆的对称轴； ③有两个角是的三角形是等边三角形； ④顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，，将折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（     ） ①； ②垂直平分； ③是等边三角形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6 含 30° 直角三角形性质；大角对大边、小角对小边】 【例6】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【变式6-1】（25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若的面积为6，则的面积是（    ）． A．10 B．1 C．12 D．13 【变式6-2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【题型7 最短路径——将军饮马问题】 【例7】（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【变式7-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【变式7-2】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（   ）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 【变式7-3】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 4．（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（七年级上·山东东营·期中）如图，等腰的底边长为，面积为，腰的垂直平分线交于点E，交于点F，D为的中点，M为直线上的动点．则周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，点为的中点，过点作的垂线，交于点，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 9．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．对顶角相等 C．等边三角形的每个内角都是 D．全等三角形的对应边相等 10．（八年级上·四川德阳·期中）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 12．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是______． 13．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有___． 14．（26-27八年级上·青海·期中）如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为______． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 16．（26-27八年级上·山东·期中）如图，，，则的度数为_______． 17．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，求点到的距离． 18.（26-27八年级上·浙江绍兴·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 相伴等腰三角形 【概念理解】 一个三角形能分成三个等腰三角形，这样的三角形叫做“相伴等腰三角形”． 【问题解决】 问题1：如图1，顶角为的等腰为“相伴等腰三角形”，可分为三个等腰三角形，其中 ，，则的度数为_________． 问题2：如图2，顶角为的等腰为“相伴等腰三角形”，小组成员欣欣将其分为三个等腰三角形，分割方式为作，作，交于点E．请你帮她完成证明为等腰三角形的过程． 证明：∵， ∴． …    任务： (1)材料中，问题1中的的度数为_________． (2)请补全问题2的证明过程． (3)如图3，相伴等腰中，，，试画出示意图，并求出三个等腰三角形的顶角度数．（只要一种情况即可） 19．（26-27八年级上·山东·期中）发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 问题解决 (1)如图1，与的位置关系是　 ；的取值范围是　 　 ； 问题应用 (2)如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系； 拓展延伸 (3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 20．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，在中，． (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 21．（26-27八年级上·浙江·期中）已知．，点，分别在射线，上，，交于点，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时， ①求证： ； ②连接，若是直角三角形时，直接写出的度数． 22.（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $