专题3 与角平分线相关的综合问题（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦角平分线的判定与性质、尺规作图及与全等三角形的综合应用，通过知识梳理夯实基础，分题型（证明、性质判定综合、作图等）逐步深化，配合A/B/C组分层训练，构建完整学习支架。 资料以分层设计融合核心素养，典例精析结合变式训练培养推理能力，尺规作图强调依据提升几何直观，综合题联动全等三角形强化数学表达。课中助力分层教学，课后通过不同组别练习帮助学生查漏补缺。

专题3 与角平分线相关的综合问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1：角平分线的证明 题型2：角平分线中的证明题 题型3：角平分线的性质与判定综合 题型4：尺规作图——作角平分线 题型5：角平分线与全等三角形的综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 角的平分线的判定与性质 1．角平分线的判定和性质 图形 性质 ∵ ∴ 判定 ∵ ∴ 【针对训练】 1. 如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）结合角平分线的性质，作的平分线，交射线OP于点M，则点M为所求． （2）连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H，由角平分线的性质可得，由，可得再由，可得 【详解】（1）解：如图，作的平分线，交射线OP于点M， 则点M为所求． （2）解：连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H， 平分，点M在OP上， 平分， ， ， ， ， 2. 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3. 如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点2 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【针对训练】 1. 如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明： ，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 2. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 3. 如图，锐角的两条高相交于点O，且． (1)求证：； (2)求证：判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点O在的平分线上．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到． （1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题． （2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上． 【详解】（1）解： 是的高， ， ， 又 是公共边， ． （2）解：点在的角平分线上． 理由如下： ， ， 又， ，即： 又， 点在的角平分线上． 典例精析 【题型1：角平分线的证明】 【例1】如图，在中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，首先根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上可证结论成立． 【详解】证明：于点， ， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【变式训练】如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 【题型2：角平分线中的证明题】 【例1】的平分线与的平分线交于点E，．求证：． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据角平分线的性质和得出，，即可得出结论． 【详解】证明：、平分、． ，． ， ， ． 【变式训练】如图，在直角中，，的平分线交于，于点E，交于点F，取，连结，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键． 如图，作于H，证得，则；由平分，可知，根据等角的余角相等可知，所以；由可知；由根据以上条件可证，得到，所以． 【详解】证明：如图所示，作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3：角平分线的性质与判定综合】 【例1】如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练】如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分，，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【题型4：尺规作图——作角平分线】 【例1】如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】连接EC，CD．根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：连接EC，CD． 在△ODC和△OEC中， ， ∴△ODC≌△OEC（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练】角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【分析】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理，解题的关键是要理解作图过程得出，，． 连接、，由作图可证，则，而证明的条件就是作图的依据． 【详解】解：如图④所示：连接、 在与中，由作图可知： 故答案为：． 【题型5：角平分线与全等三角形的综合】 【例1】如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是的角平分线，， 又∵， ∴ ． 故选：B． 【变式训练】如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 1．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由题意可知平分，即，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是内一点且到三边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】过点D作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握性质和解析式是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，于点N，于点G， ∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴点D一定在的角平分线上， 则平分的外角， 故选：A． 3．在中，，的平分线交于点，过点作，垂足为，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，先求出的长度，再得出的长度．本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 【详解】解：在中，，是的平分线， ． 又， 故选：B ． 4．如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．根据，，判断是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴点O到、的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 故选：D． 5．在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图—作角的平分线，根据角平分线的作法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 符合要求的作图是D选项， 故选：D． 6．如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为_____． 【答案】10 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查角平分线的判定和性质，根据，，，得到，由此得到，再根据角平分线的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为10． 7．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 8．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、垂线段最短 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 9．如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为，．点，分别在，上，，连接，．求证：． 【答案】证明过程见解析 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．如图，的角平分线，相交于点．求证： (1)点到三边，，的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 【答案】(1) 证明：作于点，于点，于点， ∵的角平分线，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，的距离相等． (2) 证明：由（1）可知， 又∵，， ∴点在的角平分线上， 又∵的角平分线，相交于点， ∴的三条角平分线交于一点． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质． （1）作，，，由角平分线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由（1）可知，根据角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 12．如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行线的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，根据图示判断是的角平分线，继而得到的度数，继而根据两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：, ， 如图所示，是的角平分线， ， ， ． 13．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 14．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 根据题意，无法得到与的大小关系， ∴无法得到和的大小关系，故结论④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 15．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】作于点，于点，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， 由作图可得平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为， ∴的面积为． 16．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 17．如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 _________ ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】用HL证全等（HL）、等边三角形的性质、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，根据题意先判定是的角平分线；进而证明，得出②④正确，根据三角形的外角的性质得出可得是等边三角形进而判断③． 【详解】解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； 由①可知，， ， ，故④正确， ， ，故②正确； ， ，， ，故③正确； 故答案为：①②③④． 18．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是________． ①平分；②； ； 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质等知识，过点作于点，由角平分线的性质得到，即可判断，假设，进一步得到，与题意矛盾，可判断，由，，得到，可判断，由， 得到，，进而得到，可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分，故符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴假设不成立，故不符合题意； 由可知，， ∴， ∴， ∴，故符合题意； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故符合题意； 故答案为：． 19．如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)①；② (2)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS）、作线段(尺规作图) 【分析】（1）①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则点E即为所求；②根据角平分线的尺规作图方法以及题意作图即可； （2）证明，即可证明； （3）由三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）①略； ②略； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 21．如图，线段分别是的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是（     ） A．点D到和的距离相等 B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积、垂线段最短 【分析】根据角平分线的性质，三角形的中线平分面积，以及垂线段最短，进行判断即可. 【详解】解：∵线段分别是的角平分线、中线和高线， ∴点D到和的距离相等，，，， ∴错误的是选项D. 22．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 23．如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中位线平分面积，得到，根据角平分线的性质得到，综合可得结果． 【详解】解：点是边上的中点， ， 是的角平分线， 点到、的距离相等，设点到、的距离为， 则， 又， ． 24．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴平分．即：， 同理可得：， 又∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选为：C． 25．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 26．如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、垂线段最短 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 27．如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】②③④ 【知识点】角平分线的性质定理、同(等)角的余(补)角相等的应用、根据三角形中线求面积、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余 【分析】作于点M，结合角平分线的性质定理和垂心段最短可判断①错误；根据直角三角形两锐角互余判断②；根据角平分线的定义、等角的余角相等及对顶角相等判断③；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：如图，作于点M， 平分， ∴， ∵， ∴，故①错误； ， 在中，，故②正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故③正确； 是的中线， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是②③④． 28．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 29．如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 【答案】(1)如图，射线即为所求； (2)证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； (3)证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由已知求出，则，再根据角平分线的性质得，即可证明； （3）证明得到，再结合（2）的结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 30．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； (2)证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； (3)4 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】（1）如图，作于E，延长线于F，证明，再进一步证明即可； （2）如图，连接，证明，，进一步可得，可得； （3）过点K作于M，于N，证明，可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 与角平分线相关的综合问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1：角平分线的证明 题型2：角平分线中的证明题 题型3：角平分线的性质与判定综合 题型4：尺规作图——作角平分线 题型5：角平分线与全等三角形的综合 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 角的平分线的判定与性质 1．角平分线的判定和性质 图形 性质 ∵ ∴ 判定 ∵ ∴ 【针对训练】 1. 如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 2. 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 3. 如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 知识点2 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【针对训练】 1. 如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 2. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 3. 如图，锐角的两条高相交于点O，且． (1)求证：； (2)求证：判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 典例精析 【题型1：角平分线的证明】 【例1】如图，在中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 【变式训练】如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【题型2：角平分线中的证明题】 【例1】的平分线与的平分线交于点E，．求证：． 【变式训练】如图，在直角中，，的平分线交于，于点E，交于点F，取，连结，求证：． 【题型3：角平分线的性质与判定综合】 【例1】如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【题型4：尺规作图——作角平分线】 【例1】如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【变式训练】角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【题型5：角平分线与全等三角形的综合】 【例1】如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 1．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 3．在中，，的平分线交于点，过点作，垂足为，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为_____． 7．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 8．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为_____． 9．如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为，．点，分别在，上，，连接，．求证：． 10．如图，的角平分线，相交于点．求证： (1)点到三边，，的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 11．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 12．如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 13．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 14．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 16．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 17．如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 _________ ．（填序号） 18．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是________． ①平分；②； ； 19．如图，在中，，垂足为点． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在上截取； ②作的平分线，交于点，在下方的射线上任取一点，连接； (2)求证：； (3)求的度数． 20．如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 21．如图，线段分别是的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是（     ） A．点D到和的距离相等 B． C． D． 22．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 23．如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 24．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 25．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 26．如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 27．如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 28．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 29．如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 30．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $