15.3.2 等边三角形 讲义 -2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.2 等边三角形（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·等边三角形的性质】 1 【题型·2.等边三角形的判定】 3 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 4 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 6 【题型·5·最短路径问题】 10 【随堂检测】 11 知识点1 等边三角形的概念，性质和判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型·1·等边三角形的性质】 【例1】如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，为等边内任一点，于点，于点，于点．已知的高为5，则（     ） A．10 B． C． D．5 【变式1-3】如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型·2.等边三角形的判定】 【例2】如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【变式2-1】如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式2-2】如图，在中，，，为的一条角平分线，点H为的中点，连接并延长至点F，连接，且． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 【变式2-3】如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 【例3】如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【变式3-1】如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3-2】如图，是等边三角形，D为边延长线上一点，平分，． (1)求证：； (2)判别是什么特殊三角形？并说明理由． 【变式3-3】如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 【例4】（1）如图，在中，点D在边上．求证：． （2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由． 【变式4-1】实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式4-2】【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，（理由1） 在中，，（理由2） ．即． (1)请你填写证明中的两处理由：理由1：_______________________； 理由2：____________________； 【拓展应用】 (2)请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． （提示：先用含的代数式表示，再用作差法证明，即可证明） 【变式4-3】课本再现： (1)由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则_____，所以_____．（填“”、“”或“”） (2)实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来，等角所对的边也相等． 那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：”．并作出了辅助线：作的平分线．在上截取．连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． (3)从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法，类似的，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为_________ ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，，那么 ④在中，如果，那么 知识点2 最短路径 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短 【题型·5·最短路径问题】 【例5】如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式5-2】如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，，于点D，垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（  ） A．6 B．7 C．10 D．12 随堂检测 【随堂检测】 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 3.如图，在正方形网格中，，两点均在直线上方，要在直线上求一点，使的值最小，则点应选在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 4．如图，已知是等边三角形，点为边上一点，点D，F为延长线上的点，连接，且，点是线段上的点，连接，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，等边中，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．若一个等边三角形的周长是12，则这个等边三角形的边长是_____． 9．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 10．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是______． 11．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是________． 12．如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 13．已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． (1)如图1，当点E为线段的中点时，求证：； (2)如图2，当时，求度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2 等边三角形（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·等边三角形的性质】 1 【题型·2.等边三角形的判定】 4 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 8 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 14 【题型·5·最短路径问题】 21 【随堂检测】 25 知识点1 等边三角形的概念，性质和判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型·1·等边三角形的性质】 【例1】如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 【变式1-1】如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，首先根据等边三角形的性质可得，结合平行线的性质确定，进而可得，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，设直线交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 【变式1-2】如图，为等边内任一点，于点，于点，于点．已知的高为5，则（     ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】连接，利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵三角形是等边三角形， ∴， ， ∴， 又∵的高为5， ∴， ∴， 解得． 【变式1-3】如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 【题型·2.等边三角形的判定】 【例2】如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ． 又， ． ∴， ， 是等边三角形． 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可解答． 【详解】略 【变式2-1】如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-2】如图，在中，，，为的一条角平分线，点H为的中点，连接并延长至点F，连接，且． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵在中，，， ∴， ∵为的一条角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴，即， ∴， 又∵， ∴为等边三角形； (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）求出，由角平分线的定义可得，则可证明得到，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质求出的长，则可得到的长，再根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， 在中，， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴； ∵， ∴； ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，证明可得，据此可证明是等边三角形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质可求出的长，再由线段中点的定义可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 【例3】如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-1】如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中： ∴， ∴； (2)的长为2 【分析】（1）根据是的中点，可得，证明，进而即可得证； （2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵是中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，是等边三角形，D为边延长线上一点，平分，． (1)求证：； (2)判别是什么特殊三角形？并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 又，， ∴， ∴； (2) 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先证明，再根据证明即可得出结论； （2）证明是等边三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-3】如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，推导出 ，则，即可解答； （2）先证明是等边三角形，得到，则，继而推导出，得到，可推导出是等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：在中，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：是等边三角形．理由如下： ，， 是等边三角形， ， ∴在中，． 由（1）知，， ， ， ， 又由（1）知， 是等边三角形． 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 【例4】（1）如图，在中，点D在边上．求证：． （2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的外角性质，不等式的性质等知识点． （1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可证明； （2）根据三角形的外角性质得到，而，则，再由大角对大边即可求解． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式4-1】实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 （2），理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，（理由1） 在中，，（理由2） ．即． (1)请你填写证明中的两处理由：理由1：_______________________； 理由2：____________________； 【拓展应用】 (2)请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． （提示：先用含的代数式表示，再用作差法证明，即可证明） 【答案】(1)证明：以为顶点作， ，（等角对等边） 在中，，（三角形两边之和大于第三边） ．即． (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等角对等边及三角形三边关系解答即可； （2）根据等边对等角，结合三角形内角和定理得出，根据不等式的性质及，得出，进而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 【变式4-3】课本再现： (1)由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则_____，所以_____．（填“”、“”或“”） (2)实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来，等角所对的边也相等． 那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：”．并作出了辅助线：作的平分线．在上截取．连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． (3)从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法，类似的，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为_________ ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，，那么 ④在中，如果，那么 【答案】(1)； (2) 证明：∵是的平分线 ∴ ∵， 在和中 ∴， ∵， ∴， ∴； (3)②③④ 【分析】（1）根据三角形外角的定义即可判断； （2）先证明，再由外角定义即可证得； （3）根据题干可判断①②，根据三角形内角和定理可求的度数，再根据等角对等边即可判断③，若时，作，根据三角形三边关系可证． 【详解】（1）解：由三角形外角的定义可知， ， 故答案为：； （2）解； （3）解：∵在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大， ∴如果，则，故①错误． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是锐角三角形，故②正确． ∵，， ∴ ∴，故③正确． 如下图： 若时，作 ∴， ∵， ∴，即， 同理可得， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，三角形三边关系的应用以及等角对等边，全等三角形的判定和性质等知识．掌握三角形相关知识是解题的关键． 知识点2 最短路径 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短 【题型·5·最短路径问题】 【例5】如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值． 【变式5-1】如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-2】如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接，得到，由此解答即可．此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接， 由轴对称的性质可知，， ∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-3】如图，在中，，于点D，垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（  ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可知点B和点C关于直线EF对称，所以当P与G重合时，的值最小，根据CD和BD的长度即可求得周长的最小值． 【详解】解：如图 ∵， ∴是等腰三角形， ∵，于点D， ∴， ∵直线EF垂直平分BC交AB于点E， ∴点B和点C关于直线EF对称， ∴当P与G重合时，的值最小，最小值等于CD的长， ∴周长的最小值是， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出P点的位置． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的表示（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】解：初中数学中，三角形按边的相等关系分类，可分为两类：三边都不相等的三角形，和至少有两边相等的等腰三角形；而等边三角形是特殊的等腰三角形，满足三边都相等，属于等腰三角形的子集，对应图里嵌套在等腰三角形内部的Q，因此Q表示等边三角形． 2．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 【答案】B 【详解】解：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形． ∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴B正确，A错误． ∵等腰三角形的顶角可以为锐角、直角或钝角， ∴等腰三角形不一定是锐角三角形，也不一定是钝角三角形，C、D错误． 3.如图，在正方形网格中，，两点均在直线上方，要在直线上求一点，使的值最小，则点应选在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键． 根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，则交直线于点， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点的位置应选在点处， 故选：C． 4．如图，已知是等边三角形，点为边上一点，点D，F为延长线上的点，连接，且，点是线段上的点，连接，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得：，根据以及外角的性质可得，同理可：． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可得：． 故选：B． 5．如图，等边中，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定与应用．证明即可求解． 【详解】在等边中，， 又∵， ， ， 而， ． 故选：C． 6．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 7．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．若一个等边三角形的周长是12，则这个等边三角形的边长是_____． 【答案】4 【分析】等边三角形的三条边相等，周长是三条边的总和，因此边长可通过周长除以3得到． 【详解】解：∵等边三角形的周长边长， ∴边长=周长． 9．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 【答案】或 或 或或 【分析】根据等边三角形的判定，解答即可； 【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填或； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，也可以填或或． 10．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先求出，再由直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 11．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据中点的定义得，然后根据含直角三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：在等边中，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 12．如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】由等边三角形的性质，可得，，可得，证明，即可证得结论． 【详解】证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． (1)如图1，当点E为线段的中点时，求证：； (2)如图2，当时，求度数． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ， 点E为线段的中点， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ； (2) 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据等边三角形性质及点E为线段的中点得，，进而得，则，再根据三角形外角性质得，则，据此得出结论即可； （2）过点E作交的延长线于点F，证明是等边三角形得，进而得，再根据得，根据全等三角形判定和全等，得，则是等腰直角三角形，据此得出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $