专题13 公因数和公倍数的认识及应用四大类型（易错专项训练）数学苏教版五年级上册（新教材）

专题13 公因数和公倍数的认识及应用四大类型 易错专项训练一 公因数和最大公因数的认识 易错专项训练二 运用最大公因数解决问题 易错专项训练三 公倍数和最小公倍数的认识 易错专项训练四 运用最小公倍数解决问题 易错专项训练一公因数和最大公因数的认识 1．下面各组数中，（    ）的最大公因数是1。 A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13 2．下面各组数中，最大公因数肯定是1的一组是（    ）。 A．质数与合数 B．偶数与偶数 C．质数与质数 D．奇数与偶数 3．小迪的书房长，宽，选用边长（    ）的方砖铺地不需切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 4．有一张长30厘米、宽12厘米的长方形纸，把它剪成边长是整厘米的若干正方形，不能有剩余，有（ ）种剪法，正方形的边长可能是（ ）厘米，可能是（ ）厘米。 5．下图是欢欢家密码锁设置的信息，开锁密码是（ ）。 6．，，如果和的最大公因数是27，那么是（ ）。 易错专项训练二运用最大公因数解决问题 7．暑假期间，乐乐准备用一张长84厘米、宽60厘米的长方形彩色卡纸裁成同样大的正方形且没有剩余，想要剪出边长最大的正方形，一共能裁剪出多少个这样大的正方形？ 8．有两根彩带，长度分别是96厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以截成多少根？ 9．五（1）班去植树，男生有24人，女生有18人。如果要分成若干个小组且没有剩余，每个小组的男生人数相同，女生人数也相同。最多可以分成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？ 10．五（1）班买来25本笔记本和32支中性笔奖励给本学期的三好学生，每个学生得到的笔记本和中性笔同样多，最后余下1本笔记本和2支中性笔，五（1）班本学期最多有多少名三好学生？ 11．周末同学们外出实践活动，老师把矿泉水和酸奶（如图）平均分给各小组，正好分完。最多可以分给几个小组？每个小组各分得多少矿泉水和酸奶？ 12．兵团某连队收获葵花籽48吨、棉花36吨，现将两种农产品分别装箱，每箱质量相等且都是整吨数，无剩余。每箱最重多少吨？一共可以装多少箱？ 易错专项训练三公倍数和最小公倍数的认识 13．若甲数是乙数的2倍，则甲、乙两数的最小公倍数是（    ）。 A．1 B．甲数 C．乙数 D．甲、乙两数的积 14．昆虫纲周期蝉属中有13年蝉和17年蝉两类特殊的蝉，它们的生命周期分别是13年和17年因此得名。有两群13年蝉和17年蝉最近一起出现是在2024年，那么下次它们同时出现将是在（    ）年。 A．2037 B．2041 C．2057 D．2245 15．如果一个数减1后是2、3、5的倍数，那么这个数最小是（    ）。 A．21 B．31 C．61 D．121 16．一个两位数既含有2和3的因数，又能被7整除，这个两位数最大是（ ），最小是（ ）。 17．已知a＝2×3×n，b＝3×5×n，a和b的最小公倍数是210，则n的值为（ ），a、b的最大公因数是（ ）。 18．如果甲数＝2×3×3×5，乙数＝2×2×3×5，那么甲数和乙数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 易错专项训练四运用最小公倍数解决问题 19．王阿姨在家里种了玫瑰花和吊兰，某天她给玫瑰花和吊兰同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水至少再过多少天？ 20．同学们在实践中了解到，甘蔗捆扎起来便于运输。他们准备自己捆扎一批甘蔗，已知这批甘蔗的总数在90～100根之间，而且无论是8根一捆，还是12根一捆，都正好捆完，这批甘蔗一共有多少根？ 21．五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？ 22．小区里有两个洒水器同时启动洒水，甲洒水器每8分钟完成一次小区洒水，乙洒水器每10分钟完成一次小区洒水。若它们早上8:00同时启动，下次同时洒水的时间是早上几点几分？ 23．妈妈准备把一块正方形布料裁剪成若干条小方巾。既可以裁剪成边长是20厘米的，也可以裁剪成边长是25厘米的，这块正方形布料的边长至少是多少厘米？面积是多少？ 24．甲、乙、丙三个龙舟队开展训练，甲龙舟队每4天训练一次，乙龙舟队每6天训练一次，丙龙舟队每8天训练一次。如果从5月1日开始第一次同时训练，至少多少天后三个龙舟队再次同时训练？此时乙龙舟队已训练多少次？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 公因数和公倍数的认识及应用四大类型 易错专项训练一 公因数和最大公因数的认识 易错专项训练二 运用最大公因数解决问题 易错专项训练三 公倍数和最小公倍数的认识 易错专项训练四 运用最小公倍数解决问题 易错专项训练一公因数和最大公因数的认识 1．下面各组数中，（    ）的最大公因数是1。 A．45和24 B．19和76 C．39和40 D．39和13 【答案】C 【分析】如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数（最大公约数）。分别计算每组数的最大公因数，选出结果为1的选项即可。 【解答】A．45和24的公因数有1、3，最大公因数是3，不符合要求。 B．76÷19＝4，76是19的倍数，两个数为倍数关系时最大公因数是较小数，即最大公因数是19，不符合要求。 C．39和40是相邻的自然数，两数互质，最大公因数是1，符合要求。 D．39÷13＝3，39是13的倍数，最大公因数是13，不符合要求。 2．下面各组数中，最大公因数肯定是1的一组是（    ）。 A．质数与合数 B．偶数与偶数 C．质数与质数 D．奇数与偶数 【答案】C 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 两个数公有的因数叫做这两个数的公因数；其中最大的叫最大公因数。 【解答】A．如：质数2和合数4的最大公因数是2，不是1，不符合要求。 B．所有偶数都有公因数2，任意两个偶数的最大公因数至少是2，不符合要求。 C．质数的因数只有1和它本身，两个不同的质数的公因数只有1，最大公因数是1，符合要求。 D．如：奇数3和偶数6的最大公因数是3，不是1，不符合要求。 3．小迪的书房长，宽，选用边长（    ）的方砖铺地不需切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先统一单位，书房长4.8m＝48dm，宽3m＝30dm，方砖铺地不需要切割，说明方砖的边长是地面长和宽的公因数。先用分解质因数法求出48和30的最大公因数，再找出这个最大公因数的所有因数，就是两者全部的公因数，最后对照选项选出正确答案。 【解答】4.8m＝48dm，3m＝30dm 48＝2×2×2×2×3 30＝2×3×5 最大公因数：2×3＝6 6的因数：1、2、3、6，也就是48和30的公因数。 对照选项，只有6符合条件。 4．有一张长30厘米、宽12厘米的长方形纸，把它剪成边长是整厘米的若干正方形，不能有剩余，有（ ）种剪法，正方形的边长可能是（ ）厘米，可能是（ ）厘米。 【答案】4 1 2 【分析】长方形纸，把它剪成边长是整厘米的若干正方形，不能有剩余，说明正方形边长是长方形的长的因数，也是宽的因数，即是长与宽的公因数，找出30与12的公因数，公因数的个数即是几种剪法，从公因数中任意选两个公因数作为正方形边长填写在括号中。 【解答】30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 12的因数：1、2、3、4、6、12。 30与12的公因数是：1、2、3、6。共4个。 4种剪法，正方形边长可以为：1厘米、2厘米、3厘米、6厘米。 所以有4种剪法，正方形的边长可能是1厘米，可能是2厘米。 5．下图是欢欢家密码锁设置的信息，开锁密码是（ ）。 【答案】 【分析】整数中，是2的倍数的数是偶数；一个数，如果只有和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。当两个数是互质数时，最大公因数是，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，图片已知密码中间的数字为，由此求出密码即可。 【解答】既是偶数又是质数。3和的最大公因数就是，中间的数字为，开锁密码是。 6．，，如果和的最大公因数是27，那么是（ ）。 【答案】9 【分析】根据A、B两数的分解质因数，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数，已知最大公因数是27，即3N＝27，据此求出N的值。 【解答】A＝2×3×N，B＝3×5×N A和B的最大公因数是3N＝27， N＝27÷3 N＝9 易错专项训练二运用最大公因数解决问题 7．暑假期间，乐乐准备用一张长84厘米、宽60厘米的长方形彩色卡纸裁成同样大的正方形且没有剩余，想要剪出边长最大的正方形，一共能裁剪出多少个这样大的正方形？ 【答案】35个 【分析】如果要裁成同样大的正方形且无剩余、边长最大，那么正方形的边长应为长方形长和宽的最大公因数。先求出84和60的最大公因数，再分别计算长、宽上面裁剪正方形边长的数量，最后相乘得到裁剪正方形的总数量。 【解答】84＝2×2×3×7 60＝2×2×3×5 84和60的最大公因数是2×2×3＝12。 （84÷12）×（60÷12） ＝7×5 ＝35（个） 答：一共能裁剪出35个这样大的正方形。 8．有两根彩带，长度分别是96厘米和60厘米，现在要把它们截成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以截成多少根？ 【答案】12厘米；13根 【分析】截成同样长且无剩余的短彩带，其长度是96和60的公因数，求最长长度就是求这两个数的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数。再分别计算两根彩带可截的段数，相加得到总段数。 【解答】96＝2×2×2×2×2×3 60＝2×2×3×5 96和60的最大公因数是2×2×3＝12；每根短彩带最长是12厘米。 96÷12＋60÷12 ＝8＋5 ＝13（根） 答：每根短彩带最长是12厘米，一共可以截成13根。 9．五（1）班去植树，男生有24人，女生有18人。如果要分成若干个小组且没有剩余，每个小组的男生人数相同，女生人数也相同。最多可以分成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？ 【答案】最多可以分成6个小组，每个小组有男生4人，女生3人。 【分析】要使分组后没有剩余，且每组男生人数相同、女生人数相同，小组的数量必须同时是24和18的因数；求最多能分多少组，就是求24和18的最大公因数。先用分解质因数法求出最大公因数，再用男、女生总人数分别除以最大公因数，即可求出每组的男、女生人数。 【解答】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是2×3＝6 即最多可以分成6个小组 每组男生人数：24÷6＝4（人） 每组女生人数：18÷6＝3（人） 答：最多可以分成6个小组，每个小组有男生4人，女生3人。 10．五（1）班买来25本笔记本和32支中性笔奖励给本学期的三好学生，每个学生得到的笔记本和中性笔同样多，最后余下1本笔记本和2支中性笔，五（1）班本学期最多有多少名三好学生？ 【答案】6名 【分析】先用笔记本总数25减去余下的1本，中性笔总数32减去余下的2支，求出实际分出去24本笔记本和30支中性笔。因为每个学生分得同样多，三好学生人数是24和30的公因数，要求人数最多，就是求24和30的最大公因数，用分解质因数法计算。 【解答】25－1＝24（本） 32－2＝30（支） 24＝2×2×2×3 30＝2×3×5 最大公因数：2×3＝6 答：五（1）班本学期最多有6名三好学生。 11．周末同学们外出实践活动，老师把矿泉水和酸奶（如图）平均分给各小组，正好分完。最多可以分给几个小组？每个小组各分得多少矿泉水和酸奶？ 【答案】最多可以分给8个小组；每个小组分得9瓶矿泉水，5盒酸奶。 【分析】先计算矿泉水总瓶数和酸奶总盒数，分别用单箱数量乘箱数。因为要把两种物品正好平均分且求最多的小组数，所以需要求两个总数量的最大公因数，该最大公因数就是最多可分的小组数，再用矿泉水总瓶数、酸奶总盒数除以小组数，即可得到每个小组分得的两种物品的数量。 【解答】矿泉水总数量： （瓶） 酸奶总数量： （盒） 72的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40； 两者的最大公因数是8，也就是最多分给8个小组。 矿泉水：（瓶） 酸奶：（盒） 答：最多可以分给8个小组；每个小组分得9瓶矿泉水和5盒酸奶。 12．兵团某连队收获葵花籽48吨、棉花36吨，现将两种农产品分别装箱，每箱质量相等且都是整吨数，无剩余。每箱最重多少吨？一共可以装多少箱？ 【答案】12吨；7箱 【分析】每箱质量需同时整除48和36，求每箱最重的质量就是求48和36的最大公因数；再分别计算两种农产品的箱数，求和得到总箱数。 【解答】 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12，所以每箱最重12吨。 葵花籽可以装：48÷12＝4（箱） 棉花可以装：36÷12＝3（箱） 一共装：4＋3＝7（箱） 答：每箱最重12吨，一共可以装7箱。 易错专项训练三公倍数和最小公倍数的认识 13．若甲数是乙数的2倍，则甲、乙两数的最小公倍数是（    ）。 A．1 B．甲数 C．乙数 D．甲、乙两数的积 【答案】B 【分析】当两个数成倍数关系时，较大的数就是这两个数的最小公倍数。 【解答】已知甲数是乙数的2倍，即甲、乙两数成倍数关系，且甲数大于乙数，所以两数的最小公倍数是甲数。 14．昆虫纲周期蝉属中有13年蝉和17年蝉两类特殊的蝉，它们的生命周期分别是13年和17年因此得名。有两群13年蝉和17年蝉最近一起出现是在2024年，那么下次它们同时出现将是在（    ）年。 A．2037 B．2041 C．2057 D．2245 【答案】D 【分析】两种蝉下次同时出现的间隔时间是13和17的最小公倍数，用2024加上间隔时间即可得到结果。 【解答】13和17互为质数，最小公倍数为二者的乘积： 下次同时出现的年份：（年） 15．如果一个数减1后是2、3、5的倍数，那么这个数最小是（    ）。 A．21 B．31 C．61 D．121 【答案】B 【分析】先求出2、3、5的最小公倍数，再加1即可得到满足条件的最小数。 【解答】2、3、5互质，所以2、3、5的最小公倍数为： 所求的数为： 16．一个两位数既含有2和3的因数，又能被7整除，这个两位数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】84 42 【分析】根据题意可知，这个两位数是2、3、7的倍数。因为2、3、7是互质数，那么它们的最小公倍数是三个数的乘积，据此先求出2、3、7的最小公倍数，再求出100以内这个最小公倍数的倍数，即可得出符合条件的最大两位数和最小两位数。 【解答】2、3、7的最小公倍数：2×3×7＝42 100以内42的倍数有：42、84； 所以，这个两位数最大是84，最小是42。 17．已知a＝2×3×n，b＝3×5×n，a和b的最小公倍数是210，则n的值为（ ），a、b的最大公因数是（ ）。 【答案】7 21 【分析】根据题意，和已经写成了质因数相乘的形式。求最小公倍数时，应将两个数公有的质因数和各自独有的质因数连乘；求最大公因数时，应将两个数公有的质因数连乘。已知最小公倍数的具体数值，可列出算式求出的值，进而求出最大公因数。 【解答】由题意可知： 和公有的质因数是和，独有的质因数是 ，独有的质因数是。 根据最小公倍数的求法，和的最小公倍数是： 因为最小公倍数是，所以： 根据最大公因数的求法，和的最大公因数是公有质因数的乘积： 将代入，得： 故的值为，、的最大公因数是。 18．如果甲数＝2×3×3×5，乙数＝2×2×3×5，那么甲数和乙数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 【答案】30 180 【分析】先找出甲和乙共同有的质因数，即甲和乙的公有质因数，把公有质因数相乘得到它们的最大公因数；再根据公有质因数与各自独有的质因数相乘可得到最小公倍数，求解出它们的最小公倍数。 【解答】 那么甲数和乙数的最大公因数是，最小公倍数是。 易错专项训练四运用最小公倍数解决问题 19．王阿姨在家里种了玫瑰花和吊兰，某天她给玫瑰花和吊兰同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水至少再过多少天？ 【答案】60天 【分析】玫瑰花每20天浇一次水，它的浇水间隔是20的倍数；吊兰每15天浇一次水，它的浇水间隔是15的倍数。要找到“同时浇水”的时间，就是找同时是15和20的倍数的数，也就是两个数的公倍数；题目要求“至少再过多少天”，也就是找两个数的最小公倍数。先将20和15分解质因数，再取两个数所有公有的质因数和各自独有的质因数相乘，所得乘积就是最小公倍数。 【解答】， 20和15的最小公倍数：（天） 答：下一次再给这两种植物同时浇水至少再过60天。 20．同学们在实践中了解到，甘蔗捆扎起来便于运输。他们准备自己捆扎一批甘蔗，已知这批甘蔗的总数在90～100根之间，而且无论是8根一捆，还是12根一捆，都正好捆完，这批甘蔗一共有多少根？ 【答案】96根 【分析】甘蔗总数是8和12的公倍数，先求出两者的最小公倍数，再找出90～100之间的公倍数即可。 【解答】8的倍数有：8、16、24、32、40…… 12的倍数有：12、24、36、48…… 8和12的最小公倍数是24。 找90～100之间的24的倍数。 （根），，不符合要求； （根），，符合要求； （根），，不符合要求。 答：这批甘蔗一共有96根。 21．五（1）班学生在运动会上进行队列表演，无论是4人一排、6人一排，还是8人一排，都正好站完。五（1）班学生的总人数在40～50之间。五（1）班有多少人？ 【答案】48人 【分析】总人数能被4、6、8分别整除，说明总人数是这三个数的公倍数，先找出4、6、8的最小公倍数，三个数其他的公倍数都是最小公倍数的倍数，据此找出三个数在40~50之间的公倍数即可。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×3×2×2＝24 在40~50之间的24的倍数是48。 答：五（1）班有48人。 22．小区里有两个洒水器同时启动洒水，甲洒水器每8分钟完成一次小区洒水，乙洒水器每10分钟完成一次小区洒水。若它们早上8:00同时启动，下次同时洒水的时间是早上几点几分？ 【答案】早上8时40分。 【分析】要找两个洒水器下次同时洒水的时间就是求8和10的最小公倍数，利用分解质因数法求出8和10的最小公倍数；再用起始时间8:00加上间隔时间，即可得到时刻。 【解答】因为8＝2×2×2，10＝2×5，所以8和10 的最小公倍数是2×2×2×5＝40。 8时＋40分钟＝8时40分钟 答：下次同时洒水的时间是早上8时40分。 23．妈妈准备把一块正方形布料裁剪成若干条小方巾。既可以裁剪成边长是20厘米的，也可以裁剪成边长是25厘米的，这块正方形布料的边长至少是多少厘米？面积是多少？ 【答案】边长至少是厘米，面积是平方厘米。 【分析】要使正方形布料能分别裁成边长为厘米、厘米的小方巾且没有剩余，大正方形的边长必须是20和25的公倍数，求最小边长即求二者的最小公倍数，再根据正方形面积公式计算面积。 【解答】 （平方厘米） 答：这块正方形布料的边长至少是厘米，面积是平方厘米。 24．甲、乙、丙三个龙舟队开展训练，甲龙舟队每4天训练一次，乙龙舟队每6天训练一次，丙龙舟队每8天训练一次。如果从5月1日开始第一次同时训练，至少多少天后三个龙舟队再次同时训练？此时乙龙舟队已训练多少次？ 【答案】24天；5次 【分析】求三个队再次同时训练的最少天数，就是求4、6、8的最小公倍数；计算乙的训练次数时，用总天数除以乙的训练周期，再加上第一次的训练次数即可。 【解答】4、6、8的最小公倍数： 4、6、8最小公倍数为：2×2×1×3×2＝24 答：至少24天后三个龙舟队再次同时训练。 24÷6＋1 ＝4＋1 ＝5（次） 答：此时乙龙舟队已训练5次。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $