第27章《二次函数》综合复习卷2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

保密★启用前 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 第27章《二次函数》综合复习卷 （满分：150分 时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分： 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于抛物线的判断中，错误的是（     ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．开口向下 3．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（   ） x … 0 1 2 … y … 2 … A． B． C． D． 4．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 5．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形面积最大，的长为（     ） A．2 B． C． D．4.5 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是__________． 8．如果函数是关于x的二次函数，则_________． 9．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 10．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（用号连接）________． 11．已知二次函数的顶点坐标为，且其图像经过点，则此二次函数的解析式是________________． 12．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩的收益是480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加1亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．该大户今年计划承租土地的最大收益是_________元． 13．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 14．已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 15．二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 16．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．如图所示的直角坐标系中，若水位上涨，此时水面的宽度为__________． 17．如图，某社区计划修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离在米处达到最高，最高为米，水管的长度为米，水柱落地处离池中心的距离为___________米． 18．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当，时y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确的结论是_______________． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19．（9分）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 20．（9分）已知二次函数，利用描点法画该函数图象列表如下： x … 0 1 2 3 5 … y … 5 0 m n … (1)上表中，___________，___________； (2)①在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是___________． 21．（10分）（12分）已知二次函数（a为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，求a的值； (2)在（1）的条件下，当时，直接写出y的取值范围： ． 22．（10分）已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 23．（10分）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为．    (1)求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； (2)直接写出当函数值时，自变量的取值范围． 24．（10分）某水果店销售榴莲，成本价为40元/千克，经市场调查，每周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于成本价且不得高于成本价的倍．      (1)求出与之间的函数关系式； (2)设每周的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该水果店每周的利润最大？最大利润是多少元？ 25．（10分）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用AI摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是________米，实心球在空中的最大高度是________米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 26．（10分）如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ (3)如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D D C B 1．D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、，只有当时才是二次函数，故不符合题意； B、，函数等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，该函数解析式化简后没有二次项，不是二次函数，故不符合题意； D、，是二次函数，故符合题意， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，抛物线的开口方向的确定，根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A选项：抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B选项：抛物线对称轴为直线，此选项不符合题意； C选项：对于抛物线，由于，抛物线开口朝下，当时，函数值随的增大而减小，当时，函数值随的增大而增大，因此“当时，随的增大而减小”的表述错误，此选项符合题意； D选项：该抛物线的二次项系数，因此开口向下，此选项不符合题意． 故答案为C． 3．D 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性得到顶点坐标为，设出顶点式，把代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， ∴； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 5．C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 6．B 【分析】利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出，进而利用勾股定理表示出，由表示出，根据与乘积列出二次函数的解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大． 7． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得． 8． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， 且， ． 9． 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 10． 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越小，对应函数值越大，比较三个点到对称轴的距离即可得到大小关系． 【详解】解：首先求抛物线的对称轴，配方得，可得，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越小，对应的值越大． 计算各点横坐标到的距离：点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ． 11． 【分析】先设二次函数的解析式为，再代入顶点坐标，点，即可求出二次函数的解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为，代入顶点坐标， 得到： ， 再代入点，得到 ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 12．96800 【分析】设承租m亩土地，利用总收益=亩数×单亩收益的等量关系列出关系式，然后利用二次函数的顶点式求出最大值 【详解】设该大户今年计划承租m亩土地，收益是W元， 则， 该大户今年计划承租土地的最大收益是96800元． 【点睛】本题考查了二次函数实际应用的最值问题，列出正确的等量关系式是关键 13． 【分析】需要先从图像读出对称轴和一个交点，再利用对称性求出另一个交点，最后根据开口方向判断 时对应的区间． 【详解】解：已知一个交点为 ，对称轴为直线 ． 设另一个交点为 ，因为两个交点关于对称轴对称，有， 解得：，． 所以另一个交点为 ． 图像开口向下，则在两根之间函数值为正，即：时，． 14． 【分析】已知抛物线与轴的两个交点，可设交点式求解析式，再代入已知点求出系数，展开整理即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标是， ∴设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴，展开整理得． 15． 【分析】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 16．/米 【分析】根据待定系数法可求得抛物线解析式，再令，求得对应的值，即可得解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． ∵水位上涨， ∴令，得，解得， ∴此时水面的宽度为． 17．3 【分析】根据题意可知抛物线顶点坐标为，且经过点，设顶点式求出解析式，令即可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵水管的长度米，抛物线经过点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， 解得，（舍去）， ∴水柱落地处离池中心的距离为米． 18．②③④⑤ 【分析】①根据抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，据此解答即可． ②根据抛物线的对称轴x=-1，可得当x＞-1时，y随x增大而减小，据此判断即可． ③根据抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以c＞0，据此判断即可． ④根据y=ax2+bx+c的最大值是2，可得方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2，据此判断即可． ⑤首先根据抛物线的对称轴，可得b=2a，然后根据a+b+c＜0，判断出3a+c＜0即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴结论①不正确． ∵顶点 抛物线的对称轴x=-1， ∴当x＞-1时，y随x增大而减小， ∴结论②正确． ∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴c＞0， ∴结论③正确． ∵顶点，则y=ax2+bx+c的最大值是2， ∴方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2， ∴结论④正确． ∵抛物线的对称轴， ∴b=2a， 点在第四象限， a+b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， ∴3a+c＜0， ∴结论⑤正确． 综上，可得 正确结论的序号是：②③④⑤． 故答案为：②③④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． 19．(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 20．(1)， (2)①画出二次函数的图象如图所示： ② 【分析】（1）将，分别代入计算即可得出结果； （2）①根据表格描点、连线即可画图；②根据函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，即； （2）解：①图略； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键． （1）把点代入中，即可求得； （2）由求得的a值，得到二次函数解析式，配方得到抛物线对称轴；结合函数图象的增减性质及自变量的范围，即可得到函数值的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：当时，二次函数为， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，； ∴当时，； 故答案为：． 22．(1) (2) 【分析】（1）设顶点式，代入求值即可； （2）根据抛物线与轴的交点问题，即时，求函数值即可． 【详解】（1）解：设二次函数的顶点式为：， ∵顶点为， ∴， 将代入得， ∴， 则二次函数的解析式为：， （2）解：令， 则， 解得：， 所以二次函数与轴的交点坐标为：． 23．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为． (2)． 【分析】（1）将和两点代入二次函数，求得和；从而得出抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标； （2）令，解得，，得出此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值时，自变量的取值范围． 【详解】（1）由二次函数的图象经过和两点， 得， 解这个方程组，得 ， 抛物线的解析式为， 由于， 则抛物线的顶点坐标为． （2）令，得． 解这个方程，得，． 此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为． 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大． 24．(1) (2)当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．确定变量，建立函数模型，注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，将点代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将分别代入，得： ， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解： 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，为4800元． 答：当销售单价定为100元时，该水果店每周的利润最大，最大利润是4800元． 25．(1)2，3.6 (2) (3)明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【分析】（1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为 ； （3）略． 26．(1) (2)当点P运动到时面积最大，最大面积是 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，中心对称等知识点． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，设，则，，最后根据计算即可； （3）由，得抛物线的对称轴是直线，，分三种情况分别画出图形，利用线段与线段关于某点成中心对称，则对应点连线的中点重合列方程可解得答案． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于， 在中，令得， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点P是抛物线第四象限内图象上的点， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时， ∴当点P运动到时面积最大，最大面积是； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ①若线段与线段关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵K是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； ②若线段与线段关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵T是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； 同理，当在对称轴上，点在抛物线上时或． 综上所述，落在对称轴上的点的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $