第27章 二次函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第27章二次函数基础通关单元卷，聚焦二次函数定义、图像性质、平移及实际应用，基础与能力梯度分明，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/18|定义、解析式、图像辨析|结合图像判断关系（如第4题），强化概念理解| |填空题|12/24|平移、交点距离、生活情境（秋千、喷水）|融入真实场景（17题秋千最低点），数据表格分析（第13题近似解）| |解答题|8/58|解析式求解、面积计算、运动建模（滑雪）|综合应用（26题滑雪距离函数），体现模型意识与运算能力，符合核心素养中数学思维与语言要求|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D A B B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7． 8． 9． 10． 11． 12．4 13． 14．或 15．5 16． 17．/ 18．不能 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得，…………………..1分 解得，……………………..…………………..…………………..……………1分 函数解析式解析式为；……………………………………………1分 （2）解：令，则， 得，，……………………………………2分 函数图像与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图像与y轴的交点坐标为．……………………2分 20． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴，………………………………………………………………1分 ∴抛物线，…………………………1分 ∴；…………………………………………………………1分 （2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，，……2分 ∴在抛物线上．……………………………………………2分 21． 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，，……………………………………2分 ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：．……1分 （2）解：由（1）知， ， ∴当时，种植菊花的面积最大，最大面积为，…………………………2分 函数图象如下图：   ………………………………………………………………2分 22． 【详解】（1）解：把，代入得： ，………………………………………………1分 解得；……………………………………………………1分 二次函数解析式为；……………………………1分 （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴，…………………………………………1分 即或， 解得：或，……………………………………2分 ∴或．………………………………………1分 23． 【详解】（1）解：∵，点B在x轴的负半轴， ∴点B的坐标为，点D的横坐标为1，…………………………1分 ∴， 解得，………………………………………………………………2分 即二次函数的表达式为；…………………………………1分 （2）解：点D坐标为，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，……………………………………………………1分 解得， ∴点C的坐标为．…………………………………………………2分 24． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为，…………………………2分 把代入直线中， 即，……………………………………1分 解得：，…………………………………………2分 直线MN的解析式为：．…………………2分 25．【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，；……………………………………3分 （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：；…………………………………………………1分 （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或．……………………………………………1分 （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或．…………………………………………2分 26． 【详解】（1）图象如下：由图象得该函数为二次函数，设， 把代入得：， 解得：， ；…………………………………………………………3分 （2）当时，， 解得：或不合题意，舍去， 答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟；…………………………3分 （3）当时， 解得：或不合题意，舍去， ∵， 小游能追上小龙，此时小游的滑雪时间为……………………3分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（2025九年级上·全国·专题练习）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2 【答案】D 【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2． 故选：D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性．通过表格确定二次函数的对称轴，是解题的关键．根据表格可知，和的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到表格中与关于对称轴对称的对应的函数值，即为所求． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为：， ∴与的函数值相等， 即：当时，； 故选：B． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如果是二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先确定原二次函数的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标． 【详解】解：原二次函数的顶点坐标为． 根据平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为． 所以新抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解． 【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先分别计算出自变量为，3时的函数值，然后比较函数值得大小． 【详解】解：把、分别代入得 ，， 所以． 故答案是：． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，理解题意得，故，即可列式得出A、B两点之间的距离． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴令，则 解得： 即A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 13．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解：_________．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系．根据在与之间可得方程有一个解的取值范围为，由此即可得． 【详解】解：由表可知，在与之间， 方程有一个解的取值范围为， ， 故答案为：． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为_________． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m． 【答案】/ 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 根据题意，运用待定系数法，建立适当的平面直角坐标系，求得函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系， 由题意可得，， 设函数解析式为 把、、三点分别代入得： 解得． ． 当时，米． 故答案为：． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶________碰到水柱．（填“能”或“不能”）        【答案】不能 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 根据顶点，得出抛物线的表达式，令，求得的值，与比较即可求解． 【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系， 则抛物线的解析式为， 令，则， 故她的头顶不能碰到水柱． 故答案为：不能． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 【答案】(1) (2)函数图像与x轴交点坐标为，，与y轴的交点坐标为 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入求出，即得答案； （2）令，得，求解方程得，，即得函数图像与x轴交点坐标，令，则，图像与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为； （2）解：令，则， 得，， 函数图像与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图像与y轴的交点坐标为． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线过点，顶点为．抛物线． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得解； （2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∴； （2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在抛物线上． 21．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花．    (1)求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． (2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）．    【答案】(1)；和； (2)当时，种植菊花的面积最大，最大面积为；图见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据题意可得场地的宽度为：，从而列出，化简即可得到函数关系式，令当，即可得到交点坐标；从而得到自变量x的取值范围． （2）将一般式转化成顶点式，利用二次函数的性质可得当时，种植菊花的面积最大，最大面积为，再利用三点画图法即可得到函数图象． 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：． （2）解：由（1）知， ， ∴当时，种植菊花的面积最大，最大面积为， 函数图象如下图：    22．（2025九年级上·全国·专题练习） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A，． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)点D坐标为，求点C的坐标．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据，点B在x轴的负半轴，可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，然后代入函数解析式，即可得到b、c的值，从而可以写出二次函数的表达式； （2）根据点D坐标为，．可以得到点A和点B的坐标，从而可以得到c与n的关系，然后即可写出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵，点B在x轴的负半轴， ∴点B的坐标为，点D的横坐标为1， ∴， 解得， 即二次函数的表达式为； （2）解：点D坐标为，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 解得， ∴点C的坐标为． 24．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 【答案】(1)；， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用的图象过点，，结合二次函数图象的对称性即可求出抛物线的对称轴，方程的解即为与直线的交点的横坐标，即可求解； （2）抛物线在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，利用对称性求出点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，利用函数增减性结合图象即可求解； （3）先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论； （4）先求出和对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，； （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或． 26．（2025九年级上·全国·专题练习）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)该函数为二次函数，； (2)小龙滑完整个赛道需要耗时10秒 (3)能，此时小游的滑雪时间为 【分析】本题考查了描点法画函数图象，二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据图象判断函数类型，再根据待定系数法求解； （2）根据列方程求解； （3）根据题意列方程求解． 【详解】（1）图象如下：由图象得该函数为二次函数，设， 把代入得：， 解得：， ； （2）当时，， 解得：或不合题意，舍去， 答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟； （3）当时， 解得：或不合题意，舍去， ∵， 小游能追上小龙，此时小游的滑雪时间为 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 2．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 3．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2 4．如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 5．二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 6．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如果是二次函数，则的值为_____． 8．二次函数的常数项为_______． 9．将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为_______． 10．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是___________． 11．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为________． 12．已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为_______． 13．根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解：_________．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 14．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为_________． 16．如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 17．如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m． 18．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶________碰到水柱．（填“能”或“不能”）        三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 20．已知抛物线过点，顶点为．抛物线． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 21．如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花． (1)求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． (2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）．    22． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 23．如图，已知抛物线的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A，． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)点D坐标为，求点C的坐标．（用含n的代数式表示） 24．如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 25．已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 26．某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 2．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 3．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2 4．如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 5．二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 6．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如果是二次函数，则的值为_____． 8．二次函数的常数项为_______． 9．将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为_______． 10．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是___________． 11．已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为________． 12．已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为_______． 13．根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解：_________．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 14．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为_________． 16．如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 17．如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m． 第16题图 第17题图 18．玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶________碰到水柱．（填“能”或“不能”）        三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 20．已知抛物线过点，顶点为．抛物线． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 21．如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花． (1)求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． (2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）．    22． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 23．如图，已知抛物线的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A，． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)点D坐标为，求点C的坐标．（用含n的代数式表示） 24．如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 25．已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 26．某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $