第27章 二次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第27章二次函数单元能力提升卷，融合中考真题情境与跨学科探究，适配单元复习，全面考查二次函数核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/18|函数与x轴交点、方程解范围、图像与系数关系|结合2026河南三模等真题，考查抽象能力| |填空题|12/24|抛物线顶点、最值、实际应用（爆米花加工）|设置“阶方点”新定义，发展创新意识| |解答题|8/58|图像法解方程、拱桥/网球运动模型、心形叶片探究|跨学科综合（物理运动、生物叶片），体现模型观念与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 2．根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】将方程的解理解为函数y＝当y＝0时与x轴交点的横坐标，再解答即可． 【详解】解：∵对于函数y＝， 当x＝1.1时y＜0， 当x＝1.2时y＞0， 可见，x取1.1与1.2之间的某一值时，y＝0， 则方程的一个解的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，熟悉二次函数图象与一元二次方程的关系是解题的关键． 3．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 4．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 5．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 6．已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．如果抛物线经过点，那么的值为______． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式． 将点代入抛物线解析式，建立关于的方程并求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为：． 8．抛物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后得出b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由函数可知对称轴为直线， ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得：， ∴原函数的解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为； 故答案为． 9．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线有最高点需满足二次项系数小于零，即开口向下． 【详解】解：抛物线 有最高点， 二次项系数， 解得， 故答案为：． 10．二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数时，，由此可得二次函数的对称轴为直线，则对应的的值为，故或，由此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时， 即对应的的值为， ∴在一元二次方程中，或 解得，， 故答案为：， 11．已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______． 【答案】2 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长、一元二次方程的根与系数的关系、配方法的应用 【分析】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，则．由根与系数的关系把x₁+x₂，x₁x₂用含m的代数式表示出来，再代入上式计算，再利用配方法求出AB的最小值即可． 【详解】设A(x₁，0)，B(x₂，0)， 由根与系数的关系得 x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-2， 则 = = = 当m=2时，(m-2) ²=0 此时有最小值为， ∴AB的长的最小值为2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，以及用配方法求二次三项式的最小值．综合运用以上知识是解题的关键． 12．函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 【答案】，， 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题．函数与坐标轴有个交点，需分函数为一次函数和二次函数讨论；一次函数时需不经过原点；二次函数时需满足判别式为零且不与原点重合，或常数项为零（经过原点）且与轴有另一个交点 【详解】解：函数与坐标轴有个交点，分情况讨论： （1）当时，，函数为一次函数，与轴交于点，与轴交于点，有个交点，符合 （2）当时，函数为二次函数，与轴交于点 判别式 ①若，即，，此时与轴有一个交点，与轴交于点，两点不同，有个交点，符合 ②若常数项，即，函数为，令，得或，与轴交于点和，与轴交于点，共有个，符合 其他情况如且常数项不为，则有个交点，不符合 故的值为，， 故答案为：，，． 13．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 15．如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 16．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 【答案】1 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=a（x-h）²的图象和性质、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 17．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是_________． 【答案】方案3 【知识点】 圆的面积、图形问题(实际问题与二次函数)、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查同周长的几何图形的面积问题，解题的关键是分别求出三个方案中面积的最大值．分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可． 【详解】解：方案1，设米，则米， 则菜园的面积， 当时，菜园面积取最大值，最大面积为8平方米； 方案2，作交于点D， 则菜园的面积， 当时，菜园面积取最大值，最大面积平方米； 方案3，半圆的半径， 此时菜园面积平方米平方米， 故答案为：方案3． 18．函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．若一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则__________；若二次函数图像的“阶方点”一定存在，则的取值范围是__________． 【答案】 或 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、一次函数与几何综合 【分析】根据新定义“阶方点”可知满足条件的点在且的正方形区域（含边界）内，先确定一次函数过定点，结合“阶方点”只有一个的条件，得到直线过正方形右顶点，计算得的值；根据二次函数的单调性得到其在上的最值，根据存在交点的条件列不等式求解得的范围． 【详解】解：由“阶方点”定义可得，满足条件的点需满足，． 整理一次函数得，可知该一次函数恒过定点， ∵“阶方点”对应正方形为， ∴直线与该正方形只有一个交点，因此直线必过正方形的右顶点或． 将代入解析式得： 解得：； 将代入解析式得： 解得． 二次函数开口向下，对称轴为直线，，在上，随的增大而增大， ∴当时，取最大值， 当时，取最小值． 二次函数一定存在“阶方点”，即与有公共部分，需满足： 代入得： ， 解不等式①得： 整理不等式②得， 因式分解得， ∵， ∴， ∴，解得：． 综上，n的取值范围为． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 20．关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见详解 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做二次函数”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 21．设抛物线，其中为常数． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象的平移以及配方的应用，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质． （）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （）求出平移后的抛物线的顶点的纵坐标，再配方，求出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）将抛物线向上平移个单位长度后， 所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； ∴抛物线的顶点的纵坐标为： ∵二次项系数， ∴这个二次函数的图象开口向下，顶点处取得最大值， 当时，纵坐标的最大值为． 22．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． (1)请直接写出D点的坐标． (2)求二次函数的解析式． (3)根据图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）由抛物线的对称性来求点D的坐标； （2）设二次函数的解析式为（，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （3）由图象直接写出答案． 【详解】（1）解：∵如图，二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴对称轴是直线． 又点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴； （2）解：设二次函数的解析式为（，a、b、c常数）， 根据题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为； （3）解：如图，二次函数值大于一次函数值的x的取值范围是． 23．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 24．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为，，抛物线经过点，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； (3)若点是所在直线下方抛物线上的一个动点过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为．求与之间的函数关系式，并求的最大值． 【答案】(1)； (2)点和点在该抛物线上，理由见解析； (3)，最大值． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了求函数解析式，二次函数的最值，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）利用菱形的性质，可以得到点的坐标，然后再进行判断即可； （）利用待定系数求出的解析式，设出的坐标，纵坐标作差，就可以得到与的函数关系式，它们的关系是二次函数，然后通过二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：∵顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：点和点在该抛物线上，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 将点代入中，， ∴点在抛物线上， 将点代入中，， ∴点在抛物线上； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，则， ∴， ∴当时，有最大值． 26．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点坐标公式列方程求解即可； （2）先求出，得到，求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线图的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，则 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， 解得，或， ∴, ∴ ∴， ∴ （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得，， ∴ 设M点坐标为，则， ∵， ∴当时，的最大值为2． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（21-22九年级上·河南洛阳·阶段检测）根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·新疆哈密·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 5．（2022·宁夏银川·二模）如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A．B．C．D． 6．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如果抛物线经过点，那么的值为______． 8．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）抛物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为________． 9．（25-26八年级下·北京·期末）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期末）二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 11．（21-22九年级上·广西梧州·期末）已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 13．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 14．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 15．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 16．（21-22九年级·上海黄浦·自主招生）对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 17．（2024·山东潍坊·二模）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是_________． 18．（2026·四川成都·模拟预测）函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．若一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则__________；若二次函数图像的“阶方点”一定存在，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 20．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 21．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）设抛物线，其中为常数． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标的最大值． 22．（24-25九年级上·全国·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． (1)请直接写出D点的坐标． (2)求二次函数的解析式． (3)根据图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的x的取值范围． 23．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 24．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 25．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为，，抛物线经过点，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； (3)若点是所在直线下方抛物线上的一个动点过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为．求与之间的函数关系式，并求的最大值． 26．（2025·安徽·三模）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值.    试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B C D A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．/ 8． 9． 10． 11．2 12．，， 13．3.75 14．6 15． 16．1 17．方案3 18． 或 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： …………………………………….2分 由图可知，交点坐标为，，……….2分 所以一元二次方程的近似根为，． ……………………………………3分 20．解：由题意得：，……………………………………4分 ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数，……….2分 所以乙的说法正确．…………………………………….1分 21． （1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为；…………………………………….2分 （2）将抛物线向上平移个单位长度后， 所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； …………………………………….2分 ∴抛物线的顶点的纵坐标为： …………………………………….2分 ∵二次项系数， ∴这个二次函数的图象开口向下，顶点处取得最大值， 当时，纵坐标的最大值为．…………………………………….1分 22．（1）解：∵如图，二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴对称轴是直线．…………………………………….1分 又点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴；…………………………………….2分 （2）解：设二次函数的解析式为（，a、b、c常数）， 根据题意得， 解得，…………………………………….2分 所以二次函数的解析式为；…………………………………….1分 （3）解：如图，二次函数值大于一次函数值的x的取值范围是．………….1分 23．（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ．………………………………………………………………….2分 ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ．………………………………………………………………2分 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ．………………………………………………………………………1分 （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为．……………………………………………………………2分 答：灯带长度的最小值是． 24．（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为；………………………………2分 （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，，………………………………1分 此时， 解得：，……………………………………………………………………1分 ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴，………………………………………………2分 ∵时，， ∴， 解得：，………………………………………………………………1分 故答案为：． 25．（1）解：∵顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为；………………………………………2分 （2）解：点和点在该抛物线上，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 将点代入中，， ∴点在抛物线上， 将点代入中，， ∴点在抛物线上；………………………………………………………………2分 （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，则， ∴， ∴当时，有最大值．………………………………………………………………3分 26．解：（1）∵抛物线图的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为………………………………………………………………3分 （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，则 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， 解得，或， ∴, ∴ ∴， ∴………………………………………………………………………3分 （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得，， ∴ 设M点坐标为，则， ∵， ∴当时，的最大值为2．………………………………………………………………3分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第27章 二次函数·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（21-22九年级上·河南洛阳·阶段检测）根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·新疆哈密·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 5．（2022·宁夏银川·二模）如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A．B．C．D． 6．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如果抛物线经过点，那么的值为______． 8．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）抛物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为________． 9．（25-26八年级下·北京·期末）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_____． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期末）二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 11．（21-22九年级上·广西梧州·期末）已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 13．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 14．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 15．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 16．（21-22九年级·上海黄浦·自主招生）对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 17．（2024·山东潍坊·二模）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是_________． 18．（2026·四川成都·模拟预测）函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．若一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则__________；若二次函数图像的“阶方点”一定存在，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共8小题，第19~25每小题7分，第26题9分，共58分） 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 20．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 21．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）设抛物线，其中为常数． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标的最大值． 22．（24-25九年级上·全国·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． (1)请直接写出D点的坐标． (2)求二次函数的解析式． (3)根据图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的x的取值范围． 23．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 24．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 25．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为，，抛物线经过点，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； (3)若点是所在直线下方抛物线上的一个动点过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为．求与之间的函数关系式，并求的最大值． 26．（2025·安徽·三模）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值. 试卷第8页，共8页 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $