精品解析：广东佛山市第三中学2026-2027学年第一学期素养展示 九年级 数学

2026-2027学年第一学期素养展示 九年级数学 说明： 1．展示内容共24题，共4页，满分120分，时间120分钟． 2．本问卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在问卷上，解答题写上必要的解题步骤． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 2. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地，若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门口（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（ ） A. 保持不变 B. 增加了 C. 增加了 D. 减少了 10. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若线段a，b，c，d依次成比例线段，且，，，则d为_____cm． 12. 方程的解是________________． 13. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 14. 某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为______． 15. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 16. 如图，正方形的边长为，点，分别是，边上的动点，且．则的最小值为_____． 三、解答题（一）：第17题6分，第18题7分，第19题6分，共19分． 17. 解方程：． 18. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值为 ； （2）若线段a、b、c满足，求c的值． 19. 在和中，，，求证：． 四、解答题（二）：第20题9分，第21题9分，第22题10分，共28分． 20. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程：（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 22. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第23题12分，第24题13分，共25分． 23. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 24. 在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 （1）如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期素养展示 九年级数学 说明： 1．展示内容共24题，共4页，满分120分，时间120分钟． 2．本问卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在问卷上，解答题写上必要的解题步骤． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（ ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 2. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 3. 如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该方案错误． 选项B：两组对边分别相等只能判定这个四边形是平行四边形，不能直接得出它是矩形，该方案错误． 选项C：仅对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形的对角线也相等，该方案错误． 选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量出四边形有三个角为直角，就可以判定它是矩形，该方案正确． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 6. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的坐标利用两点间距离公式求出的长，再根据菱形的性质得出的长及与轴平行，进而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是菱形， ，，  点在轴上，  轴，  点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 又点在点的右侧，  点的横坐标为，  点的坐标是． 8. 为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地，若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边及中间隔断由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门口（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为，则平行于墙的边长为， 由题意，. 9. 小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（ ） A. 保持不变 B. 增加了 C. 增加了 D. 减少了 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质及判定为等边三角形，求出木条长度；再根据正方形性质及勾股定理求出图2中对角线的长，最后计算差值即可． 【详解】解：图1中， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 图2中， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴相对于图1，图2中对角线的长度增加了． 10. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．先由三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】解：若四边形为菱形，则四边形需满足的条件是，理由如下： ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， ，， 当时， ， 四边形是菱形， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若线段a，b，c，d依次成比例线段，且，，，则d为_____cm． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义．根据成比例线段的定义，可得比例关系，进而利用比例性质求解． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：15． 12. 方程的解是________________． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：移项得 ， 提取公因式得 ， ∴ 或 ， 解得 ，. 13. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 14. 某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率．设平均增长率为x，则可以列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该商品经过两次涨价后的价格=该商品的原价这两次涨价的平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 15. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为，点，分别是，边上的动点，且．则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，通过证明可得， 作点关于的对称点，连接，，，则，从而得到， 当、、在同一直线时，最小， 利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，，，则， ∴， ∴当、、在同一直线时，最小， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为． 三、解答题（一）：第17题6分，第18题7分，第19题6分，共19分． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ∴， ∴，． 18. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值为 ； （2）若线段a、b、c满足，求c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用比例的性质进行求解即可； （2）设比例系数为，用表示、、，结合三线段长度和求解，进而得的值.  【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴；  【小问2详解】 解：设（），则，，， ∵， ∴，解得， ∴. 19. 在和中，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键． 由，可得，由，可得，进而结论得证． 【详解】略 四、解答题（二）：第20题9分，第21题9分，第22题10分，共28分． 20. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程：（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根； （2）若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中， ，，， 判别式 ， ∵ 对任意实数，，即， ∴ 不论为何值，方程总有两个实数根； （2）的周长为7或8． 【解析】 【分析】（1）通过判别式恒非负证明方程总有两个实数根； （2）求出方程的两根，结合等腰三角形性质分类讨论，验证三边关系后求周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对 因式分解， 得， 解得，， ∵ 等腰中，，另外两边长为方程的两根， ∴ 分两种情况讨论： ①当3为腰长时，， 解得， 此时三边长为3，3，2，满足三角形三边关系， 周长为； ② 当3为底边长时，， 解得， 此时三边长为3，2，2，满足三角形三边关系， 周长为； 综上所述，的周长为7或8． 22. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （2）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第23题12分，第24题13分，共25分． 23. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）200，2000 （2）该玩偶的售价为44元 （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【小问1详解】 解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． 【小问2详解】 解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． 【小问3详解】 解：略． 24. 在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 （1）如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】（1） （2）①； ②点Q是四边形的等垂点； 证明：延长，相交于点E， ， ，， 点Q是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 点Q是四边形的等垂点； （3）或 【解析】 【分析】（1）由可等垂四边形的定义可证明，即可进一步得到，从而可证明，同理可得，即可得出结论； （2）①先证明，可得，，即可得出结论； ②延长，相交于点E，先证明，得到，，可进一步证明，再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论； （3）当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解； 当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解． 【小问1详解】 解：； 理由如下： 矩形是可等垂四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ； 【小问2详解】 解：①； 理由如下： 四边形是可等垂四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②略 【小问3详解】 解：或．理由如下： 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E， 设， 四边形是可等垂四边形， 且， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，； 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F， 设， ， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ，， ， 解得， ， 在中，； 【点睛】在第（2）小问中，利用中点倍长添加辅助线，构造全等三角形是常用的解题方法；第三小问中，作出符合条件的图形，是解这类图形变换问题的关键，同时还要注意分类解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $