3.3.1 抛物线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.3.1 抛物线及其标准方程 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 数学抽象 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 逻辑推理 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 在椭圆和双曲线的学习中，我们了解了它们的第二定义.即 如果动点M到定点F的距离与到定直线l(不过点F)的距离的比为k， 当0<k<1时， 当 k>1 时， 思考： 当 k=1时，点M的轨迹会是什么形状？ 下面我们就来探究这个问题. 点M的轨迹为椭圆； 点M的轨迹为双曲线. 探索新知 思考：阅读教材130页“探究”，观察点M的运动，思考下列问题： ③为什么要求直线l不经过点F？ ②线段MF和线段HM的值有什么关系，几何意义分别是什么？ ①它的轨迹是什么形状? 当l过F时轨迹为过F的一条直线 与二次函数的图像相似 |MF|=|MH| 探索新知 平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. l F M H 焦点 准线 定义 抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”: “一动”：一个动点,设为M; “二定”：一个定点F——焦点,和一条不经过定点的定直线l——准线; 一相等：|MF|=d(d为M到准线l的距离). 小试牛刀 1、判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线的焦点到准线的距离是 .( ) √ （2）抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( ) √ （3）抛物线的焦点可以在准线上.( ) × [解析] 抛物线的焦点不可能在准线上. （4）平面内与定点和一条定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线. ( ) × [解析] 只有当点不在直线 上时，满足条件的点的轨迹才是抛物线. 探索新知 问题：类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，使得出抛物线的方程更简洁？ (方案二) (方案三) 设 (方案一) 探索新知 建 设 限 代 化 以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K. 两边平方,整理得 以线段FK的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系 xOy. 由抛物线定义知：|MF|=d，即 l x K y o M F (x,y) d 探索新知 我们把方程叫做抛物线的标准方程. 它表示：焦点在轴的正半轴上，焦点是， 准线是的抛物线. 的几何意义：焦点到准线的距离 探索新知 思考:抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 l O F P y x l F P O y x l O F P y x l F P O y x “三看”一次项： 看焦点位置 (变量+系数正负) 看对称轴(变量) 看开口方向(系数正负) 求焦点坐标(1/4系数) 求准线方程(相反数) 思考：抛物线标准方程 有何特征？ 等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项. 探索新知 思考： 探索新知 2、判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线的方程都是二次函数.( ) × [解析] 抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标准方 程为,对任意一个, 的值不唯一,所以不是二 次函数. （2）抛物线的原点到准线的距离是 .( ) × [解析] 原点到准线的距离是 . （3）抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( ) √ （4）方程 是抛物线的标准方程.( ) × 探索新知 例1:（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程. 解：（1）因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上， 所以它的焦点坐标是 准线方程是 （2）若抛物线焦点在x轴上,设它的标准方程为 y2=2px, 故此时所求标准方程为y2=- x. 由于点(-4,-2)在抛物线上故有(-2)2=2p(-4)解得 探索新知 例1:（2）已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程. 故此时所求标准方程为x2=-8y; 综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-8y. 若抛物线的焦点在y轴上,设它的标准方程为x2=2py, 由于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-4)2=2p(-2),解得p=-4, 探索新知 归纳总结 求抛物线的标准方程一般有两种形式： （1）定义法，直接利用定义求解； （2）待定系数法 ①已知抛物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，求出p 值; ②焦点位置不确定，则分情况讨论 焦点在 x 轴上,设 y2＝ax (a ≠ 0) ， 焦点在 y 轴上,设 x2＝ay (a ≠ 0)． 探索新知 练习1:根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是； (2)准线方程是； (3)焦点到准线的距离是 或 探索新知 例2:一种卫星接收天线的轴截面如图所示．卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径为4.8m，深度为1m，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 解：如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.则 A (1, 2.4)． 所以，所求抛物线为 y2 = 5.76x，焦点坐标为 (1.44, 0)． 将 A (1, 2.4) 代入得 2.42 = 2p×1，解得 p = 2.88． 设抛物线的标准方程是 y2 = 2px (p>0)． 探索新知 归纳总结 (1)建:建立适当的坐标系. (2)设:设出合适的抛物线标准方程. (3)算:通过计算求出抛物线标准方程. (4)求:求出所要求出的量. (5)还:还原到实际问题中,从而解决实际问题. 求解抛物线的实际应用问题的基本步骤: 探索新知 变式2、南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图①所示，忽略杯盏的厚度，这 只杯盏的轴截面如图②所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛 满茶水时茶水的深度为 ，则该抛物线的焦点到准线的距离为___ . [解析] 如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对 称轴为 轴，建立平面直角坐标系，依题意可得 的坐标为 . 设抛物线的标准方程为，则，解得 ， 故该抛物线的焦点到准线的距离为 . 课堂小结 根据本节所学，回答下列问题： 1.抛物线的几何特征是什么？ 2.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 3.求解抛物线实际应用题的步骤？ 课堂检测 C 课堂检测 2.准线方程为 的抛物线的标准方程是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，设抛物线方程为 ，由其准线方程 为，得，则，所以抛物线的方程为 .故选D. √ 课堂检测 3.［2025·镇海中学高二期中］若点到直线和它到点 的 距离相等，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为点到直线和它到点的距离相等，所以点 的轨迹是以点为焦点，直线 为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得，故点 的轨迹 方程为 .故选D. √ 课后作业 课本第133页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： Lavf57.83.100 $