第3章 08-3.3.1 抛物线及其标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，通过易错题辨析定义（如点在直线上时轨迹为直线）引入，结合圆与抛物线内切、桥梁隧道等实际问题，搭建从概念到应用的学习支架，衔接圆锥曲线知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如黄河三峡大桥悬索、航天器变轨轨迹），通过解题模板（定义转化距离）培养数学思维，分层题型（基础与提升）助力学生深化理解，教师可借此实现概念教学与实际应用的高效结合。

第三章 圆锥曲线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　抛物线的定义及应用 1.[易错题]在平面直角坐标系中,与点(1,2)和直线x+y-3=0的距离相等的点的轨迹是( ) A.直线　    B.抛物线　    C.圆　    D.双曲线     A     解析　因为点(1,2)在直线x+y-3=0上,所以所求点的轨迹是过点(1,2)且与直线x+y-3=0垂直的直线. 易错警示　到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹不一定是抛物线:①F∉l时,为抛物线;②F∈l 时,为直线. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河北沧州部分学校月考]在平面直角坐标系Oxy中,动点P(x,y)到直线x=-1的距离比它到定点(3,0) 的距离小2,则点P的轨迹方程为 ( ) A.y2=6x　    B.y2=12x　     C.y2=-6x　    D.y2=-12x     B     解析　∵动点P(x,y)到直线x=-1的距离比它到定点(3,0)的距离小2,∴动点P在直线x=-1的右侧, (由点(3,0)到直线x=-1的距离为4知,若动点P在直线x=-1的左侧,则动点P到直线x=-1的距离比它到定点 (3,0)的距离至少小4) 因此动点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3,0)的距离相等, 由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(3,0)为焦点,直线x=-3为准线的抛物线, 所以p=6,即点P的轨迹方程为y2=12x. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南南阳六校期中联考]在平面直角坐标系Oxy中,已知动圆M与圆x2+y2-2x=0内切,且与直线x=-2 相切,则动圆圆心M的轨迹方程为     ( ) A.y2=12x　    B.y2=8x　    C.y2=6x　    D.y2=4x     D     解析    设圆M的半径为r,易知圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,记F(1,0). 因为圆M与圆F内切,且圆M与直线x=-2相切,所以|MF|=r-1,且圆心M到直线x=-2的距离为r,故M到直线x= -1的距离为r-1, 即圆心M到点F的距离与其到直线x=-1的距离相等, 由抛物线的定义,可知圆心M的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025山西太原五中月考]已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(4,y0)到焦点的距离是6,则其准线方程为  ( ) A.x=-2　    B.x=2　    C.y=-2　    D.y=2     A     解析　由题可得4+ =6,解得p=4,所以抛物线的准线方程为x=- =-2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026重庆一中月考]已知点P(x,y)的坐标满足 = ,Q(2,0),则|PQ|的最小值为( ) A. 　    B. 　    C.2　    D.2      B     解析　易知 表示点P(x,y)到点 的距离, 表示点P(x,y)到直线x=- 的距离,由  = ,可知点P(x,y)到点 的距离等于点P(x,y)到直线x=- 的距离,由抛物线的定义知, 点P的轨迹为抛物线,且该抛物线的方程为y2=2x, 设P ,则|PQ|= = = ≥ ,当且仅当t=± 时,等号成立,即|PQ|的最 小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026吉林延边第二中学期中]在平面内,到定点(2,0)的距离比到y轴的距离大2的动点M的轨迹方程是 ___________________________.     y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)     解析　设M(x,y). 当x≥0时,由题意知点M到点(2,0)的距离等于点M到直线x=-2的距离,所以点M的轨迹是以(2,0)为焦点, 直线x=-2为准线,原点为顶点,开口向右的抛物线,则 =2,即p=4,所以点M的轨迹方程为y2=8x(x≥0); 当x<0时,因为点(2,0)到y轴的距离为2,所以点M在x轴的负半轴上,即点M的轨迹方程为y=0(x<0). 综上,点M的轨迹方程为y2=8x(x≥0)或y=0(x<0). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026北京丰台期中]已知点M(1,4)不在抛物线C:y2=2px(p>0)上,抛物线C的焦点为F,若对于抛物线上 的一动点P,|PM|+|PF|的最小值为4,则p的值等于_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　分两种情况:①如图1,若点M在抛物线的开口外部,即2p×1<42,故0<p<8,则当M,P,F三点共线,且P 在MF上时,|PM|+|PF|取得最小值,且最小值为|MF|, 因为F ,M(1,4),所以|MF|= =4,所以p=2,符合题意;        ②如图2,若点M在抛物线的开口内部,即2p×1>42,故p>8, 过点P作准线x=- 的垂线,垂足为D, 第1讲　描述运动的基本概念 则由抛物线的定义可知,|PF|=|PD|, 所以当M,P,D三点共线时,|PM|+|PD|=|PM|+|PF|取得最小值,且最小值为|MD|,则1+ =4,解得p=6,不符合 题意.故p的值等于2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　抛物线的标准方程及应用 8.[2026四川绵阳中学期中]若抛物线y=mx2(m≠0)的焦点到准线的距离为 ,则m= ( ) A. 　    B. 或- 　    C. 　    D. 或-      D     解析　由题得,抛物线的标准方程为x2= y,则 = ,可得m=± . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河北沧衡名校联盟期中]已知点 在抛物线y=ax2上,则该抛物线的准线方程为( ) A.y=- 　    B.x=- 　    C.y=-2　    D.x=-2     C     解析　因为点 在抛物线y=ax2上,所以 =4a,解得a= ,则该抛物线的标准方程为x2=8y,所以该抛物 线的准线方程为y=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西景德镇乐平第一中学期中]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 -y2=1的右焦点重合, 则抛物线的准线方程为 ( ) A.x=-5　    B.x=-4　    C.x=- 　    D.x=-2     D     解析　易知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为 , 双曲线 -y2=1的右焦点为(2,0), 则 p=2,故p=4,即抛物线的方程为y2=8x,则其准线方程为x=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[教材习题改编][2026河南南阳期中]已知某抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线x -2y-2=0上,则该抛物线的标准方程为 ( ) A.y2=8x　    B.x2=-4y C.y2=-8x或x2=4y　    D.y2=8x或x2=-4y     D     解析　直线x-2y-2=0与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,-1), 当抛物线的焦点在x轴上时,可得焦点坐标为(2,0),此时抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在y 轴上时,可得焦点坐标为(0,-1),此时抛物线的标准方程为x2=-4y. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026山东菏泽鄄城第一中学月考]已知圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px的焦点F重合,且两曲线 在第一象限内的交点为A,则点A的坐标为_____________.     (4,4)     解析　由题意得圆(x-1)2+y2=25的圆心为F(1,0),故 =1,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x. 由 可得x2+2x-24=0, 解得x=4或x=-6(舍). 对于y2=4x,当x=4时,y=±4,又A在第一象限内,故A(4,4). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　抛物线的实际应用 13.[2026陕西咸阳实验中学段考]济新高速黄河三峡大桥是世界上首座独塔地锚式回转缆悬索桥.如图, 大桥主跨OA的长约为500米,主塔AB的高约为100米,悬索OB的形状是以O为顶点且开口向上的抛物线 C的一部分,若F为抛物线C的焦点,则主塔端点B到焦点F的距离约为 ( )   A.1 350米　    B.758米　    C.725米　    D.558米     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以O为原点,直线OA为x轴,直线OF为y轴,建立平面直角坐标系,连接BF,则A(500,0),B(500, 100), 设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则5002=2p×100,解得p=1 250, 因此抛物线C的焦点为F(0,625),准线方程为y=-625, 利用抛物线的定义得|BF|=100+625=725,即主塔端点B到焦点F的距离约为725米.   第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛 求解与抛物线有关的实际应用题的步骤   第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026湖南长沙第六中学期中]古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥,并将所截得 的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中,AB为底面圆的一条直径,M为PB的中点,某同 学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高和底面半径均为2, 即|PO|=|OA|=2,则该抛物线的焦点到准线的距离为( )   A.2　    B. 　    C.2 　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接OM,因为M是PB的中点,O是AB的中点,所以AP∥OM,|OM|= |AP|=  = , 由截圆锥的平面平行于母线PA,且过母线PB的中点M,可知O也在截面上, 根据对称性可知抛物线的对称轴为直线OM,则焦点在直线OM上,如图,设抛物线与圆锥底面的一个交 点为E,   以M为原点,直线MO为x轴,在平面OEM内过M点且垂直于MO的直线为y轴,建立平面直角坐标系, 则xE=|OM|= ,yE=|OE|=|OA|=2,即E( ,2). 第1讲　描述运动的基本概念 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则4=2p× ,解得p= , 则该抛物线的焦点 到准线x=- 的距离为p,即为 . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026江苏徐州第三十七中学期中]某数学爱好者在上海博物馆参观时,对一件清朝康熙年代的青花 龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示,该瓷碗水平放置于桌面上,底座高1 cm,碗口直径为15 cm,碗深7.5 cm. 若将碗身(不含底座)的轴截面轮廓近似看作抛物线,碗内有一根长度为10 cm的木棒通过该抛物线的焦 点,且两端紧贴碗的内壁,则木棒的中点离桌面的距离为_________cm.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　设抛物线焦点为F,木棒为AB,其中点为N,根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,   设该抛物线的方程为x2=2py(p>0),则其焦点为F , 由碗口直径为15 cm,碗深7.5 cm,可知抛物线过点(7.5,7.5), 所以7.52=2p×7.5,解得p= ,所以该抛物线的方程为x2= y, 设A(x1,y1),B(x2,y2),过N作NH⊥x轴,垂足为H, 第1讲　描述运动的基本概念 由抛物线的定义可得y1+ +y2+ =10,解得y1+y2= , 所以|NH|= = ,所以木棒的中点离桌面的距离为 +1= (cm). 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025吉林白山期中]某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图,航天器按顺时针方 向运行的轨迹方程为 + =1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为 对称轴, 为顶点的抛物线的一部分(从点C到点B).已知观测点A的坐标为(6,0),当航天器与点A间 的距离为4时,指挥中心向航天器发出变轨指令.则航天器变轨时点C的坐标为_____________;航天器 的降落点B与观测点A之间的距离为_________.       3         (6,4)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设C(x,y),y< . 由题意知,|AC|=4,即 =4①, 又 + =1②,故联立①②可解得x=6或x=10(舍),对于②式,当x=6时,y=±4,结合题意知点C的坐标为(6, 4).由题意设抛物线的方程为y=-mx2+n, 因为抛物线经过点C(6,4), , 所以 所以m= ,即抛物线的方程为y=- x2+ . 令y=0可得x=9或x=-9(舍),即B(9,0), 所以|AB|=|OB|-|OA|=3,所以航天器的降落点B与观测点A之间的距离为3. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026湖南衡阳第四中学月考]某市举办城市发展巡展活动,巡展的车队要经过一个隧道,隧道横断面 由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成,尺寸如图1所示(单位:m). (1)以隧道横断面中该段抛物线的顶点O为原点,对称轴为y轴,建立如图2所示的平面直角坐标系Oxy,求 该段抛物线A1OA所在抛物线的方程; (2)若车队空车时能通过此隧道,现车上装载一集装箱,箱宽3 m,车与集装箱的总高为4 m,此时车队能否 安全通过隧道?请说明理由.        第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题可设抛物线方程为x2=2py,由题图1知抛物线经过点A1(-3,-3), 将(-3,-3)代入x2=2py可得-6p=9,解得p=- , 故该段抛物线A1OA所在抛物线的方程为x2=-3y. (2)依题意,在抛物线A1OA上取点 ,将 代入x2=-3y,解得y=- =- , 要使装载集装箱的车队能安全通过隧道,需满足4<5+y,即y>-1, 因为y=- >-1,所以此时车队能安全通过隧道. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　抛物线及其标准方程的应用 1.[2025江苏常州期中]已知点P在抛物线M:y2=4x上,过点P作圆C:(x-2)2+y2=1的一条切线,切点为A,若点P 到M的准线的距离为5,则PA的长为 ( ) A.4　    B. 　    C.6　    D.      D     解析　易得抛物线M:y2=4x的准线方程为x=-1,不妨设点P在第一象限内,且P(x0,y0),则 =4x0,y0>0. ∵点P到M的准线的距离为5,∴x0+1=5,即x0=4,代入 =4x0,得y0=4(舍负),∴P(4,4), 易得C(2,0),则|PC|= =2 , 又|CA|=1,∴|PA|= = = ,即PA的长为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026黑龙江哈九中期中]已知直线l1:3x-4y-6=0和直线l2:y=-1,则抛物线x2=4y上一动点P到直线l1,l2的距 离之和的最小值是( ) A.1　    B.2　    C. 　    D.3     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　抛物线x2=4y的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,记F(0,1). 点F(0,1)到直线l1:3x-4y-6=0的距离d= =2. 设点P到直线l1:3x-4y-6=0的距离为d1,点P到直线l2:y=-1的距离为d2,则d2=|PF|, 所以d1+d2=d1+|PF|≥d=2, 当且仅当点P在点F到直线l1的垂线段上(即为图中点P')时,等号成立, 故动点P到直线l1,l2的距离之和的最小值是2.   第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025河北邢台质检联盟期中]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y= (x-1)与C在第一象限 内的交点为P,过点P作C的准线的垂线,垂足为M,则下列结论正确的是 ( ) A.直线l过点F　    B.直线l的倾斜角为 　     C.∠FPM= 　    D.△FPM是等边三角形     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),而0= ×(1-1),所以直线l过点F,因此A正确; 设直线l的倾斜角为α,0≤α<π, 因为直线l的斜率k=tan α= , 所以α= ,即直线l的倾斜角为 ,因此B正确; 易知PM∥x轴,则∠FPM=α= ,因此C错误; 因为点P在抛物线上,所以由抛物线的定义可知,|PF|=|PM|, 又∠FPM= ,所以△FPM是等边三角形,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026浙江杭州三校联考]已知O为坐标原点,F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,P为抛物线C上任意一点 (不与O重合),Q为PF的中点,则直线OQ的斜率的取值范围是 ( ) A.[-1,1]　    B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C. 　    D.(-∞,-2]∪[2,+∞)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题知F ,设P (x0≠0), 所以Q (x0≠0), 所以kOQ= = + , 正负号未定,要分x0>0、x0<0进行讨论. 当x0>0时, + ≥2 =1, 当且仅当 = ,即x0=p时,等号成立, 即kOQ≥1; 第1讲　描述运动的基本概念 当x0<0时, + =-  +  ≤-2 =-1, 当且仅当- =- ,即x0=-p时,等号成立,即kOQ≤-1. 综上,kOQ≥1或kOQ≤-1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025福建三明六校期中联考]如图所示,点F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆(x-1)2 +y2=16在抛物线内的部分(图中圆的实线部分)上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围 是( )   A.[8,10]　    B.(5,8)　    C.(10,12)　    D.(8,10)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.延长BA,交直线x=-1于点M,如图,   由抛物线的定义可知,|AM|=|AF|, 所以△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=|AM|+|AB|+|BF|=|BM|+4, 又因为4<|BM|<6(点拨),(当B为抛物线与圆的实线部分的交点时,|BM|=|BF|=4;当B为圆的实线部分与x轴 的交点(5,0)时,|BM|=6,而AB∥x轴总成立,故4<|BM|<6)所以8<|BM|+4<10,所以△FAB的周长的取值范围 是(8,10). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2025江苏盐城五校期中联考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过焦点F的弦,M是 线段AB的中点,过点A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点 Q,连接QF,NF,NB,NA,则下列说法正确的是 ( ) A.|MN|= |AB|　     B.FN⊥AB C.Q是线段MN的一个三等分点　     D.∠QFM=∠QMF     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设A位于第一象限,如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.   对于A,|MN|= = = |AB|,因此A正确; 对于B,由|MN|= |AB|,|AM|=|MB|= |AB|,得|MN|=|AM|, 所以∠MAN=∠MNA,又∠MNA=∠CAN,所以∠MAN=∠FAN=∠CAN,而AN为公共边,因此△ANC≌△ ANF(SAS), 所以∠ACN=∠AFN=90°,即FN⊥AB,因此B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,在Rt△MFN中,|QN|=|QF|,所以∠QNF=∠QFN,又∠QFM+∠QFN=∠NFM=90°,∠QMF+∠QNF=1 80°-∠NFM=90°,所以∠QFM=∠QMF,因此D正确; 对于C,由∠QFM=∠QMF,可知|QF|=|QM|,又|QF|=|QN|,所以|QN|=|QM|,即Q是线段MN的中点,因此C不正 确. 解题模板　涉及抛物线的焦半径,常结合抛物线的定义,运用几何法进行推理及转化,从而解决相关问 题,平时应注意积累并记忆一些结论及计算方法,如本题中△AFN、△BFN、△ANB都是直角三角形等, 这些结论在解小题时可直接应用. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏连云港期中]已知O为坐标原点,抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B为C上两点,且OA⊥AB,则|FA| +|FB|的最小值为 ( ) A.6 +10　    B.8 +10　     C.10 +10　    D.12 +10     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A ,B ,a≠0,b≠0. 因为OA⊥AB,所以 · = · = +a(b-a)=0, 由题意知b-a≠0,则a(b+a)+16=0,整理得b=-a- , 由抛物线的定义得|FA|+|FB|= + +2= +2≥ +2=8 +10,当且仅当a2= ,即a2 =8 时等号成立,所以|FA|+|FB|的最小值为8 +10. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026浙江G5联盟期中]已知抛物线C:y2=8x,P为C上的动点,Q为圆M:(x+2)2+(y-3)2=4上的动点,则点P到 直线l:x=-1的距离与点P到点Q的距离之和的最小值为 ( ) A.2　    B.3　    C.4　    D.5     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆M:(x+2)2+(y-3)2=4的圆心为M(-2,3),半径为2;抛物线C:y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,记F (2,0). 如图,过点P作直线x=-1,x=-2的垂线,垂足分别为L,N,   则点P到直线l:x=-1的距离与点P到点Q的距离之和为|PL|+|PQ|=|PN|+|PQ|-1, 由抛物线的定义可得|PN|+|PQ|-1=|PF|+|PQ|-1, 则当M,Q,P,F四点按此顺序共线时,|PF|+|PQ|-1取得最小值,为|QF|-1=|MF|-|MQ|-1=|MF|-3, 又M(-2,3),F(2,0),所以最小值为|MF|-3= -3=2. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山东济南期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在抛物线C上,过线段AB的中点M作抛 物线C的准线的垂线,垂足为N,若∠AFB=90°,则 的最小值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　抛物线y2=2px的焦点为F ,准线方程为x=- . 设|AF|=m,|BF|=n,过点A,B作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为A1,B1,如图所示.   由抛物线的定义可得|AA1|=|AF|=m,|BB1|=|BF|=n.因为M为线段AB的中点,所以|MN|= = . 又∠AFB=90°,所以|AB|2=m2+n2,所以 = =4 . 又(m+n)2≥4mn,所以 ≤ ,当且仅当m=n时取等号,所以 ≥4× =2,所以 ≥ ,所以  的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025湖南湖湘教育期中联考]已知P为抛物线y2=8x上的任意一点,F为其焦点,Q为圆(x-6)2+y2=4上的 一点,则2|PQ|+|QF|的最小值为__________.     4      第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得F(2,0),取点M(5,0),设圆(x-6)2+y2=4的圆心为N,则N(6,0),|MN|=1, 所以 = = ,又因为∠QNM=∠FNQ,所以△QNM∽△FNQ,则|QF|=2|MQ|, (取点M(5,0)是解题的关键,挖掘几何条件,运用几何方法对|QF|进行转化,从而解决此类系数不同的问 题) 所以2|PQ|+|QF|=2(|PQ|+|QM|). 易知|PQ|+|QM|≥|PM|,故问题转化为求|PM|的最小值, 设P , 则|PM|= , 令 =t(t≥0),所以|PM|2= +t= - +25. 第1讲　描述运动的基本概念 易知当t=8时,|PM =24,即|PM|min=2 ,即2|PQ|+|QF|的最小值为4 .   第1讲　描述运动的基本概念 11.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,点A的坐标为(2,6),点P是C上的任意一点,若当P在点P1处时,|PF|-|PA| 取得最大值,当P在点P2处时,|PF|-|PA|取得最小值,则P1,P2两点间的距离是_________. 解析　依题意知F(2,0),过P作抛物线准线:x=-2的垂线,垂足为Q, 一方面:||PF|-|PA||=||PQ|-|PA||≤|AQ|⇒|PF|-|PA|≤|AQ|, 当P,A,Q三点共线,即PA平行于x轴时,|PF|-|PA|取得最大值,此时P1 ; 另一方面:||PF|-|PA||≤|AF|⇒|PF|-|PA|≥-|AF|, 当P,F,A三点共线,且F在P,A之间时,|PF|-|PA|取得最小值,此时P2(2,-4),故|P1P2|= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　抛物线的综合应用 12.[多选题][2026广东湛江段考]设O为坐标原点,抛物线C:y2=2px的准线为l:x=-2,P为C上不与O重合的 一个动点,以P为圆心,1为半径作圆,过点(-2,0)作圆P的两条切线,分别交圆P于点M,N,则 ( ) A.l始终与圆P相离 B.|MN|无最值 C.存在点P,使得OP⊥MN D.当|OM|=2时,点P到l的距离为3     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由抛物线C:y2=2px的准线为l:x=-2,知- =-2,解得p=4,故抛物线C:y2=8x. 设P(x0,y0),则x0>0,那么点P到l的距离为x0+2>2>1,即l与圆P相离,故A正确; 对于B,设点A(-2,0),则|PA|= = >2, |AM|=|AN|= ,四边形AMPN的面积为 |PA|·|MN|= |AM|·|PM|×2, 可得|MN|= = =2 ∈( ,2),故B正确; 对于C,因为AP⊥MN,直线AP的斜率为 ,直线OP的斜率为 ,所以若存在点P满足题意,则 = , 此时y0=0,这与题意矛盾,所以OP与MN不可能垂直,故C错误; 对于D,若点P到l的距离为3,则可得P(1,±2 ),根据对称性,不妨取P(1,2 ),则|OP|= =3, 又|OM|=2,且|PM|=1,所以O,M,P三点共线, 第1讲　描述运动的基本概念 且 =  = (1,2 )= ,可得M , 此时直线PM的斜率kPM= =2 ,直线AM的斜率kAM= = , 而kPMkAM=2 × =2≠-1,即直线AM与PM不垂直,这与题意矛盾,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025四川内江模拟]已知抛物线C:y2=x的焦点为F,准线与x轴的交点为A,M为抛物线C上一动点,求  的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由抛物线的标准方程得F ,A , 设M(x0,y0)(x0≥0),则|MA|= ,|MF|=x0+ . (常用代数法求解抛物线上一点到非焦点的点的距离问题) 当x0=0时, =1; 当x0>0时, =  = =  第1讲　描述运动的基本概念 = = , 因为x0>0,所以x0+ ≥2 = ,当且仅当x0= 时,等号成立, 因此 有最大值 , 又当x0→+∞时,x0+ →+∞, →1, 所以 ∈(1, ]. 综上所述, 的取值范围是[1, ]. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026上海市西中学期中]现有一块正方形菜地EFGH.EH所在直线是一条运河.从菜地收获的蔬菜可 送到F点或河边运走.于是,将菜地分为两个区域S1和S2,其中S1区域中的蔬菜运到河边较近,S2区域中的蔬 菜运到F点较近,而菜地内S1和S2区域的分界线(记为曲线C)上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平 面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图所示. (1)直接写出菜地内S1和S2区域的分界线(即曲线C)的方程; (2)设M,N,P是曲线C上纵坐标分别为 ,1, 的点,求六边形OMNPGF的面积占正方形EFGH面积的百分 比(结果精确到1%).   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知直线EH:x=-1,由抛物线的定义可知曲线C为抛物线的一部分,F(1,0)为其焦点,所以曲线C: y2=4x,x∈[0,1]. (2)如图所示,作PA⊥GF,NB⊥GF,MD⊥GF,垂足分别为A,B,D, 易知M ,N ,P  ,  ,则|MD|=1- = ,|NB|=1- = ,|PA|=1- = ,|GA|=2- = ,|AB|= -1= ,| BD|=1- = ,|DF|= , 所以S六边形OMNPGF=S△GPA+S梯形APNB+S梯形NBDM+S梯形MDFO = × × + × × + × × + × × = ,而正方形EFGH的面积为4,所以所占百分 比为 ×100%= ×100%≈33%. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　借助空间想象分析圆与抛物线的实际问题 创新题型 15.[2026河南洛阳质检]一个工业凹槽的竖截面的曲线部分是一条抛物线的一部分,它的标准方程是x2= 4y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球 的最大半径为 ( )   A. 　    B.1　    C.2　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x,y)是抛物线上任一点,A(0,b)(b>0),则y∈[0,10], 若抛物线内以A为圆心的圆能过原点,则|PA|的最小值是|OA|, 易得|PA|=  = =  = , (将问题看成求解析式中含参数的二次函数的最值问题,此类问题求解时需考虑二次函数图象的对称轴 (即直线y=b-2)的位置与定义域区间(即[0,10])的关系,由此进行分类讨论) 若b-2>0,则当y=b-2时,|PA|取得最小值,但此时P点不是原点,即不是抛物线的顶点,不合题意; 若b-2≤0,即0<b≤2,则当y=0时,|PA|min=b,此时圆A的半径为b,其最大值是2. 第1讲　描述运动的基本概念 $