北京市西城区德胜中学2026-2027学年人教版八年级上学期期中数学模拟试卷

北京市西城区德胜中学2026-2027学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 32分，共16分） 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．奇想智能 B．纳米AI C．文心一言 D．ChatGPT 2．在平面直角坐标系内，点A（2，－1）关于y轴对称点的坐标为（     ） A．（-1，2） B．（-2，1） C．（-2，－1） D．（2，1） 3．如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中的度数为（   ） A． B． C． D． 4．等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（　　） A．或 B． C． D． 5．如图，OA平分，点P在OA上，点B，C分别在OM，ON边上，有如下条件：①，；②；③；④．选取其中一个一定可以得的条件是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 6．下列命题中是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．直角三角形的两个锐角不一定互余 C．三角形一个外角大于它任意一个内角 D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角相等 7．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是（   ） A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 10．若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为________． 11．如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 12．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 13．如图，在中，是的平分线，是的边上的中线，如果的面积是，则的面积是___________． 14．如图，在中，，，点在上，，，则________ 15．如图，在中，，，点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以个单位秒和个单位秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点作于点，过点作于点要使与全等则点的运动时间为_________________． 16．如图，在锐角中，，，，，点M，P，N分别在线段，，上运动（均不与点A，B，C重合），则周长的最小值是______． 三、解答题（共68分） 17．如图，在中，． (1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)根据（1）中作图，若，证明：． 证明： 垂直平分， ①________，， ，， ，． 在和中， ， ． ③________． 在中，， ， ， 即④________． ． 18．如图，在四边形中，，E为上一点，且，连接、，，求证：． 19．如图，每个小正方形的边长为个单位长度．中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中画出符合题意的平面直角坐标系，并写出点坐标 ； (2)作出关于轴对称图形； (3)在轴上找一点，使得点到点、的距离相等；(不写作法，保留作图痕迹) (4)若为轴上一点，连接、，则周长的最小值为 ． 20．物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 21．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“钻石三角形” (2)如图②，在 中，，，则 “钻石三角形”(填“是”或“不是”)．若是，则其“钻石分割线”必过顶点 (填“”“”或“”)；若不是，请说明理由． 22．一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分（如图1）．那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： (1)【活动1】如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕，展开后折出对角线，对角线与分别交于点K、L、M，最后沿折叠，得到折痕，则点N将边三等分．请说出点N将边三等分的理由． (2)【活动2】如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点A落在上的点N处，得到折痕和线段．请说出被三等分的理由； (3)如图4，在折叠过程中，不小心将点M往右去了一点，点A的对应点N落到了下方，延长交于点G．若正方形纸片的边长为，此时，求的长． 23．如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． (1)求证：； (2)若，求（用表示）； (3)若，，求的长（用，表示）． 24．在平面直角坐标系中，直线m为经过且垂直于y轴的直线，直线n为经过且垂直于x轴的直线．图形G关于直线m的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形，图形关于直线n的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形． 根据定义，回答下列问题： (1)点的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为_______，________． (2)点在第三象限，，分别是点B的一次对称点与二次对称点，为等腰直角三角形． ①求y与x之间满足的数量关系； ②已知，，写出的最小值为_______； (3)已知点，，若以为边的正方形（P、Q在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，写出a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区德胜中学2026-2027学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 32分，共16分） 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．奇想智能 B．纳米AI C．文心一言 D．ChatGPT 【答案】C 【分析】本题考查了和轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线对称轴折叠，使得直线两侧的图形能够完全重合；根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2．在平面直角坐标系内，点A（2，－1）关于y轴对称点的坐标为（     ） A．（-1，2） B．（-2，1） C．（-2，－1） D．（2，1） 【答案】C 【分析】直接利用关于y轴对称点的特点得出答案． 【详解】点A（2，-1）关于y轴对称点P的坐标是：（-2，-1）． 故选C． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 3．如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角板中角度的计算，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（　　） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时，分别根据三角形三边关系定理判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当为腰长，为底边长时， ∴三边为，，， ∵， ∴能构成三角形，则第三边长可以是， 当为底边长，为腰长时， ∴三边为，，， ∵， ∴不能构成三角形， 综上可得：第三边长可以是， 故选：． 5．如图，OA平分，点P在OA上，点B，C分别在OM，ON边上，有如下条件：①，；②；③；④．选取其中一个一定可以得的条件是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由平分，点在上，于点于点，可证明，可判断①符合题意；若，由，根据“”证明，可判断②符合题意；若，由，根据“”证明，可判断③符合题意，无法证明④符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：①∵平分，点在上，于点于点， ， ∵， ∴； 故①符合题意； ②∵平分，点分别在边上， ， 在和中， ， ， 故②符合题意； 在和中， ， ， 故③符合题意， ④当，，无法证明，故④不符合题意； 故选：D． 6．下列命题中是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．直角三角形的两个锐角不一定互余 C．三角形一个外角大于它任意一个内角 D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题真假，涉及对顶角、直角三角形性质、三角形外角性质、全等三角形性质等知识点，逐一分析每个选项，找出真命题即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； B、直角三角形的两个锐角一定互余，故原命题是假命题，不符合题意； C、三角形一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，故原命题是假命题，不符合题意； D、如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角相等，故原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 7．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由点在内部，且到三边的距离相等得平分，平分，进而求得，再根据三角形内角和定理求得，即可得解． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：C． 8．在中，，，是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是（   ） A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，中线，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的高线，中线，角平分线的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴A、若是的高，则可能是的中线，故本选项不符合题意； B、若是的中线，则不可能是的高，故本选项不符合题意； C、若是的角平分线，则可能是的中线，故本选项不符合题意； D、若是的高，则可能是的角平分线，故本选项符合题意； 故选：D 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是_____（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 10．若等腰三角形的一个内角为，则其顶角的度数为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分底角为和顶角为两种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：当底角为时，则顶角为， 当顶角为时，则顶角为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或， 故答案为：或． 11．如图，已知网格图由个相同的正方形组成，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 【答案】5 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．如图，在中，是的平分线，是的边上的中线，如果的面积是，则的面积是___________． 【答案】10 【分析】根据角平分线的性质作辅助线，，得出，再由三角形的面积先求出，然后再根据三角形的中线的性质即可解决本题． 【详解】解：如图所示，过点D作于点M，于点N， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角平分线上的点到角的两边的距离相等． 14．如图，在中，，，点在上，，，则________ 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半等知识，正确把握等腰三角形的性质是解题关键．利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形的外角以及直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半得出答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ． 故答案为：12． 15．如图，在中，，，点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以个单位秒和个单位秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点作于点，过点作于点要使与全等则点的运动时间为_________________． 【答案】1s或3.5s或12s 【分析】本题考查了三角形全等的判定以及全等三角形性质的应用，熟练掌握三角形全等判定定理是解决本题的关键 根据题意,随着点点的运动，分四种情况进行讨论： 在上，在上， 在上，在上，当、都在上时，当到点停止，在上时，然后根据情况计算即可． 【详解】分为四种情况，如图，在上，在上， ，， ， ， ，， ， 则≌， ， 即， ； 如图，在上，在上， 由知， ， ， ， 此种情况不符合题意； 当、都在上时，如图， ， ， 当到点停止，在上时，， 时， 解得； 的速度是每秒，的速度是每秒； 和都在上的情况不存在． 故答案为:或或． 16．如图，在锐角中，，，，，点M，P，N分别在线段，，上运动（均不与点A，B，C重合），则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】作点P关于直线的对称点E，点P关于直线的对称点F，连接交于点G，交于点D，连接，，根据对称的性质，得，，当点M与点G，点N与点D重合时，点E，G，D，F四点共线时，的周长最小，然后根据等边三角形的性质和含30度角直角三角形的性质解答即可． 本题考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题． 【详解】解：作点P关于直线的对称点E，点P关于直线的对称点F， 连接交于点G，交于点D，连接， 根据对称的性质，得，， 当点M与点G，点N与点D重合时，点E，G，D，F四点共线时，的周长最小， ∴的周长为：， 根据对称的性质，得，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 过点C作于点Q， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（共68分） 17．如图，在中，． (1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)根据（1）中作图，若，证明：． 证明： 垂直平分， ①________，， ，， ，． 在和中， ， ． ③________． 在中，， ， ， 即④________． ． 【答案】(1) 如下图，即为所求作； (2) ；；； 【分析】本题考查的是尺规作图—作垂直平分线、线段及全等三角形的判定与性质， （1）按要求先作线段的垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）证明： 垂直平分， ，， ，， ，． 在和中， ， ． ． 在中，， ， ， 即． ． 18．如图，在四边形中，，E为上一点，且，连接、，，求证：． 【答案】证明：在四边形中 ∵， ∴, ∵, ∴, ∴， 在和中， ∴ ∴ 【分析】根据平行线的性质以及等边对等角即可知，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 19．如图，每个小正方形的边长为个单位长度．中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中画出符合题意的平面直角坐标系，并写出点坐标 ； (2)作出关于轴对称图形； (3)在轴上找一点，使得点到点、的距离相等；(不写作法，保留作图痕迹) (4)若为轴上一点，连接、，则周长的最小值为 ． 【答案】(1) 如图所示的坐标系即为所求，， 故答案为：； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点的坐标作出平面直角坐标系即可求解； （2）根据轴对称的性质找出点、、关于轴对称的对应点、、，再顺次连接可得； （3）当点与原点重合时，连接、即可； （4）连接交轴于点即可； 【详解】（1）略 （2）如图，点、、关于轴对称的对应点分别为、、，连接、、， 则即为所作； （3）当点与原点重合时，连接、， ∵每个小正方形的边长为个单位长度， ∴，， ∴， ∴点到点、的距离相等， 则点即为所作； （4）连接交轴于点， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 此时周长取得最小值，最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—轴对称，平面直角坐标系，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 20．物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 【答案】任务1：任务2：任务3：3 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解各个图形的重心坐标计算公式是解题的关键． 任务1：根据题干所给的公式直接带入计算求解即可； 任务2：先分别求出矩形、矩形、矩形重心坐标及面积，代入公式计算即可； 任务3：利用公式求出整体图形的面积以及重心坐标，假设挖空圆面积为,根据负面积法公式列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：根据给出公式得， ， ∴梯形薄板的重心坐标为； 任务2：如下图，将圆图形进行分割， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ∴， ， ∴薄板的重心坐标为； 任务3：整体图形的面积为， 将图形分割成左侧的矩形和右侧的三角形， 矩形的重心坐标为，即，矩形的面积为； 三角形的重心坐标为，即，三角形的面积为； 整体图形的重心坐标为； 假设挖空圆面积为,根据公式可得， ， 解得， 故答案为：3． 21．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“钻石三角形” (2)如图②，在 中，，，则 “钻石三角形”(填“是”或“不是”)．若是，则其“钻石分割线”必过顶点 (填“”“”或“”)；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵, ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”． (2)是； 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）过点B作的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：过点B作的中线，    则， ∴与是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”， ∴其钻石分割线必过顶点． 22．一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分（如图1）．那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： (1)【活动1】如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕，展开后折出对角线，对角线与分别交于点K、L、M，最后沿折叠，得到折痕，则点N将边三等分．请说出点N将边三等分的理由． (2)【活动2】如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点A落在上的点N处，得到折痕和线段．请说出被三等分的理由； (3)如图4，在折叠过程中，不小心将点M往右去了一点，点A的对应点N落到了下方，延长交于点G．若正方形纸片的边长为，此时，求的长． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点N将边AD三等分； (2)解：由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和三等分； (3)． 【分析】（1）由，得到，求得，再根据相似三角形的判定与性质定理得到结论； （2）由折叠的性质得到，求得，于是得到和三等分； （3）由折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∵，                                             ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得x＝， ∴AM＝． 23．如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． (1)求证：； (2)若，求（用表示）； (3)若，，求的长（用，表示）． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）得到是等边三角形，则，由、关于对称，得到，即可等量代换； （2）可得，则，由对称可得，则，然后由定等腰三角形的性质可得，则再由求解； （3）连接并延长交延长线于点，导角证明为等边三角形，则，然后再证明，那么，故． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交延长线于点， ∴， ∵等边中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、关于对称， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 24．在平面直角坐标系中，直线m为经过且垂直于y轴的直线，直线n为经过且垂直于x轴的直线．图形G关于直线m的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形，图形关于直线n的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形． 根据定义，回答下列问题： (1)点的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为_______，________． (2)点在第三象限，，分别是点B的一次对称点与二次对称点，为等腰直角三角形． ①求y与x之间满足的数量关系； ②已知，，写出的最小值为_______； (3)已知点，，若以为边的正方形（P、Q在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解； （2）①根据一次对称和二次对称的定义得到，，推出，再根据为等腰直角三角形得到，整理即可得出答案；②过点作垂直于轴的直线，过点作于点，易证是等腰直角三角形，则有，得出，再计算出当三点共线时的长度，即可得出答案； （3）求出正方形的二次对称图形的各顶点坐标，再根据二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，列出关于的不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，直线m为直线，直线n为直线， 点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为， ∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：①∵点在第三象限， ∴，， ∵点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为， ∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为， ∴，， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， ∴y与x之间满足的数量关系为； ②如图，过点作垂直于轴的直线，过点作于点， 则直线为直线， 由①得，点的坐标为， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为， 此时为点到直线的距离， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （3）解：∵点，，正方形（P、Q在线段的上方）， ∴，， ∴正方形的二次对称图形的各顶点为，，，， ∵二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质与判定，最短路径问题，求不等式的解集，理解一次对称图形与二次对称图形的新定义是解题的关键．本题属于坐标与图形综合题，需要较强的几何推理和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $