3.1勾股定理的探究随堂检测卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年苏科版新教材八年级上册第三章勾股定理 · 3.1勾股定理的探究随堂检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型 1：勾股定理的证明  1．如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，按图中虚线将其分成四个相等的小长方形后，再将四个小长方形拼成如图②所示的正方形． 【探究发现】（1）请试着用两个不同的式子表示图②中阴影部分的面积： 方法①：________________， 方法②：________________； （2）由（1）可以得到的一个等式为________________________________； 【类比应用】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）15 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、列代数式、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列出正确的代数式是解题的关键． （1）根据图形，利用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可； （2）由（1）中所列代数式得出等量关系式即可； （3）利用完全平方公式求得的值，然后根据所得等量关系式代入数值计算即可． 【详解】解：（1）图②中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为, 故答案为：；； （2）由（1）可得, 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 2．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】 证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】略． 3．［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程． 如图①，，求证：． 证明：连接，过点作交的延长线于点，则， 则． 又， ， ． 请参照上述证法，利用图②进行证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：． 【答案】 证明：如答图，连接，过点作交的延长线于点，则． ， ， ， ． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法．根据，可得出结论． 【详解】略 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故该选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理； D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； 故选：C． 题型 2：用勾股定理解三角形（求第三边长） 5．如图，在直角三角形中，，，，，，． (1)点到的距离是______；点到的距离是________． (2)求点到的距离． 【答案】(1)； (2)点到的距离为． 【知识点】点到直线的距离、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （1）根据定义即可解答． （1）在中，利用等积法求解即可解答． 【详解】（1）解：点到的距离是；点到的距离是． 故答案为：；； （2）解：设点到的距离为， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∴点到的距离为． 6．若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，由题意分当和为直角边时和当长的边为斜边时两种情况分析即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：当和为直角边时，设第三边长为， ∴由勾股定理得：， ∴； 当长的边为斜边时，设第三边长为， ∴由勾股定理得：， ∴， 综上可知：第三边长为或， 故选：． 7．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 【答案】到的距离为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】作，交于点．设．先证明，则有，即有；则根据可求出到的距离，即可求解． 【详解】如图，作，交于点．设． ∵， ∴， 在Rt中，， 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵且， ∴； ∴， ∴， 即到的距离为． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，已知中，，，交于点，若，求的长． 【答案】BD的长为 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的判定等知识，推导出及是解题的关键． 由，交于点C，得，而，，则，由，得，即可求解． 【详解】解：，交于点C， ， ，， ， ， ， ， 的长为． 题型 3：用勾股定理解三角形（求面积） 9．如图，等边三角形的边长为6，于D，求这个等边三角形的高和面积． 【答案】高，等边三角形的面积为 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】利用等边三角形三线合一的性质得到为中点，求出的长度，再在直角三角形中用勾股定理计算高，最后代入三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵是边长为的等边三角形，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， ∴这个等边三角形的面积为． 10．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（    ） A．3 B．16 C．9 D．2 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，先由勾股定理得到，由正方形的性质得到，再由勾股定理得到，则由正方形面积计算公式可得答案． 【详解】解：如图， 在，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴阴影部分面积是9， 故选：C． 11．已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】由勾股定理可知，根据等腰直角三角形的性质可知，，，根据三角形的面积公式可知，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，， ， ， 、、均为等腰直角三角形， ，，， ，，， ． 12．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用可证，得到，进而可得，即得，同理可得，，据此即可求解，由全等三角形得到是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即， 同理可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型 4：用勾股定理解三角形（网格问题） 13．如图，的网格中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在下图中，画出的平分线； (2)在下图中，在线段上取点E，使． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图，点即为所求． 【知识点】三线合一、格点作图题 【分析】（1）由图可知，根据三线合一，先找到的中点，连接即可； （2）由（1）知，先在线段上找到距离到点为3的点，过该点做的平行线，交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，在上找一点E，使得． 【答案】(1)如图，取格点，连接交于，则即为所求； ； (2)如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 【知识点】三角形内角和定理的应用、矩形性质理解、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题 【分析】（1）如图，取格点，连接交于即可； （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； ； 理由：∵， 而由网格矩形的性质可得：， ∴平分． （2）解：如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 理由：由（1）得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 15．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 16．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 题型 5：用勾股定理解三角形（平方问题）        17．如图，在中，，垂足为D． (1)若的面积，求的值； (2)点E在边上，与相交于点F，且．请你利用无刻度直尺和圆规作出点E；（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，延长至点G，连接，使．若，求证：． 【答案】(1)6 (2)如图所示， (3) 证明：如图，过点E作于点H． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、求完全平方式中的字母系数、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，完全平方公式，三角形内角和定理： （1）根据三角形面积计算公式得到，则，再由完全平方公式的变形可得，则； （2）作的角平分线分别交于F、E，点E和点F即为所求； （3）先证明，得到，再证明，得到，根据，推出，进而得到， 由，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）； （2）解：作的角平分线分别交于F、E，点E和点F即为所求； 易证明，， 而，则； （3）略 18．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．    (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再根据等面积法求出的长即可； （2）根据平方差公式将化成即可推出结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ， ， ； （2）证明：点是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，平方差公式，将化成是解题的关键． 19．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则下列数量关系正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 根据已知条件得出是等边三角形，证明，进而证明，则，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， 是等边三角形， ． ，， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 20．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”．现有如图所示的“垂美四边形”，对角线，交于点O．若，则________． 【答案】80 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键. 证明再由勾股定理得然后证明即可解决问题. 【详解】解： 由勾股定理得：， 故答案为：80. 题型 6：用勾股定理解三角形（折叠问题） 21．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，交于点．    (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1) 证明：在矩形中， ， 由翻折知， ． (2)10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）证即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 在中，，解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．关键是掌握等腰三角形的判定定理． 22．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为（    ） A．5 B． C．5或 D．5或 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 首先根据勾股定理得出，然后根据折叠的性质分点在边上和在边上两种情况，利用相似三角形的判定得出即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外）， ∴点的对应点关于对称， 当点在边上时，如图， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：的长为或， 故选：D 23．四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、折叠问题 【分析】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键．E点沿运动时，当折叠F落在时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到，即可得到取值范围，从而对选项进行判断． 【详解】解：如图所示，连接， 根据折叠的性质，我们可以得到， ∴， ∵， 根据三角形三边关系， 可以得到， ∴， 当折叠F落在时， 此时为最小值， ， 故取值范围为：， 故选：D． 24．如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为_______． 【答案】3 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 题型 7：勾股定理的应用（弦图问题） 25．如图，是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的赵爽弦图，连结并延长，交于点，交于点．记的面积为，的面积为． （1）若，则的值为______． （2）若，且，则的长度为______． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作交于点,根据已知得出，证出，得，由三线合一得到为中点，再结合即可求出；（2）根据已知证出，得到，根据得到，，令,列出等式计算出结果即可． 【详解】（1）过点作交于点, ∵ 设 在与中,                   由三线合一：为中点 （2）在与中, , , 令, 则 即 【点睛】本题主要考查正方形性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，列代数式等知识，熟练掌握以上知识并准确列出等式是解题关键． 26．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连结并延长交于点N．若，则正方形与正方形的面积的比值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，由四边形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形得设得证明可得从而可求出结论 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴； ∵四边形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， ∴ 设 ∴ ∴， 由题意得， ∴ ∴，即， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得， ∴ ∴， 故选：A 27．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，则直角三角形的斜边长为______． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了赵爽弦图，运用完全平方公式及勾股定理是解题的关键．设大正方形为，小正方形为，先由直角三角形的面积为4，中间小正方形的面积为3，得到，，再运用完全平方公式展开并求得，最后根据勾股定理求出大正方形的边长． 【详解】解：如图，设大正方形为，小正方形为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 28．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为______． 【答案】34 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查勾股定理、二元一次方程组的应用，运用方程思想．解题关键是通过设直角三角形的直角边为未知数，结合“”和“小正方形边长”建立方程组，求出直角边后用勾股定理求大正方形面积；易错点是混淆小正方形边长与直角边的关系，导致方程列错． 首先设直角三角形的直角边，．再根据“”得；根据“小正方形边长”得．然后解方程组，求出，．最后由勾股定理求大正方形边长的平方，即大正方形的面积为34． 【详解】设直角三角形的直角边，． 已知，即； 小正方形的边长，由图形可知，小正方形的边长等于，即． 联立方程组： ， 解得，． 在中，根据勾股定理： ， 因此，大正方形的面积为． 故答案为：34． 题型 8：勾股定理的应用（构造图形） 29．某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 30．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（   ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米， ∴(米)． 故选：A． 31．一公园入口大门上方装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为___________． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】如图，过点C作于点F，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 根据题意得，，，， ∴， ∴， ∴． 32．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为2.4米，若将它往水平方向向前推进1米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为______米． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点C作于点F，易得米，再利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 则，四边形为矩形， ∴米． ∵米， ∴（米）， ∴（米）， 即此时木马上升的高度为米， 故答案为：． 题型 9：勾股定理的应用（勾股定理与无理数）  33．如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是________． (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题： ①如图2，在数轴上，点A表示的数是，，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点A右侧），则点表示的数为________． ②图3中画出表示的点M．（保留作图痕迹） ③若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1) (2)①； ②点M如图即为所求： ③ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、作线段(尺规作图)、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了圆的周长公式，实数与数轴的对应关系，勾股定理解三角形，无理数的估算以及代数式的求值．无理数在数轴上表示的内容，体现了实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握勾股定理求解三角形边长并正确估算无理数是解决本题的关键． （1）根据圆的周长公式，即（d为直径）计算即可； （2）①先由勾股定理计算的长，再由勾股定理计算的长，由圆的半径可得的长，由此可解； ②通过构造直角三角形，作出长度为1和长度为2的直角三角形，利用勾股定理求出长度为的线段，即可确定位置； ③先估算的大小，从而确定的整数部分和小数部分，再代入式子求解即可． 【详解】（1）解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为， ∵向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴由勾股定理可得， ∵，，， ∴由勾股定理可得， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点， ∴， ∵在数轴上，点A表示的数是，则点表示的数为； 故答案为：； ②在数轴上取点Q，表示的数为1，取点N，表示的数为2， 过点N作轴，且满足， ∴， 在中，， 以点Q为圆心、的长为半径画弧，与数轴负半轴交于点， 即点M表示 ③∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的整数部分为， 小数部分为， ∴ 34．如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握实数的定义是解题的关键． （1）由勾股定理得到，再结合顶点A表示的数是，求即可． （2）估算得到，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，根据勾股定理可知： ， ∴， ∴点对应的数， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， ∴． 35．如图，矩形中，在轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于点，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、实数与数轴、勾股定理与无理数、利用矩形的性质证明 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，能求出的长度是解题的关键． 根据长方形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 36．如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 题型 10：勾股定理的应用（勾股定理与最值）    37．为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系，； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置； （3）在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)圆柱的侧面展开图是__________； (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； (3)求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 【答案】(1)长方形 (2) 如图： (3) 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查立体几何中最短路线问题，把曲面上的最短路径问题转化为平面上的最短路径问题是解题的关键． （1）由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为长方形； （2）观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接即可； （3）根据（2）中的位置，根据勾股定理进行求解计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为：长方形， 故答案为：长方形； （2）解：观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接； （3）解：、、 ． 答：蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程为． 38．如图，为等边三角形，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】提示：如图，连接． ，是等边三角形， ，，， ， ， ． 平分， ，， ， 点在射线上运动，且． 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，即有， ． 当三点共线时，有最小值 此时的值最小，最小为， 即周长有最小值，最小值为． 根据对称性可知， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， 周长的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹． 39．已知，点在OB上，点在上，于点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，垂线段最短，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等．如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于M，此时，为的最小值，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于点M， 此时，为的最小值， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 40．已知：如图，，，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是_________．    【答案】 【知识点】垂线段最短、两直线平行内错角相等 【分析】当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，根据，求出最小值，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 当点M与点A重合时，取最大值，此时， 当时，取最小值， ∵， ∴，解得：， ∴的最大值与最小值的差是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；垂线段最短． 试卷第36页（共41页） 试卷第37页（共41页） 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 20262027学年苏科版新教材八年级上册第三章勾股定理 3.1勾股定理的探究随堂检测卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 题型1：勾股定理的证明 1.如图①是一个长为2a,宽为2b的长方形，按图中虚线将其分成四个相等的小长方形后，再将四个小 长方形拼成如图②所示的正方形 6 b Q b b 图① 图② 【探究发现】(1)请试着用两个不同的式子表示图②中阴影部分的面积： 方法①： 方法②： (2)由(1)可以得到的一个等式为 【类比应用】(3)若a+b=5,d+=20,求a-b的值. 2.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜 地发现：当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理. 下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图(1)所示摆放，其中∠DAB=90°.求证：a2+b2=c2, 试卷第1页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 D p 6 D 6 b E a a b 图(1) 图(2) 3.[核必素养]勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵 感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下 面是小明利用图①证明勾股定理的过程. 如图O,△ACB≌△DEA,∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2 证明：连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a, 则Snea-8m+5c-+的 2 又rnue=8m+5m22+ab-0), +ab=c2+ ab= 2 2 +2ab-a). .a2+b2=c2 D a b b 6 C B 图① 图② 请参照上述证法，利用图②进行证明， 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°，连接BE.求证：a2+b2=c2 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高 试卷第2页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 发现的，故又称之为“商高定理”.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是() 6 b a B 题型2：用勾股定理解三角形（求第三边长） 如图，在直角三角形40B中，4B1CD,∠ACB=909,BD=4?CD=3,BC=5,0= 4· D (I)点B到AC的距离是 一；点A到CD的距离是 (2)求点D到BC的距离 6.若直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边长为() A.5cm B.V7cm C.5cm或v7cm D.5cm或7cm 7.如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离 BD=2.5m.乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=1.5m,点A 到地面的距离AE=1.5m,当他从A处摆动到A处时，若AB⊥AB,求A到BD的距离. B A 地面 D E 图1 图2 8.如图，已知△ABD中，∠B=∠D=∠CAD=30°，AC⊥AB,交BD于点C,若AC=2,求BD的长 试卷第3页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 SD 题型3：用勾股定理解三角形（求面积） 9.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于D,求这个等边三角形的高AD和面积. B 10.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是() 4 A.3 B.16 C.9 D.2 11.已知如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=10则图中阴影部分的 面积为() B A.400 B.200 C.100 D.50 12.如图，在直线I上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0,1.21,1.44， 正放程的四个正方形的面积分别为，品$，8，则8+8，二 试卷第4页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 S 1.0 .21 1.44 S 题型4：用勾股定理解三角形（网格问题） 13.如图，6×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的 直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）· (I)在下图中，画出∠BAC的平分线AD: B (2)在下图中，在线段AC上取点E,使AE=3, B 14.如图是由边长为1的小正方形组成7×6网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A,B,C在格点上. 请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）， B 图1 图2 (I)如图1，作∠BAC的平分线AD: (2)如图2，在AC上找一点E,使得∠BAC=2∠CBE 15.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到直线AC的距离为() 试卷第5页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 A 13 13 A.10 B.5 16.如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上 表示-1的点重合，则数轴上点A所表示的数为 A -3 -2 题型5：用勾股定理解三角形（平方问题） 17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. D ()若△ABC S.ARC =20,AB+CD=14 的面积 ,求4B-CD的值 (2)点E在边BC上，AE与CD相交于点F,且∠CEF=∠CFE,请你利用无刻度直尺和圆规作出点E; (不写作法，保留作图痕迹) ()在(2)的条件下，延长4C至点G,连接GE,使GB=BE.若m=5m,求证： 4BE=5CE 18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC,CD1AB于点D,点E是AB的中点，连接CE. B E D 试卷第6页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 (1)若AC=3,BC=4,求CD的长： (2)求证：BD2-AD2=2DE·AB」 19.如图，在△ABC中，AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于点P,BO L AD于Q.则下列数量 关系正确的为() D C BP2=2PO2 3BP2 =4PO2 4BP2 =3PO2 A B C. D BP2=4PO2 20.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”.现有如图所示的“垂美四边形”ABCD,对角线AC, BD AD=4,BC=8 AB2+CD2= 交于点O.若 ,则 B 题型6：用勾股定理解三角形（折叠问题） 2L.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，CE交AB于点F. (I)求证：AF=CF: 试卷第7页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光乡装 (2)求△ACF的面积. 22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D是边BC的中点，点E是边AB上的动点， 沿DE所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B落在△ABC的边上(B点除外)，则AE的长为() C 18 18 A.5 B.5 C.5或5 4 D.5或5 23.四边形ABCD的边长如图所示，∠BAD=90°，∠ABC=120°，E为边AD上一动点（不与A,D两点 重合)，连接BE,将△ABE沿直线BE折叠，点A的对应点为点F,则点C与点F之间的距离不可能是( A.3 B.4 C.5 D.8 24.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边BC,AB上，连接DE,将△BDE沿DE折叠，点B 的对应点为R点P刷好落在1C边上.若BC=5.CF=5,则BD的长为 C B 题型7：勾股定理的应用（弦图问题） 25.如图，是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成的赵爽弦图，连结CE并延长，交 BG于点M,交MB于点V.记△NME的面积为 △CGM的面积为 试卷第8页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 G B S (1)若NA=NE,则S2的值为 S 1 (2)若S23,且EF=9,则AE的长度为 26.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长BH交CD于点M,连结AH并延长交CD于 MN 9 点N,若CD-25,则正方形ABCD与正方形EFGH的面积的比值为(）· D E M F G B A 17 B.9 35 C.4 n.号 27.赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解.该图由四个全等 的直角三角形围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图），若图中直角三角形的面积为4，中间小正方形 的面积为3，则直角三角形的斜边长为 28.如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.若AE+BE=8, 试卷第9页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 GH=2,则大正方形ABCD的面积为 题型8：勾股定理的应用（构造图形） 29.某校在一次消防演练中，消防车按如图1所示的方式停放，20m长的云梯AB需要到2lm高的宿舍楼 OM的点M处，其示意图如图2，己知云梯的底端A到地面的距离A4是3m,与宿舍楼OM的水平距离 AC是6m,云梯的长度够吗？请说明理由. B M 图1 图2 30.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是() A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 31.一公园入口大门上方装有一个传感器P,离地面高度PB=3.3m,当人从门外走到离该传感器2.5m 及2.5m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”.身高1.8m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”， 则BD的长为 m 传感器 门 D 32.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为2.4米，若将它往水平方向向前推进1米（即 DE=1米)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为米。 试卷第10页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光多第 2.4米 D 题型9：勾股定理的应用（勾股定理与无理数） 33.如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达0点 D E 2 30'4 0 图1 图2 图3 (1)那么0点对应的数是 (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的.有理 数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数.解决下列问题： ①如图2，在数轴上，点A表示的数是-2，∠ACB=∠ABD=90°，AC=BC=BD=1,若以点A为圆心、 AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为 -V5+1 ②图3中画出表示 的点M.(保留作图痕迹) -v7 ③若 的整数部分为”，小数部分为b,求+b-b b 的值. 34.如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是-1，以点A为圆心，AB长 m(m>2) 为半径作弧，交数轴于点C,记点C所表示的数为 ,已知a为m的整数部分，b为m的小数部分. 试卷第11页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 B -2 -1 0 2C 3 (1)求m: (2)求代数式3a+2b的值. 35.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=1,AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交 x轴的正半轴于点M,则点M的坐标为() 10 A.(3,0) B.(i7+,0 c.(7-1,0 D.(i7,) 36.如图，点A在数轴上表示数1，以OA为直角边，在数轴上方画R1aAOB,∠A0B=90°，OB=3,以 点A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点P,则点P表示的数是 B 430124→ 题型10：勾股定理的应用（勾股定理与最值） 37.为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题.为此，某数学兴趣小组开展了 综合与实践活动，记录如下： 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面 活动主题 爬到相对项点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 试卷第12页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危光乡笔 如图1，一个圆柱的 高为l12cm,底面圆的 周长为l8cm,在圆柱 下底面的点A处有一 研究问题 只蚂蚁，它想吃道上 底面与点A相对的点 图1 B处的食物，那么它 沿圆柱爬行的最短路 程是多少？ (1)将圆柱侧面沿 着经过A点的母线剪 开，确定展开图的形 状，以及与圆柱的对 应关系，： (2)在圆柱的侧面 设计方案 展开图中标出点B的 位置： 图2 (3)在圆柱的侧面 展开图中确定A、B 两点之间的最短路 线，并计算它的长 度. 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短 确定思路 路线问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)圆柱的侧面展开图是 (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线： (3)求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程， 试卷第13页（共41页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光多第 38.如图，△ABC为等边三角形，AB=2,∠ABC的平分线BF交AC于点F,，D为BF上一动点，连接 AD,以AD为边在右侧作等边△ADE,连接EF,则△AEF周长的最小值() A.5-1 B.2 c.3+1 D.4 39.己知∠AOB=30°，点P在OB上，点M在OA上，MN⊥OB于点N,若OP=2,则PM+MN的最 小值为」 A M -B 40.已知：如图，AB∥CD,CA⊥AB,且AC=12,CD=5,AD=13,点M是线段AD上的一个动点， 则CM的最大值与最小值的差是 M B 试卷第14页（共41页）