3.1勾股定理的探究同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理的分层巩固，通过基础应用、综合拓展到实践探究的三阶设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理公式直接应用|单选题1-6、填空题11-14，如直角边求斜边、正方形面积计算，强化符号意识| |综合层|图形与多知识点结合|单选题7-10、填空题15，结合坐标系、垂直平分线、中心对称，发展几何直观| |拓展层|实际问题与证明探究|解答题17-21，含《九章算术》古题、弦图证明、垂美四边形性质，提升应用意识与创新意识|

3.1勾股定理的探究 一、单选题 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则AB=(). A.4 B.5 C.2.4 D.2 2.若等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为() A.12 B.14 C.16 D.18 3.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为() 0 1 E B A.3 B.4 C.5 D.6 4.三个正方形的面积如图，正方形A的面积为() 6 10 A.4 B.36 C.64 D.8 5.如图，在平面直角坐标系中，点8的坐标是8,12)，点C的坐标是（-8,2），4B=4C=13,则点4的 坐标是(). B A(36) B.(2,7) c.(4,6) D.(4,7) 6.一个直角三角形的一条直角边是6，斜边长10，另一条直角边是() 试卷第1页（共3页） A.6 B.8 C.10 D.12 7.如图，在△ABC中，∠A=1S°，∠C=90°，作AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点N,M,连接 BM,若BC=1,则AC的长为() B M A2.5 B.2 c.2+5 D.I+5 &.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,四边形ABEF是长方形，BE=2Cm,则 阴影部分的面积是() CP 8cm E 6cm A.12m2 B.16cm2 C.20cm2 D.24cm2 9.如图，在等边△ABC中，D为BC的中点，连接AD,AD=3,△ADB与△FEB关于点B成中心对称， 则BF的长为() A.5 B.25 C.3 D.V3 10.如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BCAC中点，若AE=4,BD=5,则AB的长为() A.9 B.7 C.6 D.8 试卷第2页（共3页） 二、填空题 11.如图，这是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的图形每个正方形中的数字及字母$ 表示所在正方形的面积，其中$的值为一· S 12.一副三角板如图摆放，在△ABC和△DEF中，∠C=∠EDF=90,AC=BC=10,且D为AB的中点， DE与AC交于G.若CG=6,则DG的长为 13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=-12,BC=5,在AC上截取CD=CB;在AB上截取AP=AD, 则AP= D R 14.如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们 仅仅少走了_ 米 24米 “路” 7米 15.如图，在四边形ABCD中，D0=B0=5.若AD=12,AC=26,O为AC的中点，则∠DBC的度 数为 试卷第3页（共3页） B 三、解答题 16.如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长。 06 C P 17 (2)D 17.我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置. D C O(B) -32-10123→ 图① 图② (I)如图①，一个直角三角形的直角边BC落在数轴上，点B与数轴原点O重合，BC=3,AC=5, ∠ACB=90°，以B为圆心，BA长为半径画弧，交数轴于点D,则D点表示的实数是_： (②在图②中，作出实数10-2所在的位置.（保留必要的作图痕迹） 18.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有开门去阃(kn,门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广 几何？”题目大意是：如图（图(2）为图(1)的平面示意图)，推开双门，点C和点D距离门槛AB都 为1尺，双门间隙CD的距离为2寸，求AB的长.（注：1尺=10寸） 1尺 门槛 B (1) (2) 19,(1)定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形.性质：垂美四边形对边的平方和相等， 试卷第4页（共3页） 即AB2+CD=BC2+AD2,请结合图①（四边形ABCD为垂美四边形）证明这个性质： (2)如图②，在长方形ABCD中，AB=6,P是AD边上一点，且AP=2PD,CP⊥BD,求PD的长. D D 图① 图② 20.用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其 中四个直角三角形的直角边长分别为“，(a<) 斜边长为C. 6 H D B 图① 图② (1)请利用图①证明：a2+b2=c2: (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH,若该图形 的周长为80，OB=5,求该图形的面积。 21,已知CD是△4BC的边4B上的高，若CD=5,AD=,MB=24C,求8C的长. 试卷第5页（共3页） 《3.1勾股定理的探究同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B A A 0 B B 11.7 12.V26 13.8 14.6 15.90° 16.(1)解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=AC2+BC2=82+62=100 .AB=10 (2)解：在Rt△DEF中，根据勾股定理，得 DE2+EF2=DF2, 则DE2=DF2-EF2=172-152=64, .DE=8 17.(1)解：：BC=3,AC=5,∠ACB=90°， .AB =JAC2+BC =34 BD=AB=34 由作图，可知 ,点B与数轴原点O重合， :D点表示的实数是 V34 (②)如图，点E表示的实数为V10-2」 BE -3-2-10123→ 构造直角△ABC如图所示，直角边BC落在数轴上，点B表示的数为1，点C表示的数为-2，AB=1,则 BC=3,∠ABC=90° 答案第1页（共2页） 由勾股定理得4C=VP+3?=V10 以点C为圆心， CM长为半径画弧，交数轴于点E,则 CE=AC=v10 ·点E表示的实数为V10-2 18.解：取AB的中点0，由题应可知：OA=O8=D=BC,0E=CD=1时寸。 DC 尺 EO 设OA=OB=D=BC=r寸，则： AB=0A-0B=(x-）寸，AB=2x寸， 在Rt△DEA中，由勾股定理，得：AD=AE2+DE2, :=x-10+102 解得：2x=101, .AB=101寸. 19.(1)证明：四边形ABCD是垂美四边形， .AC⊥BD」 ∴.∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90° 由勾股定理，得AB2=AO2+BO2,CD2=CO2+D02,BC2=B02+C02,AD2=AO2+D02, .AB2+CD2=BC2+AD2 (2)如图，连接PB. P D B 设PD=x,则AP=2xAD=3x, 四边形ABCD是长方形， .CD=AB=6,BC=AD=3x,∠A=90°， BP2=AB2+AP2=62+(2x)2 CP⊥BD, 答案第2页（共2页） ∴四边形BCDP为垂美四边形， ..BP2+CD2 PD2+BC2 62+(2x}+62=x2+(3x)}2, .x2=12 x>0, PD=x=2V3 20.)i证明：由图可知水E形=(b-a}=-2ab+a2 S方=c2-4x,ab=c2-2b ..b2-2ab+a2=c2-2ab .a2+b2=c2 (2)解：由题意得，AB+AH=80÷4=20」 设AH=x,则AB=20-x,OH=OB=5, 在R△OAB中∠AOB=90°，由勾股定理，得OB2+OA2=AB2, 即3+(x+5}=(20-x 解得x=7, 所以，该图形的面积是2×5x(5+7)x4=120 1 21.解：分两种情况： 当△ABC是锐角或直角三角形，如图1， B 图1 ,CD⊥AB .∠CDA=90°. 答案第3页（共2页） CD=3 AD=1 AC=2, AB=2AC, AB=4, .BD=4-1=3, .BC=CD2+BD2=3+()2=23 当△ABC是钝角三角形，如图2， C 图2 同理得：AC=2,AB=4, :.BC=VCD2+BD2=V(W52+52=2万 综上所述，8C的长为25或27 答案第4页（共2页）