3.1勾股定理的探究(第一课时) 同步练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 三级分层设计，覆盖勾股定理从基础应用到综合创新的巩固路径，培养几何直观、推理意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|勾股定理直接应用（边长计算、面积关联）、简单作图|第3题结合数轴作图，强化几何直观；第6题分情况计算，夯实运算能力| |拓展提优|多知识点综合（与正方形面积、角平分线、实际情境结合）|第8题通过正方形面积链，发展推理意识；第14题结合角平分线与垂直，提升模型观念| |智力冲浪|复杂情境与动态问题（最短路径、等腰三角形存在性）|第16题最短路径探究，培养空间观念；第17题动态等腰三角形，激发创新意识|

参考答案 题号 1 2 3 8 9 10 答案 D A C D B C 1．D 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：另一条直角边长为． 2．A 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 3．C 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，即可得到点D表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图得，， ∴， ∴点D表示的数是． 4．或/8或10 【分析】分类讨论，分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. 5． 【分析】过D点作于E点，则，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：过D点作于E点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 由作法得平分， 而，， ∴． 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （2）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案； （3）根据勾股定理，可得，结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 7．(1) (2)小男孩向右移动的距离为. 【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答； （2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意，绳长始终保持不变， 故； （2）解：∵，，，，三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得，， ∵， ∴， 由题意，小男孩向右移动的距离即为的长， 故小男孩向右移动的距离为. 8．D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 9．B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 10．C 【分析】，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 11．/ 【分析】由勾股定理可得的长，再根据作图得出的长，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 12．12 【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∴的周长为． 13． 【分析】先利用勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， ∴． 14．(1)证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点和点 在的垂直平分线上， ∴垂直平分； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质和判定，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定得到，进而得到，，根据垂直平分线的判定方法可证明结论； （2）首先根据三角形全等的性质证明，再利用面积法求出，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，，从而得出，即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，作于，则，由等面积法得出，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，，E为的中点， ∴ ∵，， ∴， 如图，作于， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】在上截取，连接，证明，根据题意，得，故当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，当时，取得最小值，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 设，则， 由勾股定理，得，， 故， 解得， 故， 故的最小值是12． 17．2或3或8 【分析】根据长方形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：，为的中点， ， 四边形是长方形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于，    此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于，    由勾股定理得：， 即；， 所以的长是2或3或8． 答案第4页（共9页） 答案第2页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理（1） 基础过关 1．已知某个直角三角形的斜边长为，一条直角边的长为，则另一条直角边的长为 A． B． C． D． 2．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为 A．6 B．4 C．2 D．8 3．如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是 A． B． C． D． （第1题图） （第3题图） （第5题图） 4．直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 5．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为_________． 6．在中，． (1)若，，求c． (2)若，，求b． (3)若，，求a． 7．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 （第7题图） 拓展提优 8．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是 A．12 B．14 C．15 D．17 9．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为 A．7 B．8 C．9 D．10 （第8题图） （第9题图） 10．图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为 A． B． （第10题图） C． D．3 11．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． （第11题图） （第12题图） 12．如图，已知，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，，则的周长为__________． 13．已知，如图，在中，，，垂足为．若，，求的长． （第13题图） 14．如图，在中， 是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明： 垂直平分． (2)若面积为，．求的周长． （第14题图） 15．如图，已知，，E为的中点，与交点为F， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． （第15题图） 智力冲浪 16．如图，中，，，，平分．M、N分别是、上的点，则的最小值是________． （第16题图） （第17题图） 17．如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为________________ ． 学科网（北京）股份有限公司 $