精品解析：山东济南市历城第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年济南历城二中 高二(上)第一次月考数学卷 2026-10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 2. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 3. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 存在无数个实数符合题意 B. 存在唯一的正整数符合题意 C. 不存在正整数符合题意 D. 不存在任何实数符合题意 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 4. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 5. 空间四边形中，，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】由题知空间四边形中，，，， 且，，如图， 所以， 所以． 故选：D 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 7. 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最大，必须最大，最小. 【详解】如图： 依题意得点在直线上， 点关于直线对称的点, 点在圆关于直线对称的圆上， 则，设圆的圆心为， 因为，， 所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立. 因此，的最大值为4. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法. 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 若直线：与直线：互相平行，则实数或3 【答案】AC 【解析】 【分析】将直线整理为求出定点后可判断A；分截距为0和截距不为0两种情况讨论得到直线方程后判断B； 根据平行条件求出后利用平行线距离公式判断C；根据平行条件求后判断D. 【详解】对于A，将直线方程整理为，令，解得 ，所以直线过定点，A正确； 对于B，当直线在，轴截距为0时，此时直线方程为； 当直线在，轴截距不为0时，设直线方程为，又直线过，所以， 解得，所以直线方程为，B错误； 对于C，由平行条件可得，解得，直线可化为， 所以距离，C正确； 对于D，由得，解得或； 当时，：，：即，此时两直线重合，不符合题意； 当时，：，：，符合题意，D错误. 10. 圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程即可判断A，求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程即可判断B；求出其中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，即可判断C；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值，即可判断D. 【详解】对于A，因为圆，即，则圆心为，半径， 圆，即，则圆心为，半径； 又，则，所以两圆相交， 将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于B，圆的圆心为，又， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C错误； 对于D，为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 过，的平面截正方体所得截面图形的周长为 B. 为平面内的直线，若与所成角的最小角为，则 C. 为正方体内一动点（含边界），总满足且，则的轨迹的长度为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，平面截正方体所得截面为,计算出周长即可；对于B，为平面内的直线，与所成角的最小角为：直线与直线在平面内的射影所成角即直线与平面所成角，使用向量法求出线面角正弦值即可；对于C，作交于点，由于,所以，平面,又为正方体内一动点（含边界），总满足，所以，点在内运动（含边界），又，所以，点的轨迹为以为球心，半径为1的球与的公共部分弧，计算出弧长即可判断；对于D，设三棱锥的外接球心，通过数量关系计算出球心坐标及球半径即可判断. 【详解】以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，那么, , 对于A：平面截正方体所得截面为,的周长为，故A正确； 对于B:为平面内的直线，与所成角的最小角为：直线与直线在平面内的射影所成角即直线与平面所成角， 设平面法向量为,则， 取，则为平面的一个法向量，，故B正确； 对于C：作交于点，由于, 所以，平面,又为正方体内一动点（含边界），总满足， 所以，点在内运动（含边界），又， 所以，点的轨迹为以为球心，半径为1的球与的公共部分弧， 由于,所以，弧长为，故C错误； 对于D：设三棱锥的外接球心， 由于平面,平面,所以, 所以，为直角三角形，设线段中点为,则， 那么， 由可得， 所以，，球半径, ,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】用对称性求关于直线的对称点，再应用点斜式写出直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，即， 依题意在反射光线上，又也在反射光线上， 所以，故所求方程为，整理得． 13. 若圆锥有三条母线互相垂直，则其轴线与母线夹角的正切值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间直角坐标系利用空间向量求解． 【详解】如图所示： 记三条母线为，不妨设，则为等边三角形， ，记的中心为，则， 得点为圆锥底面圆的圆心，则圆锥底面，得圆锥的轴线所在的向量为，母线所在的向量为， 记圆锥的轴线与母线夹角为， 则， 得， 则． 14. 定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的参数方程设出动点坐标，代入题干定义的性质建立参数的表达式，借助三角辅助角公式求出的取值范围，再结合两点间距离公式得到的取值范围． 【详解】因为点在以原点为圆心，为半径的圆上，所以点满足方程， 设点，根据圆的参数方程可知，， 又点，若，两点具有性质， 所以，则， 因为，所以，则， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C：，直线过点． （1）当与圆C相切时，求的方程； （2）已知B是圆C上一动点，点M满足，求点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹 【答案】（1）或． （2），点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆． 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在两种情况表示直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求直线方程； （2）设，根据表示出B点坐标，代入到圆C方程中整理可得点M的轨迹方程. 【小问1详解】 已知圆的圆心是，半径是2， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为，解得，故直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 【小问2详解】 设点，，则由点M满足得即， 所以①，因为点B在圆C上运动，所以②， 将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是． 所以点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆． 16. 如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）如图，连接与交于点，连接， 由三棱柱性质得为的中点，又因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为是二面角的平面角，所以，． 又因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 在中，，，， 由余弦定理得． 所以，得． 又因为，，平面，所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质得到，再利用线面平行的判定定理求证即可； （2）利用二面角的定义和线面垂直的判定定理求出平面，进而求出，再结合余弦定理与勾股定理得到，最后利用线面垂直的判定定理求证即可； （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，平面，， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系． 而，则，，，， 设，则． 所以，． 设平面的法向量为，所以， 令，得， 又因为，所以点到平面的距离为． 17. 设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） （i）由直线，可得， 所以直线恒过直线与直线的交点， 由解得，即直线恒过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）设，化简可得； （2）（i）将直线方程写成过两直线交点的直线方程形式，两直线交点即直线恒过定点；（ii）确定弦最短时直线的方程，求出及点到直线的最大距离，求出面积的最大值. 【小问1详解】 设，则由得，整理得， 即圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（1）圆的方程为，即，圆心，半径. 设直线恒过的定点为N，则当时，弦最短， 由，所以直线的斜率为，方程为，即 此时圆心到直线的距离，弦长. 又点到直线的最大距离为， 所以 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据，，即可根据线线垂直证明平面，即可根据线面垂直的性质求解； （2）利用等体积法即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，即可根据基本不等式求解最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为. 【小问3详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时. 19. 曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，求的值； （2）已知点，点是直线上任意一点，求的最小值； （3）已知在空间直角坐标系中，，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值即可； （3）不妨将平移到处，利用曼哈顿距离定义求得围成的图形为八面体，即可求解其表面积. 【小问1详解】 由题意可得，所以. 【小问2详解】 因为动点为直线上一点，则， 所以， 即 当时，； 当时，； 当时，. 综上，当时，的最小值为2. 【小问3详解】 动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长为的等边三角形， 其表面积为. 证明如下：不妨将平移到处，设， 若，则. 当时，即， 设， 则， 所以四点共面， 所以当时，在边长为的等边三角形内部（含边界）. 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足， 所以满足方程的点， 构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界） 由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年济南历城二中 高二(上)第一次月考数学卷 2026-10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 2. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 存在无数个实数符合题意 B. 存在唯一的正整数符合题意 C. 不存在正整数符合题意 D. 不存在任何实数符合题意 4. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 空间四边形中，，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 D. 若直线：与直线：互相平行，则实数或3 10. 圆和圆的交点为，，则有（　　） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 过，的平面截正方体所得截面图形的周长为 B. 为平面内的直线，若与所成角的最小角为，则 C. 为正方体内一动点（含边界），总满足且，则的轨迹的长度为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 13. 若圆锥有三条母线互相垂直，则其轴线与母线夹角的正切值为_________． 14. 定义：已知，，若，则称，两点具有性质．已知点在以原点为圆心，为半径的圆上，点，若，两点具有性质，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C：，直线过点． （1）当与圆C相切时，求的方程； （2）已知B是圆C上一动点，点M满足，求点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹 16. 如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离． 17. 设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． （1）求圆的方程； （2）若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19. 曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离. （1）已知点，求的值； （2）已知点，点是直线上任意一点，求的最小值； （3）已知在空间直角坐标系中，，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $