山东济南市历城区唐冶中学2026－2027学年上学期九年级9月数学阶段学情自测

2026 唐治中学 9 月九年级月考数学试题 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1.如图所示几何体的俯视图是（ ） 2.如图，AB∥CD∥EF，BC=5，CE=8，则=（ ） A. B. C. D. 3.若关于x的方程x2+mx-6=0有一个根为 2，则另一个根为（ ） A.1 B.-3 C.3 D.-1 4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-1)2+3的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得函数表达式为（ ） A.y=(x+1)2+1 B.y=(x-3)2+5 C.y=x2+3 D.y=x2+1 5.如图，点P是△ABC边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ） A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.= D.= 6.如图，四边形OABC为菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则点B的坐标为（ ） A.(2+,) B.(2-,) C.(-2+,) D.(-2-,) 7.如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方。在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 8. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是 18。则△ABC的面积为（ ） A.64 B.54 C.44 D.34 9. 如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D；②分别以点C和D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F。根据以上作图，若=，BC=5，则线段AE的长为（ ） A. B. C.5 D. 10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③BE+DF=EF；④若点F是DC的中点，则CE=CB；⑤当AE=AF时，=，其中正确的个数是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） 11. 若=，则= 。 12. 二胡是中国老的民族拉弦乐器之一。音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。如图，一把二胡的琴弦AC长为 80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为 cm。 13. 若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 。 14. 如图 1，将边长为 2 的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图 2 所示的图形（点D，G，H，C在同一直线上，点D，F，B在同一直线上），则FG的长为 。 15. 如图，在边长为 6 的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE=2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为 。 三、解答题。 16.(5分 ×2，共 10 分) 解方程 (1)x(x-5)=3x-15; (2)x2-4x-1=0。 17.（8 分）如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足为N。求证：AD=BN。 18.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(2,1)，B(1,-2)。 （1）画出△OAB向上平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由。 19.（12 分）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系。 【素材呈现】素材 1：世界杯期间，某商店以每个 30 元的成本价新进一批玩偶。 素材 2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为 50 元时，每天可卖出 100 个，在此基础上，售价每降低 1 元，该玩偶每天可多卖出 10 个。 素材 3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润。 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为 40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是 2240 元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到 2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由。 20.（8 分）已知函数y=(m-1)+4x-5是二次函数。 （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当-1≤x≤2时，y的最大值为 ，最小值为 。 21.（10 分）定义：设x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1+x2|=|x1·x2|，则称此类方程为 “和谐方程”。例如，方程x2=0是 “和谐方程”。 （1）下列方程是 “和谐方程” 的是____。 ①x2-x=0；②x2-4x+4=0；③(x+1)(x-)=0。 （2）若方程x2-(m+2)x+2m=0是 “和谐方程”，求m的值。 （3）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)为 “和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系。 22.（10 分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE。 （1）求证：AE2=EF·BE； （2）若AE=2，EF=1，求BF的长。 23.（12 分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，现有动点P从点C出发，沿CA方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿BC方向向点C运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）填空：CP= ，CQ= ；（用含t的代数式表示） （2）当t为多少时，PQ平分△ABC面积； （3）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似。 24.（12 分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM。 （1）【问题发现】如图 1，当n=1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为 ； （2）【类比探究】如图 2，当n=2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB=4，AP=2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长。 答案 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1.如图所示几何体的俯视图是（ B ） 2.如图，AB∥CD∥EF，BC=5，CE=8，则=（ C ） A. B. C. D. 3.若关于x的方程x2+mx-6=0有一个根为 2，则另一个根为（ B ） A.1 B.-3 C.3 D.-1 4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-1)2+3的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得函数表达式为（ A ） A.y=(x+1)2+1 B.y=(x-3)2+5 C.y=x2+3 D.y=x2+1 5.如图，点P是△ABC边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ D ） A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.= D.= 6.如图，四边形OABC为菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则点B的坐标为（ D ） A.(2+,) B.(2-,) C.(-2+,) D.(-2-,) 7.如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方。在此过程中，他的影子会（ D ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 8. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是 18。则△ABC的面积为（ B ） A.64 B.54 C.44 D.34 9. 如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D；②分别以点C和D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F。根据以上作图，若=，BC=5，则线段AE的长为（ A ） A. B. C.5 D. 10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③BE+DF=EF；④若点F是DC的中点，则CE=CB；⑤当AE=AF时，=，其中正确的个数是（ B ） A.5 B.4 C.3 D.2 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） 11. 若=，则= 。 12. 二胡是中国老的民族拉弦乐器之一。音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。如图，一把二胡的琴弦AC长为 80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为 （40﹣40） cm。 13. 若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜0且m≠﹣1 。 14. 如图 1，将边长为 2 的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图 2 所示的图形（点D，G，H，C在同一直线上，点D，F，B在同一直线上），则FG的长为 3﹣ 。 15. 如图，在边长为 6 的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE=2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为 。 三、解答题。 16.(5 分 ×2，共 10 分) 解方程 (1)x(x-5)=3x-15; (2)x2-4x-1=0。 解：（x﹣5）（x﹣3）=0 x= x1=5，x2=3 x=2± x1=2+，x2=2﹣ 17.（8 分）如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足为N。求证：AD=BN。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴D=90°，CD∥AB，∠AMD=∠BAN， ∵BN⊥AM， ∴∠ANB=90°，∠D=∠ANB=90° 在△AMD和△BAN中， ∴△AMD≌△BAN(AAS)， ∴AD=BN。 18.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(2,1)，B(1,-2)。 （1）画出△OAB向上平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位后得到的△O1A1B1； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1； （3）判断△O1A1B1和△OA2B2是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由。 （1）（2）如图所示 （3）△O1A1B1和△OA2B2是位似图形.理由如下.如图所示,连接A2A,B2B,OO,并延长交于一点，:.这个点即为位似中心，坐标为(-4,2). 19.（12 分）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系。 【素材呈现】素材 1：世界杯期间，某商店以每个 30 元的成本价新进一批玩偶。 素材 2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为 50 元时，每天可卖出 100 个，在此基础上，售价每降低 1 元，该玩偶每天可多卖出 10 个。 素材 3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润。 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为 40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是 2240 元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到 2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由。 （1）200 2000 (2) 设该玩偶的售价为x元。 当售价为x元时，相比 50 元降低了(50-x)元，则多卖出的数量为10(50-x)个， 所以每天的销售量为(100+10(50-x)=100+500-10x=600-10x（个）。 已知利润为 2240 元，根据利润公式可列出方程(x-30)(600-10x)=2240。 解得x1=46，x2=44。 答：该玩偶的售价为 44 元或 46 元。 (3) 设该玩偶的售价为y元，每天的销售量为100+10(50-y)=600-10y（个）。 若利润达到 2500 元，则可列出方程(y-30)(600-10y)=2500。 整理得y2-90y+2050=0。 ∵△=b2-4ac=(-90)2-4×1×2050=8100-8200=-100<0。 因为△<0，所以此方程无实数根，即商店每天销售该玩偶的利润不能达到 2500 元。 20.（8 分）已知函数y=(m-1)+4x-5是二次函数。 （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当-1≤x≤2时，y的最大值为 ，最小值为 。 (1) 由题意可知，函数y=(m-1)+4x-5)是二次函数， ∴ 解得m2=1，即m=1或m=-1。 又∵m≠1， ∴m=-1。 (2)当m=-1时，该二次函数的解析式为：y=-2x2+4x-5 ∵a=-2,b=4,c=-5 ∴对称轴为直线x=-=1。 当x=1时，y=-3。 ∴顶点坐标为(1,-3)。 (3)-11 ﹣3 21.（10 分）定义：设x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1+x2|=|x1·x2|，则称此类方程为 “和谐方程”。例如，方程x2=0是 “和谐方程”。 （1）下列方程是 “和谐方程” 的是____。 ①x2-x=0；②x2-4x+4=0；③(x+1)(x-)=0。 （2）若方程x2-(m+2)x+2m=0是 “和谐方程”，求m的值。 （3）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)为 “和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系。 （1）②③ (2)∵x1+x2=m+2,x1·x2=2m， ∵方程x2-(m+2)x+2m=0是 “和谐方程”， ∴|m+2|=|2m|， ∴(m+2)2=4m2， 即3m2-4m-4=0， 解得：m=2,m=-； (3) 对于ax2+bx+c=0(a≠0)， 则x1+x2=-,x1·x2=， ∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)为 “和谐方程”， ∴=|| ∴|b|=|c|，即b2=c2或b=±c。 22.（10 分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE。 （1）求证：AE2=EF·BE； （2）若AE=2，EF=1，求BF的长。 (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠ACB=∠EAF ∵∠ACB=∠ABE ∴∠EAF=∠ABE 又∵∠AEF=∠BEA ∴△AEF∽△BEA ∴= ∴AE2=EF·BE (2) 解：将AE=2,EF=1代入AE2=EF·BE，得22=1×BE ∴BE=4 ∴BF=BE-EF=4-1=3 答：BF的长为 3。 23.（12 分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，现有动点P从点C出发，沿CA方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿BC方向向点C运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）填空：CP= ，CQ= ；（用含t的代数式表示） （2）当t为多少时，PQ平分△ABC面积； （3）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似。 （1）2t 12﹣t (2) 解：由题意得，△ABC\)的面积为： S△ABC=AC·BC=×9×12=54cm2 若PQ平分∠ABC面积，则△PCQ的面积为： S△PCQ=S△ABC=27cm2 在Rt△PCQ中，CP=2t,CQ=12-t，则： CP·CQ=27 ·2t·(12-t)=27 t2-12t+27=0 解得：t1=3,t2=9 因为点P到达终点A的时间为9÷2=4.5秒，点Q到达终点C的时间为12÷1=12秒，且当有一点到达终点时运动停止，所以0<t＜4.5。 因为t=9>4.5，所以t=9舍去。 答：当t为 3 时，PQ平分△ABC面积。 (3) 24.（12 分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM。 （1）【问题发现】如图 1，当n=1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为 ； （2）【类比探究】如图 2，当n=2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB=4，AP=2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长。 (1)CM=BP (2)CM=BP的数量关系不变。理由如下： 当n=2时，AB=2BC， 则==， ∴BC=AB,PM=AP， 由勾股定理可得AC=AB，AM=AP， ∴== ∴AC=AB,AM=AP ∈CM=AC-AM=(AB-AP)=BP， 由旋转可得∠CAB=∠MAP， 即∠BAP+∠CAP=∠CAM+∠CAP， ∴∠BAP=∠CAM， ∴△ABP∽△ACM ∴==， ∴CM=BP. 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