精品解析：陕西宝鸡市渭滨区宝鸡高新第一初级中学2026-2027学年度上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026-2027第一学期第一次月检测 九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. 0.11 B. 1.19 C. 1.73 D. 1.67 【答案】D 【解析】 【详解】由表中的信息可知： 当时，；当时，， ∴方程有一个解在1.6至1.7之间， 故选D. 3. 顺次连结对角线相等的四边形的四边中点所得图形是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，画出图形，根据中位线的性质得到所得图形的四边相等且对边平行，即可得到所得图形为菱形，熟知三角形中位线平行且等于底边的，是解题的关键． 【详解】解：如图，分别是四边形的边的中点， 连接， 根据三角形的中位线定理， ，， ∵四边形的对角线相等， ， ， 四边形是菱形． 故选：C． 4. 已知线段a、b、c满足，其中a=4cm、b=12cm，则c的长度为( ) A. 9cm B. 18cm C. 24cm D. 36cm 【答案】D 【解析】 【分析】将a，b的值代入计算即可求出c的长度． 【详解】解：∵，a＝4cm，b＝12cm， ∴， ∴c＝36cm， 故选：D． 【点睛】此题考查了成比例线段，正确计算是解题的关键． 5. 将方程配方成的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 6. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根则k≠0，△＞0得到关于k的不等式，求出k的取值范围，然后找到最小的整数值即可； 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＞﹣1且k≠0，∴最小的整数值为1． 故选C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 7. 温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．若平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( ) A. 8000（1+x）2=40000 B. 8000+8000（1+x）2=40000 C. 8000+8000×2x=40000 D. 8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：设平均每月的增长率为x， 则十一月份的营业额为8000（1+x）， 十二月份的营业额为8000（1+x）2， 由此列出方程：8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000． 故选D． 8. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可列式作答． 【详解】解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5， ∴，即 ∵乙把常数项看错了，解得两根为和， ∴，即 A、因为，所以，，故该选项是错误的； B、因为，所以，，故该选项是错误的； C、因为，所以，，故该选项是错误的； D、，所以，，故该选项是正确的； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DG＝AB，根据三角形中位线定理得到MN＝FG，由勾股定理求出FG即可得到MN． 【详解】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG， 如图所示: ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM， ∵M为DE的中点， ∴ME＝MD， 在△AEM和GDM中， ， ∴△AEM≌△GDM（AAS）， ∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD， ∴CG＝CD＝2， ∵点N为AF的中点， ∴MN＝FG， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FG＝， ∴MN＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的中位线定理,正确作出辅助线且证出AM＝MG是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解是_____； 【答案】 ， 【解析】 【分析】将方程移项后提取公因式因式分解，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：移项得 ， 提取公因式得 ， 可得 或 ， 解得 ，． 12. 若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值问题，解题的关键是用表示出，利用消元的思想求解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 一元二次方程．的一个实数根为，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值，根据一元二次方程解的定义，可得，再代入，即可求解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 【详解】∵的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，AD=6，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由，，可求，，由折叠可知，得出，为的直角三角形；由可知，，，由折叠的性质得，等量代换后判断为等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在中， ∵ ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴为等边三角形， 由折叠可知：BE=DE， ∵， ∴， ∵AD=6， ∴DE=BE=4， 故． 故答案为：4． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 15. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  【答案】 【解析】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共11小题） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴原方程的根为； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得或， ∴原方程的根为； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得或， ∴原方程的根为． 17. 已知，且，求x、y、z的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质，设，得到，代入解答即可． 本题考查了比例的基本性质，设是解题的关键． 【详解】解：设，则， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于x的方程：的一个根为，求m的值及另一个根． 【答案】 的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】用方程的根的定义代入已知根求，再解方程求另一根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ， 解得， 将代入原方程，得， 解得，， ∴方程的另一个根为． 19. 如图，已知是矩形的对角线，E在线段上，F在线段上，求作菱形． 【答案】 如图： 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，连接，交于点，交于点，交于点，连接，，则菱形即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，连接，交于点，交于点，交于点，连接，， 由作图可知，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 则菱形即为所求． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ∵方程有两个不等实数根 即， ； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ， ． 21. 在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC． 【答案】 证明：连接DE． ∵AD=AE， ∴∠AED=∠ADE． ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，∠C=90°． ∴∠ADE=∠DEC， ∴∠DEC=∠AED． 又∵DF⊥AE， ∴∠DFE=∠C=90°． ∵DE=DE， ∴△DFE≌△DCE． ∴DF=DC． 【解析】 【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90°，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题． 【详解】略 【点睛】考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质． 22. 为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒，若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利2250元？ 【答案】（1）三、四这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每盒降价10元时，这种农产品在五月份可获利2250元 【解析】 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，利用四月份的销售量二月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设农产品每盒降价元，则每盒的销售利润为元，五月份可售出盒，利用五月份的销售总利润每盒的销售利润五月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 设农产品每盒降价元，则每盒的销售利润为元，五月份可售出盒， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当农产品每盒降价10元时，这种农产品在五月份可获利2250元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； 【小问2详解】 解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为； 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 24. 用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为； （2） 不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【小问1详解】 解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； 【小问2详解】 略 25. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后由菱形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）首先证明是等边三角形，求出，，然后利用矩形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 26. 问题提出 （1）如图1，一点是矩形内部一点，且，，延长交于点，连接，则的度数为________； 问题解决 （2）如图2，在菱形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在菱形内部），延长交于点，连接，，求的度数； 拓展探究 （3）如图3，在正方形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在正方形内部），连接，，过点作交的延长线于点，交于点，当是等腰直角三角形时，求的长度及五边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）当的长度为或时，五边形的面积为110 【解析】 【分析】题目主要考查矩形、菱形、正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质及等边对等角，进行等量代换求解即可； （2）根据菱形及旋转的性质得出，再由各角之间的关系求解即可； （3）根据题意得出，然后分两种情况分析：和，作出相应图形，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵菱形，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）根据题意，点P在正方形内，由（2）得， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形时，分为和两种情况， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 当时，在上截取， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理得：，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴当的长度为或时，五边形的面积为110． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027第一学期第一次月检测 九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A. 0.11 B. 1.19 C. 1.73 D. 1.67 3. 顺次连结对角线相等的四边形的四边中点所得图形是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都不对 4. 已知线段a、b、c满足，其中a=4cm、b=12cm，则c的长度为( ) A. 9cm B. 18cm C. 24cm D. 36cm 5. 将方程配方成的形式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 7. 温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．若平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( ) A. 8000（1+x）2=40000 B. 8000+8000（1+x）2=40000 C. 8000+8000×2x=40000 D. 8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000 8. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ） A. B. 2 C. D. 2 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 方程的解是_____； 12. 若，则_________． 13. 一元二次方程．的一个实数根为，则的值是____． 14. 如图，在矩形中，AD=6，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为__________． 15. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  三、解答题（共11小题） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； 17. 已知，且，求x、y、z的值． 18. 已知关于x的方程：的一个根为，求m的值及另一个根． 19. 如图，已知是矩形的对角线，E在线段上，F在线段上，求作菱形． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21. 在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC． 22. 为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒，若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利2250元？ 23. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 24. 用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 25. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 26. 问题提出 （1）如图1，一点是矩形内部一点，且，，延长交于点，连接，则的度数为________； 问题解决 （2）如图2，在菱形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在菱形内部），延长交于点，连接，，求的度数； 拓展探究 （3）如图3，在正方形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在正方形内部），连接，，过点作交的延长线于点，交于点，当是等腰直角三角形时，求的长度及五边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $