精品解析：江苏省南京市秦淮区钟英中学2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市秦淮区钟英中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的半径是，线段，则点（　　） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内．根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内，点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上，点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：点到圆心距离，则点P在内， 故选：C． 2. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：x（2x-1）=4， 2x2-x=4， 2x2-x-4=0． 故选D． 3. 一元二次方程的两根是，，则，的值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：，，，， ，， 故选A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算求出根的判别式△的值，再根据△的值来判断根的情况即可. 【详解】解：∵由题意得：中：，，， ∴ ， ∵， ∴方程没有实数根. 故选：D. 【点睛】本题主要考查判断一元二次方程根的情况，解题的关键是要理解一元二次方程根的情况是由根的判别式的值判断：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根. 5. 如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（　　） A. 5mm B. 6mm C. 8mm D. 10mm 【答案】C 【解析】 【分析】连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，先根据钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm求出OA及OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，由垂径定理即可得出结论． 【详解】 解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D， ∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OA=5mm，OD=8-5=3mm， ∵OD⊥AB， ∴在Rt△OAD中，AD===4mm， ∴AB=2AD=8mm． 故选C． 【点睛】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6. 如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（    ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 二、填空题：本题共11小题，共28分． 7. 一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 8. 若是方程的一个根，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，将m代入方程后进行整理即可． 【详解】解：的一个根是， 则， ， ∴． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：且， 故答案为：且． 10. 若关于的方程的解为，则方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知，或3，从而求解 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴方程的解为或3， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的概念，正确理解概念，利用换元法解方程是解题关键． 11. 如图所示圆中，为直径，弦，垂足为．若，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接，设，则，再根据勾股定理得，即，解得，进而可得出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 为直径，弦， ， 设，则， ，即， 解得，即， ， ， 故答案为：． 12. 数据显示，南京市月新房成交量是套，月份高达套，若月成交量平均增长率为，则可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．由已知可求出月份新房成交量：， 月份新房成交量：，再结合已知即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得月份新房成交量：， 月份新房成交量：， ∴． 故答案为． 13. 在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x人，则可列得方程_________． 【答案】 x (x－1) ＝28 【解析】 【详解】试题解析：参加聚会的有人，每个人都要握手次，可列方程为： 故答案为 14. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，则可列方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道进出口的宽度为，利用平移性质的应用得到种植花草的实际图形的面积就是长、宽分别为、新矩形的面积，由种植花草的面积为，即可列出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．根据题意得到种植花草的实际图形是一个新矩形是解题的关键． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， ， 整理，得：． 故答案为：． 15. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设这种台灯的售价定为x元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程． 【详解】解：设这种台灯的售价定为x元， 则每个利润为元，每月销售量减少个， 则每月销量为个， 由题意得． 16. 某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品，使产量增长到．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，设今年平均亩产量的增长率为，则可列方程__．（无需化简） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．根据增长后的产量=增长前的产量（增长率），设今年平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解． 【详解】解：设今年平均亩产量的增长率为，则今年种植面积的平均增长率为． 根据题意，得． 故答案为：． 17. 如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，， ∴点P、B、M、C共线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （4）根据解分式方程的步骤，对所给分式方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 则， 故； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则或， 故，； 【小问3详解】 解：， ， ， 则或， 故； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， 则或， 所以， 当时，， 所以是原分式方程的增根； 当时，， 故是原分式方程的解． 19. 如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点M，求证：， 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理．连接，根据垂径定理，即可求解． 【详解】证明：连接， ∵， 平分， ∴， ∴， ∵是直径， ∴． 20. 如图，点、、、在⊙上，，，连接． 求证：是⊙的直径． 【答案】见解析 【解析】 【分析】如图，连接BC，证明 即可． 【详解】证明：连接BC． ∵ ∴∠ABD=∠CBD， ∵， ∴， ∴AC是⊙的直径． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，90°的圆周角，所对的弦是直径． 21. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】证明：连接AC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质、圆周角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22. 已知：如图，四边形是的内接四边形，，求证：（不允许用全等来证明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知易得：，从而根据等弧所对的圆周角，然后利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：连接， ， ， ，   23. 如图，中， （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的外接圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【小问1详解】 解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． 【小问2详解】 解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 24. 如图，是的内接四边形的一个外角，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角得到，由圆周角定理得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到答案． 【详解】证明：是的内接四边形的一个外角， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，若所在平面内有一点D，满足，，利用尺规求作点D（不写画法，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图，复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先作和的垂直平分线，它们相交于点O，再以O点为圆心，为半径作，然后以B点为圆心，为半径画弧交于点D，根据圆周角定理得到． 【详解】解：如图，点D为所作． 26. 如图，、是锐角的高，连接．求证：请用隐圆解决问题 【答案】见解析 【解析】 【分析】取的中点M，连接、，只要证明B、C、D、E四点共圆，可得，，即可推出．解答本题的关键是学会证明四点共圆，利用圆的性质解决有关问题． 【详解】证明：取的中点M，连接、，如图， 、是锐角的高， ， 在中，M是中点， ， 在中，， ， 四点共圆， ， ，  ． 27. 我们知道，各类方程的解虽然形尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 认识新方程： 像这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得，，但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是 运用以上经验，解下列方程： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2）或； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了无理方程的解法，换元法，本题是阅读型题目，正确利用题干中的方法解答是解题的关键． （1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案； （2）设，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案； （3）设，则，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案． 【小问1详解】 解：移项得：， 两边平方，得：， 整理得：， 解得； 经检验是增根， 所以原方程的根为：； 【小问2详解】 解：原方程化为：， 设， 原方程变为：， 解得：或（不合题意，舍去） 当时，， 两边平方，得：， 整理得：， 解得，， 经检验它们都是原方程的根， 所以原方程的根为：或； 【小问3详解】 解：设，则， 原方程变为：， 去分母得：， 解得， 当时，， 当时，， ； 经检验它们都是原方程的根， 原方程的根为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京市秦淮区钟英中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的半径是，线段，则点（　　） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 2. 将一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两根是，，则，的值分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（　　） A. 5mm B. 6mm C. 8mm D. 10mm 6. 如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（    ） A. 4 B. 2 C. D. 二、填空题：本题共11小题，共28分． 7. 一元二次方程的解是______． 8. 若是方程的一个根，则__________． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___． 10. 若关于的方程的解为，则方程的解为___________． 11. 如图所示圆中，为直径，弦，垂足为．若，，则____． 12. 数据显示，南京市月新房成交量是套，月份高达套，若月成交量平均增长率为，则可列方程__________． 13. 在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x人，则可列得方程_________． 14. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，则可列方程为________ 15. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 16. 某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品，使产量增长到．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，设今年平均亩产量的增长率为，则可列方程__．（无需化简） 17. 如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 19. 如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点M，求证：， 20. 如图，点、、、在⊙上，，，连接． 求证：是⊙的直径． 21. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点，且．求证：． 22. 已知：如图，四边形是的内接四边形，，求证：（不允许用全等来证明） 23. 如图，中， （1）用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的外接圆的半径． 24. 如图，是的内接四边形的一个外角，且．求证：． 25. 如图，若所在平面内有一点D，满足，，利用尺规求作点D（不写画法，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑） 26. 如图，、是锐角的高，连接．求证：请用隐圆解决问题 27. 我们知道，各类方程的解虽然形尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 认识新方程： 像这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得，，但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是 运用以上经验，解下列方程： （1）； （2）； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $