精品解析：天津益中学校2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段性学情调研

2026-2027-1益中学校九年级阶段性学情调研 数学学科 本场考试用时100分钟．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为第1题至第12题，第Ⅱ卷为第13题至第25题．试卷满分120分． 答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将“答题卡”交回．祝您考试顺利！ 一、选择题（12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2）进行判断即可． 【详解】解：选项A：是一元一次方程，不符合题意； 选项B：，可化为，是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； 选项C：，不是整式方程（分母含未知数），不是一元二次方程，不符合题意； 选项D：，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，将根代入方程求解的值． 【详解】是方程 的根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 4. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A. 图象的对称轴为直线 B. 图象顶点的坐标为 C. 图象与轴有两个交点 D. 图象与轴交点坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，可直接读出对称轴和顶点坐标，并通过计算判断与坐标轴的交点情况即可． 【详解】解：根据题意得，二次函数是顶点式， 则对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴为，说法正确； 选项B：顶点坐标应为，而非，说法错误； 选项C：令，则，即， ∴，无实数根，故与轴无交点，说法错误； 选项D：令，则，则与轴交点为，而非，说法错误； 故选：A． 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 6. 二次函数的图象过点，和点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求得对称轴，然后根据对称轴和增减性即可判断． 【详解】解：二次函数的图象过点，点和点， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ，， ， ， 故选：C． 7. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 【详解】解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 9. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表格可知随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：观察表格可知，随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数， ∴一元二次方程的一个近似解在和之间，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用、一元二次方程的解法．铅球落地时高度，解二次方程求x的正根即可． 【详解】解：当时， 令，得方程， ， 解得（水平距离为正，舍去负根）， 综上，推出铅球的水平距离为， 故选：B． 11. 如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 二、填空题（6题，每题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式 的图象，根据二次函数 的顶点坐标是 ， 即可求出． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 14. 把变成一般式，二次项系数为_____，一次项系数为____，常数项为______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】 所以二次项系数：， 一次项系数：， 常数项：． 故答案为：；；． 15. 一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，设矩形的宽为，则长为 ，根据面积公式列出一元二次方程，求解得到宽和长，再计算周长； 【详解】解：设矩形的宽为，则长为 ， 由题意得，整理得； 解得或（舍去负值）； ∴宽为8，长为， ∴矩形的周长为； 故答案为： 16. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 17. 某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】飞机停下来时滑行距离取得最大值，该函数为开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，求出顶点横坐标即可得到停下所需的时间． 【详解】解：整理函数得 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应飞机停下的时刻， 二次函数的顶点横坐标为， 将 代入得， 即该型号飞机着陆后需要滑行才能停下来． 18. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有________．（写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：，， ∵ ∴， ∴，故①正确； 当时，，即， 当时，，即， ∴ 则 即 ∴所以②正确； ③当时，y的值最大．此时， 而当时，，其中， 所以 故， 即，故③错误． ④由对称知，当时的函数值与时的函数值相等，即，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（7题，19-20每题8分，21-25每题10分，共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法和配方法是解题的关键． （1）移项后提取公因式，利用因式分解法计算即可； （2）移项整理后，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或， ∴． 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴． 20. 已知二次函数．若二次函数图象经过点． （1）写出该二次函数图象上与对称的点的坐标_____． （2）求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． （3）当时，求函数的最大值与最小值的差_____． 【答案】（1） （2），顶点坐标为 （3）8 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的最值．熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出对称轴，再由对称性求解即可； （2）把代入，求出，即可求出函数解析式，再配方成顶点式，求出顶点坐标； （3）根据解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时 ，函数有最大值为5，当时，，当时，，则当时，函数的最大值为5，最小值为，即可求解． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， ∵二次函数图象经过点， ∴二次函数图象上与对称的点的坐标是，即； 【小问2详解】 解：把代入， 得 解得：， ∴二次函数的解析式为 ∵ ∴顶点坐标为； 【小问3详解】 解： ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时 ，函数有最大值为5， 当时， 当时，， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为， ∴函数的最大值与最小值的差为． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 解：依题意， ， 无论取任何实数，该方程总有实数根． （3） 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解方程，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，解得，． （2）理解题意，则，即可作答． （3）先理解题意，则，，再结合，故，解得的值，即可作答． 【小问1详解】 解：当时，， 即． 得． ∴，或． 即，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∵， ． ∴ 解得． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 【答案】（1）， （2）元或元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意找到题目中蕴含的等量关系并列方程求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 23. 小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为，长为，最高处点P到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中表示抛物线上任一点到地面的高度，表示抛物线上任一点到隧道一边的距离． （1）求抛物线的解析式． （2）为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在之间，高度应在之间，小明发现隧道为单行道，一货车沿隧道中线行驶，宽为，货车的最高处与隧道上部的竖直距离约为，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定． 【答案】（1） （2）这辆货车的高度不否符合规定． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）有题意可得：， ，然后运用待定系数法即可解答； （2）由题意可得：点，设D点坐标为，然后代入解析式求得d，即，再根据线段的和差求得，然后判断是否符合规定即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 设该抛物线的解析式为： 将代入可得： ，解得：， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由题意可得：点， 设D点坐标为，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴这辆货车的高度不否符合规定． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B． （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为． ①当时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②矩形沿轴向右平移的过程中，求面积的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）（2，2）；（Ⅱ）①当时，；当时，；②． 【解析】 【分析】（1）过点作，分别计算出OH，BH即可得解； （2）①分两种情况计算即可；②当时，面积最大，列出关于t的二次函数计算即可； 【详解】解：（Ⅰ）如图，过点作，垂足为． 由点，得． ∵，， ∴． ∴． ∴点的坐标为． （Ⅱ）①如图所示： 当时， ∵，， ∴， ∴； 当时， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示， 当时面积最大， 此时，，， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移综合，二次函数最值求解，准确计算是解题的关键． 25. 已知抛物线（b 是常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为． ①当点落在该抛物线上时，求m的值； ②当点落在第二象限内，取得最小值时，求m 的值及这个最小值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）① 或 ；② ，最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，即得答案； （2）①先求出点P关于原点的对称点的坐标，再将点P和的坐标分别代入，得到方程组求解即可； ②先求出，再求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①关于原点的对称点为， ， 将点P和的坐标分别代入， 得， 解得或， 或 ； ②为抛物线上的一个动点， ， ， 点落在第二象限内， ，， ，， 抛物线的顶点坐标为， ， ，， ，当时，有最小值， 此时， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，中心对称的性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027-1益中学校九年级阶段性学情调研 数学学科 本场考试用时100分钟．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为第1题至第12题，第Ⅱ卷为第13题至第25题．试卷满分120分． 答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将“答题卡”交回．祝您考试顺利！ 一、选择题（12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A. 图象的对称轴为直线 B. 图象顶点的坐标为 C. 图象与轴有两个交点 D. 图象与轴交点坐标为 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象过点，和点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ） A. B. C. D. 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（6题，每题3分，共18分） 13. 抛物线的顶点坐标为______． 14. 把变成一般式，二次项系数为_____，一次项系数为____，常数项为______． 15. 一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为__________． 16. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 17. 某一型号的飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的函数关系是，该型号飞机着陆后需要滑行________s才能停下来． 18. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有________．（写序号） 三、解答题（7题，19-20每题8分，21-25每题10分，共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知二次函数．若二次函数图象经过点． （1）写出该二次函数图象上与对称的点的坐标_____． （2）求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． （3）当时，求函数的最大值与最小值的差_____． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 23. 小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为，长为，最高处点P到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中表示抛物线上任一点到地面的高度，表示抛物线上任一点到隧道一边的距离． （1）求抛物线的解析式． （2）为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在之间，高度应在之间，小明发现隧道为单行道，一货车沿隧道中线行驶，宽为，货车的最高处与隧道上部的竖直距离约为，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B． （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为． ①当时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②矩形沿轴向右平移的过程中，求面积的最大值（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（b 是常数）经过点． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为． ①当点落在该抛物线上时，求m的值； ②当点落在第二象限内，取得最小值时，求m 的值及这个最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $