专题一·期中综合复习·培优讲义（整式计算乘法公式因式分解）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题一·期中综合复习·培优讲义（整式计算乘法公式因式分解） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式、多项式、同类项等基本概念 · 掌握幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） · 熟练运用完全平方公式与平方差公式计算 · 掌握提公因式、公式法、十字相乘等因式分解方法 · 能综合运用整式运算解决规律探究与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.单项式与多项式 单项式：数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式；系数是数字因数，次数是字母指数之和 多项式：几个单项式的和，次数是最高次项的次数 同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，常数项都是同类项 概念辨析例题：单项式-的系数和次数分别是多少？ 答案：系数是-，次数是3 解析：系数为数字因数-；次数为字母指数之和2+1=3 ☆ 2.幂的运算 同底数幂相乘：am·an=am+n；相除：am÷an=am-n（a≠0） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=anbn 逆用公式：am+n=am·an，anbn=(ab)n 概念辨析例题：计算：(-2a2)3 答案：-8a6 解析：(-2)3·(a2)3=-8a6 ☆ 3.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 变形应用：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 概念辨析例题：若x+y=7，xy=2，求x2+y2的值 答案：45 解析：x2+y2=(x+y)2-2xy=49-4=45 ☆ 4.因式分解 因式分解是把多项式化成几个整式乘积的形式，与整式乘法互逆 方法：提公因式、平方差a2-b2=(a+b)(a-b)、完全平方、十字相乘、分组分解 分解要彻底，结果中每个因式不能再分解 概念辨析例题：因式分解：x2-10xy-24y2 答案：(x-12y)(x+2y) 解析：十字相乘：找两个数积为-24、和为-10，即-12与2，故(x-12y)(x+2y) 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 单项式 数与字母的积 次数为字母指数之和 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项 同底数幂 am·an=am+n 底数不变指数相加 乘法公式 (a±b)2、(a+b)(a-b) 认清a、b整体 因式分解 与整式乘法互逆 分解要彻底 同类项 字母相同指数相同 常数项都是同类项 ⚠️ 核心考点 【考点1】单项式与多项式的基本概念 · 系数只含数字因数（含符号） · 次数是所有字母指数之和 · 常数项都是同类项 1．（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）下列说法中错误的是（    ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 4．（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 【考点2】幂的运算 · 同底数幂乘除指数相加、相减 · 幂的乘方指数相乘 · 逆用公式化简求值 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 9．（23-24九年级下·上海崇明·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 12．（2025·安徽·二模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 13．（26-27七年级上·上海·期中）______． 14．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：的结果是______． 16．（24-25七年级上·上海·阶段检测）______． 【考点3】整式的乘法 · 单项式乘单项式系数相乘、字母分别相乘 · 单项式乘多项式用分配律 · 多项式乘多项式逐项相乘再合并 17．（25-26六年级上·上海·阶段检测）化简的结果为（   ） A．0 B． C．m D．以上答案都不对 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 19．（第04讲整式的乘法（3个知识点 3种题型 过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024））计算：____． 20．（24-25七年级上·上海·期中）计算（直接写出答案） （1） _______； （2） _______； （3） _______； （4）_______； （5） _______； （6） _______． 21．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为______． 22．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算： _________________． 23．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：． 【考点4】乘法公式及其应用 · 平方差公式判断相同项与相反项 · 完全平方公式注意中间项2ab符号 · 变形求值：a2+b2=(a+b)2-2ab 24．（22-23七年级下·广西桂林·期中）设，且，则（　　） A． B． C．674 D．673 25．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 26．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 28．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）计算：________． 29．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知正方形内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为，宽为，按图1摆放的阴影面积为，按图2摆放的阴影面积为，按图3摆放的阴影面积为．若，，，则的值为________． 30．（23-24七年级下·甘肃张掖·期中）不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于______． 31．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，那么____________． 32．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 【考点5】因式分解 · 先提公因式 · 再用公式法、十字相乘 · 分组分解处理四项式 33．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 35．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长______． 36．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 37．（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：___． 38．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 39．（2025七年级上·上海·专题练习）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【考点6】整式的实际应用 · 用代数式表示数量关系 · 结合图形面积列式 · 化简后求值 40．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）某文具店计划采购自动铅笔、中性笔、记号笔共100支作为促销赠品（每种至少采购1支）、已知自动铅笔每支进价为2元，中性笔每支进价为4元．且采购的记号笔数量是自动铅笔数量的2倍．如果用于采购的总费用与自动铅笔数量无关，那么记号笔每支进价是（    ） A．3元 B．4元 C．5元 D．6元 41．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则． A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅰ错，Ⅱ，Ⅲ对 D．只有Ⅰ对 42．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知非零有理数，满足，则______． 43．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知有理数在数轴上的位置，则____． 44．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【考点7】数字规律与阅读探究 · 观察项与序号的关系 · 赋值法求系数和 · 按阅读材料方法迁移应用 45．（25-26六年级上·上海普陀·期末）新定义：设是不为2的有理数，则我们把称为的“奇特数”．如：4的“奇特数”是的“奇特数”是．已知是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，…以此类推，则等于（  ） A．4 B． C． D． 46．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）材料节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．则的计算结果各项系数之和为（   ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，前n天截取的木棍总长度为（　　）尺 A． B． C． D． 48．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，，，若分裂后，若其中最大的奇数是a，则a可用m的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 49．（2024·上海杨浦·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 则从上往下数第行，左边第二个数是_____． 50．（25-26六年级上·上海·期末）如图所示，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．若用表示电路上个电子元件所有不同的“开”、“关”状态数，则之间的关系式可以表示为____． 51．（25-26六年级上·上海·期末）如图，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，共5个原子；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，共8个原子；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，共11个原子；…；按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中原子的个数是_____． 52．（2024·上海·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，第一次对折后的图形面积为，第二次对折后面积为，以此类推，第n次对折后得到图形面积为，则_____． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念题紧扣定义逐项判断 · 幂的运算先分清属于哪种法则 · 乘法公式找清a、b整体再套用 · 因式分解先提公因式再选方法 · 规律题多写几项找周期与通项 【作业1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的是（ ） A．不是整式 B．的系数是6，次数是3 C．是六次三项式 D．1是单项式，是多项式 【作业2】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列代数式计算正确的是（        ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，，，，则、、、大小关系是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（2024·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）下列说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．是二次三项式 C．的常数项是3 D．的一次项是 【作业7】．（24-25七年级上·上海·阶段检测），则______． 【作业8】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是________． 【作业9】．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果（其中a为常数）成立，那么______． 【作业10】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）若，则m可取的整数值有______个． 【作业11】．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是_____． 【作业12】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：___________． 【作业13】．（24-25七年级上·上海·期中）一辆列车上共有a人，某处停站后，上车人数是下车人数的3倍，列车驶离时车上共有b人，那么下车人数有______人（用含有a、b的代数式表示）． 【作业14】．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 【作业15】．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1)解方程组： (2) (3) (4) 【作业16】．（23-24七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【作业17】．（22-23八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【作业18】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． （2） 已知，，求 的值． (1)； (2)． (1)用“”号把连接起来； (2)化简： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． (1)求的值； (2)求的值． (1)用含，，的代数式分别表示，； (2)若，且，求的值； (3)若，试说明 是完全平方式．    (1)第个图案中有根小棒；第个图案中有 根小棒；第个图案中有 根小棒 (2)第个图案中有 根小棒； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，由根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，请说明理由． （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·培优讲义（整式计算乘法公式因式分解） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式、多项式、同类项等基本概念 · 掌握幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） · 熟练运用完全平方公式与平方差公式计算 · 掌握提公因式、公式法、十字相乘等因式分解方法 · 能综合运用整式运算解决规律探究与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.单项式与多项式 单项式：数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式；系数是数字因数，次数是字母指数之和 多项式：几个单项式的和，次数是最高次项的次数 同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，常数项都是同类项 概念辨析例题：单项式-的系数和次数分别是多少？ 答案：系数是-，次数是3 解析：系数为数字因数-；次数为字母指数之和2+1=3 ☆ 2.幂的运算 同底数幂相乘：am·an=am+n；相除：am÷an=am-n（a≠0） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=anbn 逆用公式：am+n=am·an，anbn=(ab)n 概念辨析例题：计算：(-2a2)3 答案：-8a6 解析：(-2)3·(a2)3=-8a6 ☆ 3.乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 变形应用：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab 概念辨析例题：若x+y=7，xy=2，求x2+y2的值 答案：45 解析：x2+y2=(x+y)2-2xy=49-4=45 ☆ 4.因式分解 因式分解是把多项式化成几个整式乘积的形式，与整式乘法互逆 方法：提公因式、平方差a2-b2=(a+b)(a-b)、完全平方、十字相乘、分组分解 分解要彻底，结果中每个因式不能再分解 概念辨析例题：因式分解：x2-10xy-24y2 答案：(x-12y)(x+2y) 解析：十字相乘：找两个数积为-24、和为-10，即-12与2，故(x-12y)(x+2y) 📋 知识总结表 核心概念 定义与公式 注意事项 单项式 数与字母的积 次数为字母指数之和 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项 同底数幂 am·an=am+n 底数不变指数相加 乘法公式 (a±b)2、(a+b)(a-b) 认清a、b整体 因式分解 与整式乘法互逆 分解要彻底 同类项 字母相同指数相同 常数项都是同类项 ⚠️ 核心考点 【考点1】单项式与多项式的基本概念 · 系数只含数字因数（含符号） · 次数是所有字母指数之和 · 常数项都是同类项 1．（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的次数的定义求解即可． 【详解】解：A、最高次项为，次数为，不符合题意； B、最高次项为，次数为，不符合题意； C、最高次项为和，次数为4，符合题意； D、最高次项为，次数为，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题主要考查了单项式，熟练掌握单项式中系数和次数的定义是解题关键． 直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：单项式的系数， 单项式的次数为； 故选：A 3．（24-25六年级上·上海崇明·期末）下列说法中错误的是（    ） A．常数项都是同类项 B．是一次式 C．是一次式 D．的系数是 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数、同类项的判断 【分析】本题考查单项式、多项式定义，系数及次数，同类项定义．熟练掌握定义是解题的关键； 本题可根据同类项、单项式与多项式的次数、单项式系数的相关概念，逐一分析选项即可解答． 【详解】解：A．所有常数项都是同类项，因为它们都可以看作是不含字母，次数为0的单项式，故该选项说法正确，不符合题意； B． 是一个常数项，可看作（x为任意字母），它的次数是0，是零次单项式，不是一次式，故该选项说法错误，符合题意； C．在多项式中，每一项a、、、、、6的次数最高为1，所以它是一次式，故该选项说法正确，不符合题意； D．在单项式中，数字因数是，所以它的系数是，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是，次数是3 B．多项式的次数是2，项数是3 C．单项式与是同类项 D．多项式按x的降幂排列为 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列、同类项的判断 【分析】本题考查单项式与多项式的项、系数、次数，同类项．根据单项式与多项式的项、系数、次数，同类项的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、的系数是，次数是4，故本选项说法错误； B、多项式中，是常数项，因此它的次数是2，项数是3，故本选项的说法正确； C、单项式与中，a的指数不同，b的指数不同，它们不是同类项，故本选项的说法错误； D、多项式按x的降幂排列为，故本选项的说法错误． 故选：B 【考点2】幂的运算 · 同底数幂乘除指数相加、相减 · 幂的乘方指数相乘 · 逆用公式化简求值 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，，所以，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、合并同类项、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题关键． 利用合并同类项法则可判断A，根据同底数幂乘法法则判断B，利用积的乘方运算法则可判断C，利用幂的乘方法则可判断D即可． 【详解】解：A．∵，原式不正确； B．，原式不正确； C．∵，原式不正确； D．∵，正确． 故选,：D． 8．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 9．（23-24九年级下·上海崇明·期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据多项式的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式的运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了整式的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式等知识，熟练掌握各自运算方法及运算法则是解题的关键． 10．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、负整数指数幂、判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质、负整数指数幂、幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质、负整数指数幂、幂的乘方和同底数幂除法即可求解． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2000 D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴； ∴， ． 故选B． 12．（2025·安徽·二模）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项等知识，根据以上运算法则进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、与不能合并，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 13．（26-27七年级上·上海·期中）______． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】先计算乘方，再计算同底数幂的除法，最后计算减法即可． 【详解】解：． 14．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3，______）． 【答案】128 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：的结果是______． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 16．（24-25七年级上·上海·阶段检测）______． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则计算，再合并即可求解，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点3】整式的乘法 · 单项式乘单项式系数相乘、字母分别相乘 · 单项式乘多项式用分配律 · 多项式乘多项式逐项相乘再合并 17．（25-26六年级上·上海·阶段检测）化简的结果为（   ） A．0 B． C．m D．以上答案都不对 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】此题考查了合并同类项，弄清式子的规律是解本题的关键． 与结合，与结合，以此类推相减结果为，得到253对与的和，计算即可得到结果． 【详解】解： 故选：B． 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【知识点】单项式乘多项式的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 19．（第04讲整式的乘法（3个知识点 3种题型 过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024））计算：____． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是关键． 先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·上海·期中）计算（直接写出答案） （1） _______； （2） _______； （3） _______； （4）_______； （5） _______； （6） _______． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）运用单项式乘单项式的法则计算即可； （2）运用积的乘方计算即可； （3）运用平方差公式计算即可； （4）运用多项式除以单项式的法则计算即可； （5）运用平方差公式计算即可； （6）运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）； 故答案为： （5）； 故答案为： （6） ． 故答案为： 21．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，先进行多项式乘以多项式的计算，再根据展开式中不含x项，项的系数为，得到，整体代入代数式计算即可． 【详解】解： ， 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 22．（23-24七年级上·上海·阶段检测）计算： _________________． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【详解】解： ． 23．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【考点4】乘法公式及其应用 · 平方差公式判断相同项与相反项 · 完全平方公式注意中间项2ab符号 · 变形求值：a2+b2=(a+b)2-2ab 24．（22-23七年级下·广西桂林·期中）设，且，则（　　） A． B． C．674 D．673 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出之间的等式关系是解题关键． 令，可将的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可． 【详解】解：设， 则， 将的值代入可得：， 解得：， ，， ， 故选：B． 25．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】阴影部分面积可以用边长为的正方形面积的一半减去底为，高为的三角形的面积，将与的值代入计算即可求出值． 本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键． 【详解】解：根据题意得： 当，时， ． 故选：A． 26．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形．根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解： ，，， ，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 27．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了分解因式，代数式求值，非负数的性质，根据题意可得和 ，代入方程得到关于和的方程，利用完全平方公式结合非负数的性质得到和，再求出和，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 28．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）计算：________． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式计算． 将原式变形为，利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故答案是：． 29．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知正方形内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为，宽为，按图1摆放的阴影面积为，按图2摆放的阴影面积为，按图3摆放的阴影面积为．若，，，则的值为________． 【答案】2 【知识点】整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式，整式加减的应用，数形结合是解答本题的关键． 设正方形的边长为m，用含m，a，b的代数式表示出，，，根据得，根据得，得，进而可求出的值． 【详解】解：设正方形的边长为m， 由图1得：， 由图2得：， 由图3得：， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ，得 ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 30．（23-24七年级下·甘肃张掖·期中）不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于______． 【答案】2 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；先利用完全平方公式得到，然后根据非负数的性质进行判断． 【详解】解： ∵ ∴ ∴不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于2． 故答案为：2． 31．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，那么____________． 【答案】11 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，求代数式的值；由题设得，，由完全平方公式得，而，先代入，再代入即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，； ∵， 即， ∴， ． 故答案为：11． 32．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2）45 （3）80 （4） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活运用． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，先求出，再求出的值，求出阴影部分的面积代入计算即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，所以， 所以这个图形可以验证公式：， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3） ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得， ，， ， ， ， ， ． 【考点5】因式分解 · 先提公因式 · 再用公式法、十字相乘 · 分组分解处理四项式 33．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：（1），不是因式分解； （2），不是因式分解； （3），不是因式分解； （4），不是因式分解； （5），是因式分解； （6），是因式分解； 故是因式分解的有2个． 34．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 35．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长______． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 36．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【详解】解： 37．（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：___． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式3，再把式子变形为，进一步利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 38．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，利用公式法和提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 根据公式法和提取公因式法进行因式分数即可． 【详解】解： ． 39．（2025七年级上·上海·专题练习）的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由： 解：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组法因式分解是解题的关键． 根据分组法分解因式，得出或，找出三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】略 【考点6】整式的实际应用 · 用代数式表示数量关系 · 结合图形面积列式 · 化简后求值 40．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）某文具店计划采购自动铅笔、中性笔、记号笔共100支作为促销赠品（每种至少采购1支）、已知自动铅笔每支进价为2元，中性笔每支进价为4元．且采购的记号笔数量是自动铅笔数量的2倍．如果用于采购的总费用与自动铅笔数量无关，那么记号笔每支进价是（    ） A．3元 B．4元 C．5元 D．6元 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，设自动铅笔的数量为支，记号笔每支进价为m元，则记号笔的数量为支，中性笔的数量为支，根据题意可求出总费用为元，再根据采购的总费用与自动铅笔数量无关列式求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的数量为支，记号笔每支进价为m元，则记号笔的数量为支，中性笔的数量为支， 则总费用元， ∵用于采购的总费用与自动铅笔数量无关， ∴含的项的系数为零， ∴， ∴， ∴记号笔每支进价是5元， 故选：C． 41．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则． A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅰ错，Ⅱ，Ⅲ对 D．只有Ⅰ对 【答案】B 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是理解已知条件中的约定，求出，m和n的值． 先根据题意得到：，，，从而求出x+y的值，判断Ⅱ的正误，再根据，求出m，从而列出关于x，y的方程组，解方程组，求出x，y，判断Ⅱ的正误，最后根据y的值，求出x，m，n，再代入所求的幂进行计算，然后判断是Ⅲ即可． 【详解】解：由题意可知：，，， ∴，， ∴， ∴结论Ⅱ正确 ∵当时，， ∴， ②﹣①得：， 把代入①得：， ∴结论Ⅰ正确； ∵， ∴当时，， ∴，， ∴ ， ∴结论Ⅲ错误， 综上可知：Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错， 故选：B． 42．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知非零有理数，满足，则______． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值，分析等式的含义，两数差的绝对值等于两数的绝对值之和，这个等式表明和在数轴上位于原点的两侧，并且它们的距离等于它们绝对值的和．这意味着和必须异号，即一个为正数，另一个为负数．我们可以分两种情况讨论：当且时；当且时，分别化简式子，求出结果即可，解决本题的关键是知道、异号． 【详解】解：∵， ∴这个等式表明和在数轴上位于原点的两侧，并且它们的距离等于它们绝对值的和， ∴和必须异号，即一个为正数，另一个为负数， 当且时，可得：，，，因此，， 则； ②当且时：，，，因此，，则． 故答案为：． 43．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知有理数在数轴上的位置，则____． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，根据数轴判断出的符号，再去绝对值，最后根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 44．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【答案】(1)甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； (2)十月份甲区比乙区多铺60米排污管 【知识点】因式分解的应用、列代数式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式： （1）根据，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求用甲区十月铺设的米数减去乙区十月铺设的米数，再根据，且计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 【考点7】数字规律与阅读探究 · 观察项与序号的关系 · 赋值法求系数和 · 按阅读材料方法迁移应用 45．（25-26六年级上·上海普陀·期末）新定义：设是不为2的有理数，则我们把称为的“奇特数”．如：4的“奇特数”是的“奇特数”是．已知是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，…以此类推，则等于（  ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究．根据“奇特数”的定义计算前几项，发现序列呈周期性变化，周期为，再根据除以的余数确定对应项． 【详解】解：， ， ， ， ， 序列为，，，，，，，周期为． ， ∴． 故选：D． 46．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）材料节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．则的计算结果各项系数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，通过赋值法，令，代入二项式展开式，直接计算系数之和. 【详解】解：∵的展开式中，各项系数之和等价于当时的值， ∴系数之和 故选：B. 47．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，前n天截取的木棍总长度为（　　）尺 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，数字类规律的应用，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可，n天后剩余长度为，因此前n天截取总长度1减去剩余长度． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取，剩下， 前n天截取的木棍总长度为． 故选：D． 48．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，，，若分裂后，若其中最大的奇数是a，则a可用m的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现所分裂的最大奇数与m之间的关系是解题的关键．根据题意，发现所分裂的最大奇数与m之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为，且， ，且， ，且， ，且， ， 所以所分裂的最大奇数可表示为：， 故选：． 49．（2024·上海杨浦·模拟预测）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”： 则从上往下数第行，左边第二个数是_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律题，根据题意可知第行左边第个数为，由此可得第行第个数为，据此求解即可，正确找到规律是解题的关键． 【详解】解：由第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， 第行左边第个：， ∴第行左边第个：， 则第行第个数为， 故答案为：． 50．（25-26六年级上·上海·期末）如图所示，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．若用表示电路上个电子元件所有不同的“开”、“关”状态数，则之间的关系式可以表示为____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，设电子元件的状态“开”和“关”分别用1和0表示，求出当电路上有1个电子元件，2个电子元件，3个电子元件，4个电子元件和5个电子元件时对应的状态数，总结规律即可得到答案． 【详解】解：设电子元件的状态“开”和“关”分别用1和0表示， 当电路上有1个电子元件时，则有1，0，共2种状态， 当电路上有2个电子元件时，则有01，10，11，共3种状态， 当电路上有3个电子元件时，则有010，011，101，110，111，共种状态， 当电路上有4个电子元件时，则有0101，0110，1010，0111，1101，1011，1110，1111，共8种状态， 当电路上有5个电子元件时，则有01010，01011，01101，01110，10110，10101，11010，01111，10111，11011，11101，11110，11111，共种状态， ……， 以此类推可知，， 故答案为：． 51．（25-26六年级上·上海·期末）如图，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，共5个原子；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，共8个原子；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，共11个原子；…；按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中原子的个数是_____． 【答案】38 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，后一个化合物的分子结构模型中原子的个数比前一个多3个原子，据此进行求解即可． 【详解】解：观察可知：后一个化合物的分子结构模型中原子的个数比前一个多3个原子， ∴第个模型中共含有原子的个数为， ∴第12种化合物的分子结构模型中原子的个数是； 故答案为：38 52．（2024·上海·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，第一次对折后的图形面积为，第二次对折后面积为，以此类推，第n次对折后得到图形面积为，则_____． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形中的规律问题．掌握“错位相减法”是解题关键．由题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，… 故 ∴ 得： 故答案为： 💯 课后巩固 复习建议 · 概念题紧扣定义逐项判断 · 幂的运算先分清属于哪种法则 · 乘法公式找清a、b整体再套用 · 因式分解先提公因式再选方法 · 规律题多写几项找周期与通项 【作业1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的是（ ） A．不是整式 B．的系数是6，次数是3 C．是六次三项式 D．1是单项式，是多项式 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的判断、单项式的系数、次数 【分析】本题考查整式、单项式和多项式的概念，根据定义逐一判断各选项：整式是单项式和多项式的统称；单项式是数或字母的积，单独的数或字母也是单项式，系数是数字因数，次数是字母指数之和；多项式是几个单项式的和，次数是最高次项的次数，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 是单项式，属于整式，故A错误，不符合题意； B、 的系数是，次数是3，故B错误，不符合题意； C、 的最高次项是，次数为4，因此是四次三项式，故C错误，不符合题意； D、1是单独的数，是单项式；是多项式，故D正确，符合题意； 故选：D． 【作业2】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列代数式计算正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方、幂的乘方及同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，积的乘方、幂的乘方及同底数幂除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【作业3】．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同． 根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； C、，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选B． 【作业4】．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，，，，则、、、大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：，，，， ∴． 故选：D． 【作业5】．（2024·四川成都·模拟预测）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、合并同类项、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了积的乘方，平方差公式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故A不合题意． ∵不是同类项，无法计算， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 【作业6】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）下列说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．是二次三项式 C．的常数项是3 D．的一次项是 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，根据单项式的次数、多项式的次数和项数、常数项和一次项的概念依次进行判断即可． 【详解】解：∵ 选项A: 的次数为，故错误； ∵ 选项B: 的最高次项为2次, 且有三项，是二次三项式，故正确； ∵ 选项C: ，常数项为，故错误； ∵ 选项D: 的一次项为，故错误． 故选：B． 【作业7】．（24-25七年级上·上海·阶段检测），则______． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式的乘法和多项式的相等．根据多项式乘法法则得到，又由得到，则，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为： 【作业8】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是________． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出m的值． 【详解】解：整式是某个整式的平方， ， 或， 即m的值是或， 故答案为：或． 【作业9】．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果（其中a为常数）成立，那么______． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察等式不难发现，然后对该等式两边同时平方，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 解得：； 故答案为． 【作业10】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）若，则m可取的整数值有______个． 【答案】9 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先整理得，再结合，，，则分别算出m可取的整数值，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴， 则，， ∵为整数 ∴ ， 或35或或16或或9或或5或0，共9个， 故答案为：9 【作业11】．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是_____． 【答案】或或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握公式的应用． 根据完全平方公式的特点即可求解， 【详解】解：∵完全平方式的形式为 当为，看作，看作时 ； 当为，看作，看作时 ， ∴， 当为，看作，看作时； ， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【作业12】．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方逆运算以及同底数幂的乘法法则的逆用，熟练掌握积的乘方逆运算的性质是解题的关键． 根据积的乘方逆运算对原式进行变形，然后再进行计算，解题思路是先将与结合，再与进行运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【作业13】．（24-25七年级上·上海·期中）一辆列车上共有a人，某处停站后，上车人数是下车人数的3倍，列车驶离时车上共有b人，那么下车人数有______人（用含有a、b的代数式表示）． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，找出等量关系是解题关键． 设下车人数为x，则上车人数为，根据题意列方程表示出，即可得出答案． 【详解】解：设下车人数为x，则上车人数为，根据题意得： ， ， 故答案为：． 【作业14】．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式变形求值； （1）配方后利用非负数的性质求解即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【作业15】．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1)解方程组： (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】加减消元法、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、幂的运算，熟练掌握加减消元法、代入消元法和幂的运算规则是解题的关键． （1）用加减消元法消去x，求出y，再代入求出x，可得答案． （2）用加减消元法消去y，求出x，再代入求出y，可得答案． （3）根据积的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可； （4）根据幂的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可； 【详解】（1）， 由得，，即， 解得， 将代入式得，， 故方程组的解为：. （2） 由得, 即， 解得， 将代入式得，， 故方程组的解为：. （3） （4） 【作业16】．（23-24七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再对利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 【作业17】．（22-23八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 【作业18】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 【答案】 小明做得不正确，从第③步出错， 小明在步骤③中错误地将加法运算视为乘法运算，并且错误地改变了因式，导致因式分解错误． ． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】题目主要考查利用提公因式法和公式法分解因式，根据题意，将原式分组，然后利用完全平方公式和平方差公式公式因式分解即可． 【详解】略 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、合并同类项、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式混合运算，掌握完全平方公式、平方差公式及合并同类项的法则是解题关键．先用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用非负数的性质求出与的值，原式去括号合并得出化简的结果，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ，， ，， ； 当，时， 原式 ． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键；根据去括号，合并同类项化简整式，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，，时， 原式． (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 【答案】(1)， (2)，． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）根据，进行求解即可； （2）先证明，再求出，进而得到，则可得到，据此可得，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）略 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关公式的计算是解题的关键； 将两个完全平方公式展开，整理可得，，整理原式代入即可求解； 【详解】解：，， ， ， 得：， 则， 得：， 则， 那么 (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，有理数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据数轴可得，则，据此去绝对值后，根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 【答案】（1）① 210；② ；③ ；（2）；（3）40 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，理解高斯求和法和裂项相消法是解题的关键． （1）①直接利用高斯求和法计算即可； ②直接利用高斯求和法计算即可； ③直接利用高斯求和法计算即可； （2）观察题中所给出的例子，直接利用裂项相消法计算即可； （3）先用高斯求和法计算，用裂项相消法计算，再将计算结果代入等式即可计算出的值． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③ ； （2） ； （3）， ， ∵， ∴， 解得． 【答案】， 【知识点】平方差公式分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， （2） 已知，，求 的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形． （1）利用完全平方公式进行变形得到，进行求解，即可解题； （2）利用完全平方公式进行变形得到，结合，进行求解，即可解题． 【详解】解：（1） ，， ， ， 故答案为：，． （2）， ， ， ， ， ， ． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、十字相乘法 【分析】（1）根据式子特点先分组为：，然后利用平方差公式和完全平方公式，最后再用十字相乘法分解答即可； （2）根据式子特点将原式变形为，然后整理得，设，整理得，最后把代入即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 设， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用；先提取公因式化简表达式，再利用完全平方公式变形，然后利用已知条件和求出的值，最后代入计算． 【详解】解：，， ． 原式． 故答案为：． (1)用“”号把连接起来； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查数轴、绝对值、有理数的大小比较、有理数的加减、整式的加减，利用数形结合思想求解即可． （1）根据数轴上，右边的数大于左边的数求解即可； （2）根据数轴可得到，，，进而利用绝对值的意义化简绝对值，然后整式加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴，得； （2）解：由数轴，得， ∴，，， ∴ ． 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】整式的加减中的化简求值、已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）根据题意可得，而时，原式，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去掉括号后，重新分组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ， 互为倒数， ， ； （2）解：当时，的值是2023， ， ， 当时， ； （3）解： ∴ ； （4）解：设， 则方程可化为方程， 关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ， ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式加减的步骤，括号前面有负数去括号时括号内的各项要变号是解题关键． 先化简原式为，然后代入，，去括号、合并同类项得出最简式子． 【详解】解： ， 把，代入 原式 ． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相除，掌握幂的乘方运算和同底数幂相除法则的逆用是解题关键． （1）先逆用幂的乘方法则变形，然后再把代入计算即可； （2）先逆用同底数幂相除和幂的乘方运算法则变形，然后再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． (1)用含，，的代数式分别表示，； (2)若，且，求的值； (3)若，试说明 是完全平方式． 【答案】(1)，； (2)； (3) 解：当时，， ， ∴， ， ∴ 是完全平方式． 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）通过，计算； （）先找到，的关系，再计算； （）根据完全平方公式的特征判断； 本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：四边形、为长方形，四边形为正方形， ∴，； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略    (1)第个图案中有根小棒；第个图案中有 根小棒；第个图案中有 根小棒 (2)第个图案中有 根小棒； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，由根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵为正整数， ∴不存在由根小棒摆成的图案． 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）根据图形计算出第个图案和第个图案中小棒的数量即可； （2）由图中小棒数量的计算规律可得出第个图案小棒的数量； （3）利用（2）中的规律建立方程求得答案即可； 解题的关键是找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第个图案中有根小棒． 【详解】（1）解：第个图案中有根小棒；第个图案中有根小棒， 故答案为：；； （2）由图可知：第个图案中有小棒：（根）， 第个图案中有小棒：（根）， 第个图案中有（根）， …， ∴第个图案中有小棒的根数为：（根）， 故答案为：； （3）略． （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或4；（2），7；（3）实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义即可得解； （2）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （3）A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）由题可知式子在数轴上的几何意义数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离， ∴表示数轴上x到的距离加上x到3的距离等于7， ∵， ∴表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧或表示有理数3的点右侧， 当表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧时，， 解得：； 当表示有理数x的点一定在表示有理数3的点的右侧时，， 解得：； 综上，或4； （2）∵表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为： ； （3）设市民广场O为原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x，A、B、C在数轴上分别表示，1，3， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人， ∴运输距离为：， ∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点，与表示有理数1的点，与表示有理数3的点之间的距离的和， ∴由（2）得，在之间才能取最小值，最小值为： ， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， ∴此时最低成本为12元， 即实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $