专题03 因式分解全章6考点10重难题型（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 因式分解 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 因式分解的概念 考点二 提取公因式法 考点三 公式法 考点四 十字相乘法 考点五 分组分解法 考点六 因式分解的一般步骤与综合应用 05 重难题型突破 题型一 判断是否为因式分解 题型二 确定公因式并提取 题型三 判断能否用公式并选法分解 题型四 十字相乘法分解二次三项式 题型五 提公因式与公式法综合 题型六 根据分解结果求参数 题型七 因式分解的简便计算 题型八 分组分解法 题型九 整体换元与几何应用 题型十 分类讨论（十字相乘参数） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点 对应课时 常考题型 参考分值 难度定位 因式分解的概念与因式 12.1 概念判断（选择/填空） 3–4 分 易 提取公因式法 12.1 确定公因式、提公因式分解 4–6 分 易–中 公式法（平方差·完全平方） 12.2 判断能否用公式、套公式分解 4–8 分 中 十字相乘法 12.2 二次三项式分解、求参数 4–8 分 中 分组分解法 12.2 分组分解、化简求值 3–6 分 中–难 因式分解的综合应用 全章 简便计算、代数式求值、几何面积 3–6 分 中–难 复习板块 识记（记住并辨认） 理解（说明道理） 应用（独立运用） 因式分解的概念 能说出定义，判断一个变形是否为因式分解 能说明因式分解与整式乘法的互逆关系 能利用互逆关系说理、验算 提取公因式法 能复述公因式的确定规则 能理解“逆用分配律”的原理 能找全公因式并完整提取（含负号、整体、系数） 公式法 能默写平方差、完全平方公式 能讲清公式的结构特征与适用条件 能在含公因式的多项式中先提再套 十字相乘法 能说出“看两端、凑中间” 能理解系数配对与验算原理 能对二次三项式（含参数）分解、求参数 分组分解法 能说出分组原则 能理解“先分组、再分解”的思路 能对四项、六项式合理分组分解 综合应用 能复述“一提二套三十字四分组” 能理解恒等变形思想 能简便计算、代数式求值、几何应用 考点一 因式分解的概念 因式分解：把一个含多个项的整式化成几个整式相乘的积的形式。其中每一个整式都称为这个积的一个因式。 示例：；。 要求：①对象必须是整式；②结果是“整式×整式”的积；③一般分解到每个因式都不能再分解为止。 ⚠️概念辨析 因式分解（从“和”到“积”）与整式乘法（从“积”到“和”）互为逆变形，方向相反。 判断关键：变形前后是否恒等，右边是否为几个整式的积。 ⚠️记忆口诀 “分解看右边，整式积才算；乘法方向反，恒等不能变。” ⚠️易混易错 ①把整式乘法（如 ）误当作因式分解；②结果不是积的形式；③分解不彻底。 ⚠️避坑指南 ❌ 先看右边是不是“几个整式相乘的积”，再验算左边是否等于右边，二者缺一不可。 考点二 提取公因式法 公因式：多项式中各项都含有的公共因式。确定公因式时，系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂，也可以含整体因式。 原理（逆用乘法分配律）：。 提取公因式后，用括号内的每一项“除以公因式”得到剩余部分。 ⚠️概念辨析 公因式必须是“每一项都含有”；它可以是数字、字母，也可以是整式。 ⚠️记忆口诀 “提公因式先找全，系数最大公约数；字母最低次幂取，负号系数别漏项。” ⚠️易混易错 ①漏提系数公因式；②提取公因式后，某项与公因式相同时漏写“1”；③首项为负时不先提负号、符号变错。 ⚠️避坑指南 ❌ 提公因式后用“逐项 ÷ 公因式”检验是否漏项；首项为负先提“−”，括号内各项都要变号。 考点三 公式法（平方差公式、完全平方公式） 平方差公式：。结构特征：二项式、两项都是平方、符号相反。 完全平方公式：。结构特征：二次三项式、两数平方和加（减）积的二倍。 套用公式前，若各项含有公因式，应先提取公因式。 ⚠️概念辨析 平方差要求“两项平方、一正一负”；完全平方要求“首尾平方、中间为 ±2ab”。 ⚠️记忆口诀 “平方差，两平方，一正一负才相当；完全方，头尾方，二倍乘积在中央。” ⚠️易混易错 ①把 误写成 ；②完全平方中间项 的系数或符号记错；③先提公因式后忘记继续套公式。 ⚠️避坑指南 ❌ 先提公因式再套公式；完全平方务必检验中间项是否恰为“2×首×尾”或“−2×首×尾”。 考点四 十字相乘法 对二次三项式 ，若能写成 ，则可用十字相乘法，其中 ，。 操作要点：把常数项 q 分解为两个因数 a、b，使 a+b 恰等于一次项系数 p。 ⚠️概念辨析 常数项的因数分解往往有多种配对，关键看“哪两个因数的和等于一次项系数”。二次项系数不为 1 时，先把二次项系数与常数项分别分解，再交叉相乘验算一次项。 ⚠️记忆口诀 “十字相乘两头看，拆分常数凑中间；交叉相乘再相加，等于一次就配对。” ⚠️易混易错 ①符号混乱（两因数同号、异号判断错误）；②二次项系数为负时不先提负号；③交叉验算遗漏。 ⚠️避坑指南 ❌ 先判符号：常数项为正，两因数同号；为负，则两因数异号。再交叉相乘求和检验。 考点五 分组分解法 分组分解法：当整式整体不能直接分解时，先分成若干组分别分解，再对整体继续分解。 常见分组：四项式“二二分组”（按公因式或按公式）；四项式“三一分组”（三项套完全平方后再套平方差）；五项、六项按“组间有公因式”或“可化为二次三项式”分组。 添拆项：把某一项拆开，或添上互为相反数的两项，使原式适合某种方法。 ⚠️概念辨析 分组的目的是“组内能提、能套，组间有公因式”。添拆项必须在与原式相等的原则下进行。 ⚠️记忆口诀 “项多先分组，组内提或套；组间有公因，最后再看整体。” ⚠️易混易错 ①分组不当导致无法继续分解；②分组后忘记“组间”再提公因式。 ⚠️避坑指南 ❌ 四项式优先试“二二分组”或“三一分组”；分解后看各组之间是否还有公因式可再提取。 考点六 因式分解的一般步骤与综合应用 一般步骤：一提（提取公因式）、二套（套平方差或完全平方公式）、三十字（十字相乘）、四分组（分组分解）。 综合应用：简便计算、代数式求值、几何面积、配方法求最值。 ⚠️概念辨析 因式分解的结果必须彻底；方法是“先整体后局部”逐层选择。 ⚠️记忆口诀 “一提二套三十字，分组最后看整体；分解彻底再收笔。” ⚠️易混易错 ①提取公因式后忘记继续分解；②结果仍含公因式或仍能套公式。 ⚠️避坑指南 ❌ 每完成一步都检查：括号内是否还能提、还能套，是否还能十字相乘或分组。 题型一 判断是否为因式分解 典例1 （25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法运算，结果为多项式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符题意； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项等式右边仍然是和的形式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项等式左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意． 💡破题要诀 抓住“右边是否为几个整式相乘的积”与“变形是否恒等”两条判据；凡右边含加减号，或分解不彻底，一律排除。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、仅提系数，不属于因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D、是整式的乘法，不符合题意； 故选：B 3．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 题型二 确定公因式并提取 典例2 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【答案】 【详解】解：． 💡破题要诀 公因式＝系数最大公约数 × 相同字母最低次幂；首项为负先提负号；提后逐项除以公因式，防止漏项。 迁移应用 1．（24-25七年级上·上海·期中）整式的公因式是_____． 【答案】 【详解】解：整式的公因式是， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【详解】解： ． 题型三 判断能否用公式并选法分解 典例3 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【详解】解： ． 💡破题要诀 先看能否提公因式，再看是否为“平方差”（二项、两平方、一正一负）或“完全平方”（三项、头尾平方、二倍中间）。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：， ， ． 题型四 十字相乘法分解二次三项式 典例4 （25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 【答案】 【详解】解： ． 💡破题要诀 把常数项拆成两个因数 a、b，使 a+b 恰等于一次项系数；交叉相乘验算，同号异号看常数项符号。 迁移应用 1.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解： 原式 故答案为：. 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】根据分析，使用十字相乘法得： 题型五 提公因式与公式法综合 典例5 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 💡破题要诀 先提公因式，再套平方差或完全平方公式；分解到不能再分解为止。 迁移应用 1.（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 题型六 根据分解结果求参数 典例6 （25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 💡破题要诀 展开右边再与左边比对，利用“对应项系数相等”确定参数。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【答案】11 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 题型七 因式分解的简便计算 典例7 简便计算： 【答案】16 【详解】解：原式 ． 💡破题要诀 把算式变形为“积”再用公式或提公因式，化乘为简。 迁移应用 1.______． 【答案】246 【详解】解：原式； 故答案为：246 2．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【详解】解： 3．用简便方法计算：． 【答案】． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 题型八 分组分解法 典例8 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解：原式 . 💡破题要诀 先“看结构”分组，使组内可提可套、组间有公因式；分解后整体再提。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 题型九 整体换元、配方法、试根法 典例9-1 （25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 典例9-2 （25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 典例9-3 （24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 💡破题要诀 把重复出现的式子看作一个整体（换元），用因式分解沟通条件与目标；几何问题用“面积＝边长×边长”建立等式。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2.阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）多项式，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． 根据题意若，则， 故答案为：； （3）由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 等式右边， ， =． 题型十 分类讨论（十字相乘参数） 典例10 （24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 💡破题要诀 把常数项的所有整数因数对列举，逐个求一次项系数，得到参数的全部可能值，注意正负成对。 迁移应用 1．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 2.阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：左边是多项式，右边是数字与整式的积，∴ A不是因式分解． 选项B：左边是乘积形式，右边是多项式，∴ B是整式乘法，不是因式分解． 选项C：左边是多项式，右边是乘积，∴ C是因式分解． 选项D：左边，右边 ，展开右边为 ，与左边不相等，∴ D错误． 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A项正确，不符合题意； B、，故B项正确，不符合题意； C 、，故C项不正确，符合题意； D、，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：原式中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为和，则公因式为． ∴． 故答案为 ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 【答案】7 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：7． 10．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为． 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解：           ． 12．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 13．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3）解： ． 15．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 16.阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若，求m和n的值 (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：例如：．请你仿照上面的方法对进行因式分解 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 则有， ∴，， 解得， ∴，解得， 则m的值为8，n的值为4； （3）解： 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【详解】（1）解：， 是完全数， 故答案为：（答案不唯一）； （2）是，理由如下： ， （是整数）是“完全数”； （3）解：时，S为“完全数”，理由如下： ， 对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数， ∴，即，S是完全数； （4）证明：设，（为整数）， ， 、b、c、d是整数， ，都是整数， 是完全数． 5．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【详解】（1）解：大正方形的边长是 ，它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴，    ， ∵， ∴          ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【详解】(1)， 大正方形的边长为， （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 8．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【详解】(1)， 若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； (2)， 用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 因式分解的概念 考点二 提取公因式法 考点三 公式法 考点四 十字相乘法 考点五 分组分解法 考点六 因式分解的一般步骤与综合应用 05 重难题型突破 题型一 判断是否为因式分解 题型二 确定公因式并提取 题型三 判断能否用公式并选法分解 题型四 十字相乘法分解二次三项式 题型五 提公因式与公式法综合 题型六 根据分解结果求参数 题型七 因式分解的简便计算 题型八 分组分解法 题型九 整体换元与几何应用 题型十 分类讨论（十字相乘参数） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点 对应课时 常考题型 参考分值 难度定位 因式分解的概念与因式 12.1 概念判断（选择/填空） 3–4 分 易 提取公因式法 12.1 确定公因式、提公因式分解 4–6 分 易–中 公式法（平方差·完全平方） 12.2 判断能否用公式、套公式分解 4–8 分 中 十字相乘法 12.2 二次三项式分解、求参数 4–8 分 中 分组分解法 12.2 分组分解、化简求值 3–6 分 中–难 因式分解的综合应用 全章 简便计算、代数式求值、几何面积 3–6 分 中–难 复习板块 识记（记住并辨认） 理解（说明道理） 应用（独立运用） 因式分解的概念 能说出定义，判断一个变形是否为因式分解 能说明因式分解与整式乘法的互逆关系 能利用互逆关系说理、验算 提取公因式法 能复述公因式的确定规则 能理解“逆用分配律”的原理 能找全公因式并完整提取（含负号、整体、系数） 公式法 能默写平方差、完全平方公式 能讲清公式的结构特征与适用条件 能在含公因式的多项式中先提再套 十字相乘法 能说出“看两端、凑中间” 能理解系数配对与验算原理 能对二次三项式（含参数）分解、求参数 分组分解法 能说出分组原则 能理解“先分组、再分解”的思路 能对四项、六项式合理分组分解 综合应用 能复述“一提二套三十字四分组” 能理解恒等变形思想 能简便计算、代数式求值、几何应用 考点一 因式分解的概念 因式分解：把一个____的整式化成几个____相乘的____的形式。 要求：①对象是____；②结果是____；③分解到每个因式____。 判断关键：右边是否为____，且变形前后____。 ⚠️概念辨析 因式分解（从“和”到“积”）与整式乘法（从“积”到“和”）互为逆变形，方向相反。 判断关键：变形前后是否恒等，右边是否为几个整式的积。 ⚠️记忆口诀 “分解看右边，整式积才算；乘法方向反，恒等不能变。” ⚠️易混易错 ①把整式乘法（如 ）误当作因式分解；②结果不是积的形式；③分解不彻底。 ⚠️避坑指南 ❌ 先看右边是不是“几个整式相乘的积”，再验算左边是否等于右边，二者缺一不可。 考点二 提取公因式法 公因式的确定：系数取各项系数的____；字母取各项相同字母的____。 原理（逆用分配律）： 。 首项为负时先提____，括号内各项要____。 ⚠️概念辨析 公因式必须是“每一项都含有”；它可以是数字、字母，也可以是整式。 ⚠️记忆口诀 “提公因式先找全，系数最大公约数；字母最低次幂取，负号系数别漏项。” ⚠️易混易错 ①漏提系数公因式；②提取公因式后，某项与公因式相同时漏写“1”；③首项为负时不先提负号、符号变错。 ⚠️避坑指南 ❌ 提公因式后用“逐项 ÷ 公因式”检验是否漏项；首项为负先提“−”，括号内各项都要变号。 考点三 公式法（平方差公式、完全平方公式） 平方差公式：。适用：____项式、两项都____、符号____。 完全平方公式：。适用：____项式、____的平方和、中间为____。 口诀：平方差，____，一正一负才相当；完全方，____，二倍乘积在中央。 ⚠️概念辨析 平方差要求“两项平方、一正一负”；完全平方要求“首尾平方、中间为 ±2ab”。 ⚠️记忆口诀 “平方差，两平方，一正一负才相当；完全方，头尾方，二倍乘积在中央。” ⚠️易混易错 ①把 误写成 ；②完全平方中间项 的系数或符号记错；③先提公因式后忘记继续套公式。 ⚠️避坑指南 ❌ 先提公因式再套公式；完全平方务必检验中间项是否恰为“2×首×尾”或“−2×首×尾”。 考点四 十字相乘法 对 ，若能写成 ，则可用十字相乘法。 其中 a+b=____，ab=____。 常数项为正，两因数____号；为负，两因数____号。 ⚠️概念辨析 常数项的因数分解往往有多种配对，关键看“哪两个因数的和等于一次项系数”。二次项系数不为 1 时，先把二次项系数与常数项分别分解，再交叉相乘验算一次项。 ⚠️记忆口诀 “十字相乘两头看，拆分常数凑中间；交叉相乘再相加，等于一次就配对。” ⚠️易混易错 ①符号混乱（两因数同号、异号判断错误）；②二次项系数为负时不先提负号；③交叉验算遗漏。 ⚠️避坑指南 ❌ 先判符号：常数项为正，两因数同号；为负，则两因数异号。再交叉相乘求和检验。 考点五 分组分解法 分组原则：使组内可____、可____，组间有____。 四项式常用“____分组”或“____分组”。 ⚠️概念辨析 分组的目的是“组内能提、能套，组间有公因式”。添拆项必须在与原式相等的原则下进行。 ⚠️记忆口诀 “项多先分组，组内提或套；组间有公因，最后再看整体。” ⚠️易混易错 ①分组不当导致无法继续分解；②分组后忘记“组间”再提公因式。 ⚠️避坑指南 ❌ 四项式优先试“二二分组”或“三一分组”；分解后看各组之间是否还有公因式可再提取。 考点六 因式分解的一般步骤与综合应用 一提、二____、三____、四____。 结果必须____，即分解到每个因式都不能再分解。 ⚠️概念辨析 因式分解的结果必须彻底；方法是“先整体后局部”逐层选择。 ⚠️记忆口诀 “一提二套三十字，分组最后看整体；分解彻底再收笔。” ⚠️易混易错 ①提取公因式后忘记继续分解；②结果仍含公因式或仍能套公式。 ⚠️避坑指南 ❌ 每完成一步都检查：括号内是否还能提、还能套，是否还能十字相乘或分组。 题型一 判断是否为因式分解 典例1 （25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 💡破题要诀 抓住“右边是否为几个整式相乘的积”与“变形是否恒等”两条判据；凡右边含加减号，或分解不彻底，一律排除。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 确定公因式并提取 典例2 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 💡破题要诀 公因式＝系数最大公约数 × 相同字母最低次幂；首项为负先提负号；提后逐项除以公因式，防止漏项。 迁移应用 1．（24-25七年级上·上海·期中）整式的公因式是_____． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 3．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 题型三 判断能否用公式并选法分解 典例3 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 💡破题要诀 先看能否提公因式，再看是否为“平方差”（二项、两平方、一正一负）或“完全平方”（三项、头尾平方、二倍中间）。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 题型四 十字相乘法分解二次三项式 典例4 （25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 💡破题要诀 把常数项拆成两个因数 a、b，使 a+b 恰等于一次项系数；交叉相乘验算，同号异号看常数项符号。 迁移应用 1.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 3． （25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 题型五 提公因式与公式法综合 典例5 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 💡破题要诀 先提公因式，再套平方差或完全平方公式；分解到不能再分解为止。 迁移应用 1. （25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 2. （25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 3. （25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 题型六 根据分解结果求参数 典例6 （25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 💡破题要诀 展开右边再与左边比对，利用“对应项系数相等”确定参数。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 题型七 因式分解的简便计算 典例7 简便计算： 💡破题要诀 把算式变形为“积”再用公式或提公因式，化乘为简。 迁移应用 1.______． 2．（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 3．用简便方法计算：． 题型八 分组分解法 典例8 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 💡破题要诀 先“看结构”分组，使组内可提可套、组间有公因式；分解后整体再提。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 题型九 整体换元、配方法、试根法 典例9-1 （25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 典例9-2 （25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 典例9-3 （24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 💡破题要诀 把重复出现的式子看作一个整体（换元），用因式分解沟通条件与目标；几何问题用“面积＝边长×边长”建立等式。 迁移应用 1．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 2.阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 题型十 分类讨论（十字相乘参数） 典例10 （24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 💡破题要诀 把常数项的所有整数因数对列举，逐个求一次项系数，得到参数的全部可能值，注意正负成对。 迁移应用 1．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 2.阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2) 若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：__________． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 9．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 10．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：． 12．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 13．（25-26七年级上·上海金山·期中）因式分解：． 14．（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 15．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 16.阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若，求m和n的值 (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：例如：．请你仿照上面的方法对进行因式分解 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 2．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 5．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 6．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 7．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 8．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $