专题05二次函数的应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题05二次函数的应用期中复习讲义 1.能读懂实际问题，分析数量关系，建立二次函数数学模型，写出对应的函数解析式，确定自变量的实际取值范围。 2.掌握二次函数求最值的方法，区分顶点在取值范围内、顶点不在取值范围两种情况；会利用开口方向、对称轴求最大或最小值。 3.熟练掌握三大常考模型：销售利润最值问题、几何图形面积最值问题、拱桥 / 隧道类抛物线模型问题。 4.会结合实际情境检验结果，根据自变量取值取舍最值，明白最值不一定都在顶点处取得。 5.能读懂图表信息，从表格中提取数据，列出二次函数关系式，再求解实际问题。 规范应用题答题步骤，做到审、设、列、求、验、答完整书写。 6.梳理易错点：不要忽略自变量的实际取值限制；区分顶点最值与区间最值；单位书写规范；读懂题干 “最大利润、最大面积” 等问题。 7.提升文字阅读、数学建模能力，灵活运用数形结合思想，会用二次函数模型解决实际最值问题。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 线段周长问题 ★★★★ 题型九 面积问题 ★★★★ 题型十 角度问题 ★★★★ 题型十一 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十二 特殊四边形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点总览：二次函数应用题两大核心类型 实际问题求解思路通用流程： 审题，找到变量，设自变量x、函数y； 根据等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a0)； 确定自变量x的实际取值范围（重中之重，极易遗漏）； 判断顶点横坐标是否在取值范围内，分情况求最大值 / 最小值； 结合问题写出最终答案。 核心原理： a>0，抛物线开口向上，顶点处取得最小值； a<0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值。 ⚠️若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则最值出现在区间端点。 知识点1:实际问题与二次函数的练习转化 知识点 2 类型一：最大面积问题 常见场景：矩形面积、围栏围场地、窗户、隧道截面、内接多边形面积等。 解题思路 1.用含x的代数式表示图形两条关键边长； 2.根据面积公式建立二次函数； 3.根据限制条件写出x取值范围； 4.利用顶点求面积最值。 典型模型：围栏问题 用总长固定的篱笆围成矩形场地（一边靠墙），设垂直墙边长为x，写出面积S关于x的函数，求最大面积。 ⚠️易错：篱笆长度不要重复计算靠墙的一边。 知识点 3 类型二：最大利润问题（考试高频） 相关等量关系： 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润 销售量 两类常见设问 涨价模型：售价上涨，销量随之减少； 降价模型：售价下调，销量随之增加。 标准步骤 设涨价（降价）x元； 表示出新单价、单件利润、变化后的销售量； 列出总利润的二次函数； 根据售价、销量为正数，确定自变量取值范围； 求函数最大值。 ⚠️重要提醒：部分题目要求售价为整数，求出顶点后需要检验取邻近整数对比利润。 知识点 4 类型三：抛物线型实际运动轨迹（抛物线建模） 1.常见场景：投篮、抛小球、喷泉、桥梁拱洞、隧道、炮弹飞行。 核心思路：建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求解高度、水平距离等问题。 2.常见设问： 求抛物线解析式； 求最大高度； 判断物体能否通过指定位置； 求落地时水平距离。 3.坐标系建法技巧： 优先把原点放在顶点、起点或者地面交点，简化计算。 知识点5最值分类讨论核心表格 设二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，顶点横坐标 x0=-，自变量取值范围 m xn 开口方向 顶点位置 最值结论 a>0（开口向上） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最小=；最值大在端点x=m或x=n a>0（开口向上） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而增大；x=m最小，x=n最大 a>0（开口向上） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而减小；x=n最小，x=m最大 a<0（开口向下） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最大=；最小值在端点x=m或x=n a<0（开口向下） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而减小；x=m最大，x=n最小 a<0（开口向下） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而增大；x=n最大，x=m最小 知识点6二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点7高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 忽略自变量取值范围 直接套用顶点公式求最值，不检验顶点横坐标是否在范围内 顶点不在取值区间时，最值只能在区间端点取得 面积 / 利润模型列式错误 混淆边长表达式、利润公式，符号出错 严格牢记：总利润 = 单件利润 × 销量；面积 = 长 × 宽 单位不统一 题目单位不一致直接代入计算 列式前统一所有长度、价格单位 取值忽略实际意义 长度、数量不能为负数，人数、商品数量一般≥0 自变量范围必须满足x>0等现实条件 坐标系建模出错 坐标轴原点随意选取，坐标符号混乱 优先将关键点放在坐标轴上，简化计算 混淆最大、最小值 开口向上强行求最大值，开口向下求最小值 a>0有最小值；a<0有最大值 题型一：图形问题 1．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，求该苗圃园面积的最大值．以下是小嘉同学的解法，请判断是否正确，如果正确，请在虚线框内打√，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解： ， 当时，最大值为128． 答：该苗圃园面积的最大值为． 【答案】 小嘉同学的解法是错误的，理由是没有考虑墙长为这个条件，正确过程如下： 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，由题意得： ， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∵，即开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； 答：该苗圃园面积的最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可知小嘉同学未考虑墙长为这个条件，所以解答过程错误，因此此题可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】略 2．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求的值； (2)矩形停放区需要铺设地面，地面每平方米铺设的费用为元，若外墙长度足够大，该矩形停放区的占地面积最大时铺设费用是多少？ 【答案】(1)的值为； (2)元 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，垂直于外墙的边长， 金属护栏总长为，且平行于外墙的一侧预留两个宽的门． 所以平行于墙的边长为 当时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得， 解得， 因为必须满足，所以不符合题意，舍去， 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为，的值为； （2）解：由题意得， ∵， ∴开口向下， ∴当时，的最大值为， 总费用为：（元）． 3．问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，、红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元，100元，60元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． (1)用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； (2)求与之间的函数表达式； (3)当购买花卉的总费用为3520元时，求的长． 【答案】(1)红色花卉的种植面积为，蓝色花卉的种植面积为， 黄色花卉的种植面积为 (2) (3) 【分析】（）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积小正方形的面积红色花卉的种植面积黄色花卉的种植面积； （）根据总费用各种花卉的费用之和列出函数解析式即可； （）根据()的解析式得出，求出，可得，然后设，由全等三角形的性质和勾股定理得出，解方程求出的值即可； 本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四个阴影部分的三角形全等， ∴， ∴红色花卉的种植面积为， ∵， ∴， ∴蓝色花卉的种植面积为， ∴黄色花卉的种植面积为； （2）解：， 即； （3）解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵四个白色部分的三角形全等， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的长为． 题型二：图形运动问题 4．如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 【答案】(1) (2) 图象如图： 【分析】（1）的面积，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可． （2）根据五点作图法，先列表再描点连线，即可作答． 本题考查了二次函数与几何运动内容，画二次函数的图象，解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴． ∵，点P、Q运动的速度均为， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴列表如下： 0 1 2 3 6 18 16 0 5．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 6．如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)解：当时，y取得最小值，且最小值为．理由如下： 设的面积为， ， ， 根据题意，得 ， ， ∴有最小值，当时，y取得最小值，且最小值为． (3) 存在，当时，有最大值，且最大值为 【分析】（1）设运动时间为秒．根据题意，得，，根据三角形的面积，列式解答即可； （2）设的面积为，根据题意得，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意，得，设，根据函数的最值，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．设运动时间为秒． ，，， ， 的面积为， ， ， ， 整理，得， 解得， 当点Ｍ在上运动时，经历时间长为：， 都符合要求， 故当或时，的面积为； （2）略； （3）解：当时，有最大值，且最大值为．理由如下： 根据题意，得的面积为，的面积为，令， ，， ， ， 时，两个三角形不存在， ∴， 设， ， ∴有最大值，且当时，取得最大值，函数的最大值为4， 取得最小值，此时最小值为， 取得最小值，此时最小值为， 取得最大值，此时最大值为， 取得最大值，此时最大值为， ∴当时，有最大值，且最大值为． 题型三：拱桥问题 7．金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 【答案】(1) (2)2米或4米 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． （1）根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用函数值，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式是． （2）解：将代入， 解得，， 小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方． 8．河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过 理由：如图，由题意得： （米） ∴点的横坐标为， 把代入， 得， ， ∴能安全通过． 【分析】（1）抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （2）求出点的横坐标，然后求出点距离抛物线的距离，再减去车辆的高度，得到的差值与比较即可判断求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）略． 9．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【答案】(1)16，，， (2) (3) 【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线，的解析式； （2）由和所在抛物线关于点对称可得和，再将代入解析式即可得解； （3）先确定直线与交于最高点时，由此确定此时直线与必有交点，最后再确定和直线有交点时，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上， ∴即，即， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵和关于原点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：设所在抛物线为， 和所在抛物线关于点对称， ， 且的顶点和顶点也关于点对称， 即， 恰好经过的顶点， ，即， 解得， 在轴左侧， ， 所在抛物线为； （3）解：观察图3可知， 与关于轴对称， 所在抛物线为． 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消去得，即， ， 解得， 当时，和直线必有交点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 由韦达定理，，至少有一负根． 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 由韦达定理，，至少有一正根． 考虑函数，当时，， 则， ∴． 综上所述，的取值范围为． 题型四：销售问题 10．某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润 (2)当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 11．2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： (1)求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； (2)若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元 (3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由题意得，每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为w元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设月销售量与销售单价的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴月销售量与销售单价的函数表达式为； （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套，则 ， 解得：， ∵要尽可能让利于顾客， ∴选择较低定价， 答：每套吉祥物套装应定价60元； （3）解：设每月销售利润为w元，根据题意得： ， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为6250， 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 12．某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)元或元 (2)当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． (1)根据总利润=单利润数量列出一元二次方程求解； (2)将利润函数配方成顶点式求最大值； (3)降价后的利润函数为，结合销售量条件和确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大的要求，得到关于a的不等式，解不等式得到 a 的范围． 【详解】（1）解：由题意可得方程：， 整理，得， 解得，． 答：销售单价为元或元． （2）解：由题意可得． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元． （3）解：， ∴对称轴为直线． ∵每天的销售量不低于块， ， ， 随的增大而增大，且开口向下， ， ， ， ． 题型五：投球问题 13．如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【答案】(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 14．“闽超”是福建省首个省级顶级城市足球赛事，于2026年正式启幕．赛事以“福聚八闽，爱拼会赢”为核心理念，旨在通过城市间的足球竞技，激活福建足球活力，促进文体旅商融合． 【数学观察】小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分． 【数学建模】为研究禁区外射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为米． (1)在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； (2)【建模应用】已知球门中心点正对原点O所在的水平直线．球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．经计算，在无拦截的状态下，此次射门足球能够直接飞入球门．已知对方守门员身高米，站在距球门线米处准备扑救．该守门员原地起跳的最大高度是米，手臂可伸出至头顶正上方米的位置．问：该守门员能否扑到这脚射门？若能，请说明理由；若不能，请计算该守门员需要沿x轴方向至少移动多少米才能恰好扑到球．（结果精确到0.1米，） 【答案】(1) (2)不能扑到，理由如下： 对于， 当时，， ∵该守门员的最大摸高为， ∴该守门员不能扑到这脚射门． 【分析】（1）根据题意得：点，顶点，设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）把代入（1）中的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点，顶点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 15．某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点，，，，所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 【答案】(1) (2)发出后的排球能越过球网，不会出界 (3) 【分析】（1）推导出抛物线L的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线L的解析式，把代入可求得抛物线L的二次项的系数，即可得到抛物线L的解析式； （2）能否越过球网，要看当时，抛物线的纵坐标是否大于球网的高度2.5；是否会出界，要看当时，x的值是否大于边界到原点的距离18； （3）抛物线的形状与抛物线L的形状相同，那么两个抛物线的二次项的系数的绝对值相同，最大高度为，那么抛物线的顶点的纵坐标为1，抛物线的二次项的系数为负数，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点代入可得抛物线的二次项的系数，也就求出了抛物线的解析式．排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，的高度是，抛物线的最大高度是，那么排球从最高处开始下落，若护栏在抛物线对称轴所在的位置，就能砸到，此时m的值最小；排球落地时，砸到点A，m的值最大，进而得到m的取值范围． 【详解】（1）解：∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为， ∴抛物线L的顶点坐标为， 设抛物线L的解析式为：， ∵过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵当时，， ∴发出后的排球能越过球网， ∵当时，，（在x轴负半轴，舍去）， ∴不会出界， 答：发出后的排球能越过球网，不会出界； （3）解：设抛物线的解析式为：， ∵过， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴， ∵排球从最高处开始下落，抛物线的最大高度为，护栏的高度是， ∴护栏在距离原点处，就会被排球砸到， ∴， 当排球落地时，砸到点A， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴， 故m的范围为． 题型六：喷水问题 16．经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意求出点的坐标，进而求解． 【详解】解：将代入， 则， ∴， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为． 17．明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他通过研究发现，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，如图：水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的明明站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，则他的头顶能碰到水柱吗？ 【答案】他的头顶不能碰到水柱． 【分析】根据顶点，得出抛物线的表达式，令，求得的值，与比较即可求解． 【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系， 则抛物线的解析式为， 令，则， 故他的头顶不能碰到水柱． 18．综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可； （2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围； （3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为， 因此抛物线顶点坐标为． 设抛物线顶点式为， 又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点， 将代入解析式：， 解得， 因此抛物线解析式为； （2）解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头， 设抛物线顶点式为，代入得， 即， 因此抛物线解析式可整理为：， ∵顶点横坐标恒为1，且过喷头， ∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池； ∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上， ∴当时，， 当时，，解得， ∴； （3）解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离． 第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远． 此时（2）中抛物线解析式为， ∵，， ∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E， ∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同， ∴第二层喷头的抛物线解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：（舍去） 因此底部圆形水池的最小半径为． 题型七：增长率问题 19．完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆柱表面积公式列式即可； （2）当年销售量等于上年度销售量乘以年平均下降率，由此列式求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，一年后的年销售量为：， 两年后产品的年销售量． 20．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 题型八：线段周长问题 22．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 23．如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）本题考查二次函数的性质，解题的关键在于求解抛物线与坐标轴的交点坐标． （2）本题考查二次函数的性质以及二次函数最值问题，解题的关键在于通过求解抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，再利用二次函数的性质来求解线段长度的最大值． 【详解】（1）解：令，得，即， 解得， 点在点的左侧， ， ， 顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：线段长度的最大值为． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 题型九：面积问题 25．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，即可得出点C的坐标；令，则，求解即可得出点A、B的坐标； （2）由可得点与点到轴的距离相等，结合点在第一象限得点的纵坐标为3，代入二次函数求解即可． 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，二次函数的面积问题，熟练掌握二次函数的与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ， 解得， ∴； （2）∵， ∴点与点到轴的距离相等， 又∵点在第一象限， ∴设点， ∴， 解得（舍去）， 则． 26．如图，二次函数与轴交于A，B两点，与轴交于点C，顶点为D． (1)直接写出点，D的坐标； (2)为抛物线第四象限上一点，，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据二次函数解析式确定与x轴、y轴的交点即可；将二次函数化为顶点式即可确定顶点坐标； （2）根据题意得出，设点，确定，再由面积建立方程得出，代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得：， 由图象得，点A在点B的左侧， ∴； 当时，， ∴； ， ∴顶点坐标； （2）由（1）得， ∴， 设点， ∵为抛物线第四象限上一点， ∴， ∵， ∴即， 解得：， 当时，， 解得：， ∵， ∴． 27．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)求、、、的坐标； (2)点是直线下方的抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、、 (2)、面积的最大值为8 (3)或或或 【分析】（1）把解析式化为顶点式可得点D的坐标，再求出时，y的值和时，x的值即可得到点A、B、C的坐标； （2）求出直线的解析式为；过点M作轴交于点E，设，则，可求出，据此可得答案； （3）设，可求出，，；再分三种情况：①若，则，②若，则，③若，则，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点D的坐标为； 在中，当时，，则； 在中，当时，则，解得， ∴、； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点M作轴交于点E， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时，即此时点M的坐标为； （3）解：由（1）得对称轴为直线， 设； ∵， ∴，， ； ①若，则， ∴， 解得， ∴； ②若，则， ∴ 解得， ∴； ③若，则， ∴ 解得或． ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 题型十：角度问题 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 29．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）先求出点D的坐标为，可得，，，的长， 过点A作于点E，再由，可得，再由勾股定理求出，从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，再由，可得，过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，设点M的坐标为，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 令，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点， ∴，， 如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点M作轴于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点M的坐标为， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或2或4， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 30．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，，从而可得，，作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，从而可得，最后再代入二次函数解析式，计算即可得出结果． 【详解】解：在中，令，则， 解得，， ∴，， ∴，， 如图，作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴． 题型十一：特殊三角形问题 31．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 32．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 【答案】(1)15 (2)或 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在， 【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设，则表示出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设，则有，，，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得：， 解得： ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 分三种等腰情况讨论： 当时：， 解得，得； 当时：， 解得，得、； 当时：， 解得，得、． 综上，所有满足条件的坐标为：． 题型十二：特殊四边形 34．已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) 解：抛物线关于轴对称的图象如图． (2) (3) 解：如图，四边形为菱形．理由如下： 点关于轴对称，点关于轴对称， ， 四边形为平行四边形． 又四边形为菱形． 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据对称之后的图像特征求解析式即可； （3）先证明四边形为平行四边形，再根据证明菱形． 【详解】（1）略 （2）解：抛物线关于轴对称之后开口方向向下，开口大小不变，顶点坐标为， 故答案为：． （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 35．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 36．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为． 【分析】（1）求得，即，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理求得直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴的左侧， ∴，即， ∵，， 由题意得， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次函数的应用期中复习讲义 1.能读懂实际问题，分析数量关系，建立二次函数数学模型，写出对应的函数解析式，确定自变量的实际取值范围。 2.掌握二次函数求最值的方法，区分顶点在取值范围内、顶点不在取值范围两种情况；会利用开口方向、对称轴求最大或最小值。 3.熟练掌握三大常考模型：销售利润最值问题、几何图形面积最值问题、拱桥 / 隧道类抛物线模型问题。 4.会结合实际情境检验结果，根据自变量取值取舍最值，明白最值不一定都在顶点处取得。 5.能读懂图表信息，从表格中提取数据，列出二次函数关系式，再求解实际问题。 规范应用题答题步骤，做到审、设、列、求、验、答完整书写。 6.梳理易错点：不要忽略自变量的实际取值限制；区分顶点最值与区间最值；单位书写规范；读懂题干 “最大利润、最大面积” 等问题。 7.提升文字阅读、数学建模能力，灵活运用数形结合思想，会用二次函数模型解决实际最值问题。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 线段周长问题 ★★★★ 题型九 面积问题 ★★★★ 题型十 角度问题 ★★★★ 题型十一 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十二 特殊四边形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点总览：二次函数应用题两大核心类型 实际问题求解思路通用流程： 审题，找到变量，设自变量x、函数y； 根据等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a0)； 确定自变量x的实际取值范围（重中之重，极易遗漏）； 判断顶点横坐标是否在取值范围内，分情况求最大值 / 最小值； 结合问题写出最终答案。 核心原理： a>0，抛物线开口向上，顶点处取得最小值； a<0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值。 ⚠️若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则最值出现在区间端点。 知识点1:实际问题与二次函数的练习转化 知识点 2 类型一：最大面积问题 常见场景：矩形面积、围栏围场地、窗户、隧道截面、内接多边形面积等。 解题思路 1.用含x的代数式表示图形两条关键边长； 2.根据面积公式建立二次函数； 3.根据限制条件写出x取值范围； 4.利用顶点求面积最值。 典型模型：围栏问题 用总长固定的篱笆围成矩形场地（一边靠墙），设垂直墙边长为x，写出面积S关于x的函数，求最大面积。 ⚠️易错：篱笆长度不要重复计算靠墙的一边。 知识点 3 类型二：最大利润问题（考试高频） 相关等量关系： 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润 销售量 两类常见设问 涨价模型：售价上涨，销量随之减少； 降价模型：售价下调，销量随之增加。 标准步骤 设涨价（降价）x元； 表示出新单价、单件利润、变化后的销售量； 列出总利润的二次函数； 根据售价、销量为正数，确定自变量取值范围； 求函数最大值。 ⚠️重要提醒：部分题目要求售价为整数，求出顶点后需要检验取邻近整数对比利润。 知识点 4 类型三：抛物线型实际运动轨迹（抛物线建模） 1.常见场景：投篮、抛小球、喷泉、桥梁拱洞、隧道、炮弹飞行。 核心思路：建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求解高度、水平距离等问题。 2.常见设问： 求抛物线解析式； 求最大高度； 判断物体能否通过指定位置； 求落地时水平距离。 3.坐标系建法技巧： 优先把原点放在顶点、起点或者地面交点，简化计算。 知识点5最值分类讨论核心表格 设二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，顶点横坐标 x0=-，自变量取值范围 m xn 开口方向 顶点位置 最值结论 a>0（开口向上） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最小=；最值大在端点x=m或x=n a>0（开口向上） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而增大；x=m最小，x=n最大 a>0（开口向上） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而减小；x=n最小，x=m最大 a<0（开口向下） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最大=；最小值在端点x=m或x=n a<0（开口向下） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而减小；x=m最大，x=n最小 a<0（开口向下） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而增大；x=n最大，x=m最小 知识点6二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点7高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 忽略自变量取值范围 直接套用顶点公式求最值，不检验顶点横坐标是否在范围内 顶点不在取值区间时，最值只能在区间端点取得 面积 / 利润模型列式错误 混淆边长表达式、利润公式，符号出错 严格牢记：总利润 = 单件利润 × 销量；面积 = 长 × 宽 单位不统一 题目单位不一致直接代入计算 列式前统一所有长度、价格单位 取值忽略实际意义 长度、数量不能为负数，人数、商品数量一般≥0 自变量范围必须满足x>0等现实条件 坐标系建模出错 坐标轴原点随意选取，坐标符号混乱 优先将关键点放在坐标轴上，简化计算 混淆最大、最小值 开口向上强行求最大值，开口向下求最小值 a>0有最小值；a<0有最大值 题型一：图形问题 1．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，求该苗圃园面积的最大值．以下是小嘉同学的解法，请判断是否正确，如果正确，请在虚线框内打√，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解： ， 当时，最大值为128． 答：该苗圃园面积的最大值为． 2．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求的值； (2)矩形停放区需要铺设地面，地面每平方米铺设的费用为元，若外墙长度足够大，该矩形停放区的占地面积最大时铺设费用是多少？ 3．问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，、红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元，100元，60元． 建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． (1)用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； (2)求与之间的函数表达式； (3)当购买花卉的总费用为3520元时，求的长． 题型二：图形运动问题 4．如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 5．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 题型三：拱桥问题 7．金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 8．河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 9．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 题型四：销售问题 10．某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 11．2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： (1)求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； (2)若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 12．某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 题型五：投球问题 13．如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 14．“闽超”是福建省首个省级顶级城市足球赛事，于2026年正式启幕．赛事以“福聚八闽，爱拼会赢”为核心理念，旨在通过城市间的足球竞技，激活福建足球活力，促进文体旅商融合． 【数学观察】小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分． 【数学建模】为研究禁区外射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为米． (1)在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； (2)【建模应用】已知球门中心点正对原点O所在的水平直线．球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．经计算，在无拦截的状态下，此次射门足球能够直接飞入球门．已知对方守门员身高米，站在距球门线米处准备扑救．该守门员原地起跳的最大高度是米，手臂可伸出至头顶正上方米的位置．问：该守门员能否扑到这脚射门？若能，请说明理由；若不能，请计算该守门员需要沿x轴方向至少移动多少米才能恰好扑到球．（结果精确到0.1米，） 15．某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点，，，，所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 题型六：喷水问题 16．经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 17．明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他通过研究发现，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，如图：水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的明明站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，则他的头顶能碰到水柱吗？ 18．综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 题型七：增长率问题 19．完成以下问题： (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 20．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 21．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 题型八：线段周长问题 22．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 23．如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 题型九：面积问题 25．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 26．如图，二次函数与轴交于A，B两点，与轴交于点C，顶点为D． (1)直接写出点，D的坐标； (2)为抛物线第四象限上一点，，求点的坐标． 27．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)求、、、的坐标； (2)点是直线下方的抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十：角度问题 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 29．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 题型十一：特殊三角形问题 31．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 32．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十二：特殊四边形 34．已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． (1)作出抛物线关于轴对称的图象． (2)新图象的函数表达式为______． (3)设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 35．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 36．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $