6.2 二次函数的图象与性质（第5课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级下册

6.2 二次函数的图象与性质（第5课时） 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 苏科版九年级下册 教学目标 1.理解二次函数 的图象特征及其与 的关系。 2.掌握通过配方法将 转化为 的过程。 3.能熟练确定二次函数 （）的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及增减性。 教学重点 用配方法将一般式化为顶点式； 由顶点式确定二次函数图象的开口、顶点、对称轴、最值及增减性。 教学难点 含二次项系数 或 时的配方过程及符号处理； 理解一般式、顶点式与图象平移之间的内在联系，灵活判断最值和增减性。 教材分析 本节是初中数学苏科版九年级第六章《二次函数》第二节《二次函数的图象与性质》（第5课时 二次函数的图象与性质），核心知识点：顶点式 的图象特征及其与 的平移关系；用配方法将一般式 化为顶点式；由 确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及增减性。 本课时是在学生认识 、、 及 图象与平移关系的基础上，进一步研究一般式 。概念形成逻辑为：由具体函数配方发现一般式可转化为顶点式，从而把一般式问题化归为顶点式问题；通过配方确定顶点与对称轴，建立“表达式—图象—性质”的对应。知识价值在于渗透转化思想、数形结合思想和模型思想，为后续研究二次函数与方程、不等式及实际问题奠定基础。教学重点是通过配方法将一般式化为顶点式，并据此确定开口方向、顶点、对称轴、最值及增减性；同时理解 对图象形状和位置的影响。 学情分析 学生已学习二次函数 、、、的图象与平移，掌握完全平方公式、多项式运算和一元二次方程配方法，具备由图象读性质的经验。因此，由顶点式读顶点、对称轴、最值较易，借助平移关系理解 也较自然。难点在于将一般式配方时提取二次项系数后常数项的配凑与符号处理，以及含字母参数配方较抽象；部分学生对对称轴 的负号、最值与开口方向的对应易混淆。教学中应通过具体到一般、对比纠错、图象验证，帮助学生突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 情境问题：校园喷泉水柱、投篮轨迹可抽象为抛物线，最高点由顶点决定。已知某抛物线可写成 ，怎样画它的图象并确定顶点？ 【复习回顾】 二次函数 与 的图象之间有什么位置关系？二次函数 与 的图象之间有什么位置关系？ 归纳：二次函数 的图象可以看作由 的图象向上平移2个单位长度得到；二次函数 的图象可以看作由 的图象向左平移1个单位长度得到。 【问题引入】 如何画二次函数 的图象？ 可用列表、描点、连线。 它与 的图象有什么关系？ 将 的图象先向左平移1个单位长度得到 的图象，再向上平移2个单位长度，就得到 的图象（也可先向上再向左平移）。还可以先由顶点式确定开口、顶点、对称轴，再描关键点画草图。 【师生活动】 教师出示喷泉、投篮等抛物线情境，提问平移关系； 学生回顾旧知，口答平移方向和距离，并提出画 图象的方法。 以生活抛物线激发兴趣，由旧知平移自然引出顶点式，明确本课学习方向：理解 的图象特征，掌握配方法，熟练确定开口、顶点、对称轴、最值及增减性。 探究点1：的图象特征及与 的关系 【问题引入】 观察 、、 的图象，填空：形状______，开口方向______；的顶点坐标是______，对称轴经过______且与 轴______。 答案：形状相同，开口方向相同；顶点 ；对称轴经过顶点且与 轴平行。 【师生活动】 教师演示图象平移，提问“水平方向怎样移？竖直方向怎样移？”； 学生观察图象、分组讨论并填空。 【详细过程】 水平方向：将 的图象沿 轴平移 个单位长度。当 时向右平移 个单位长度；当 时向左平移 个单位长度，得 。 竖直方向：再将所得图象沿 轴平移 个单位长度。当 时向上平移 个单位长度；当 时向下平移 个单位长度，最后得到 的图象。 想一想： 二次函数 y＝的顶点是 (0，0)，平移后的顶点是 (h，k)，这说明图象在水平方向移动了 h 个单位，在竖直方向移动了k个单位，所以平移后的二次函数表达式为 y＝ 【新知归纳】 形如 （ 是常数，）的函数表达式称为二次函数的顶点式。图象顶点为 ，对称轴为经过点 且平行于 轴的直线，函数最大值或最小值为 ；图象的开口方向、形状与 的图象相同。 通过图象观察和平移操作，由旧知迁移到顶点式，突破顶点式图象特征的理解难点，发展数形结合能力。 探究点2：配方法化 为顶点式 【问题引入】 如何画二次函数 的图象？能否先化为顶点式？ 【师生活动】 教师引导“先配成完全平方”，学生独立配方并交流； 教师追问“它与哪个函数是同一个函数？由 怎样平移得到？” 【详细过程】 。 所以二次函数 与 是同一个函数。 其图象可以由 的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到（也可先向左平移1个单位，再向上平移2个单位）。画图时先确定开口向上、顶点 、对称轴 ，再描关键点连线。 通过配方将一般式化为顶点式，掌握配方法步骤，体会等价变形，为一般式配方作铺垫。 探究点3：一般式 的配方与性质 【问题引入】 你能把 化成 的形式吗？请说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴以及最大值或最小值。 【师生活动】 教师引导提公因式、配方； 学生分组推导，归纳顶点坐标公式和性质，并讨论 对图象的影响。 【详细过程】 。 于是 ，，顶点为 ，对称轴为直线 。 【性质归纳】 通过一般式配方推导顶点坐标公式和性质，培养符号运算与抽象概括能力，突破“由一般式直接判断图象性质”的难点。 探究点4：画二次函数图象的草图 【问题引入】 如何画出二次函数 的图象的草图？ 【师生活动】 教师引导按“定开口—定顶点与对称轴—找交点—找对称点—连线”五步操作； 学生动手描点、连线并互评。 【详细过程】 （1）定开口：，开口向上。 （2）定顶点与对称轴：顶点坐标为 ；对称轴为过顶点且平行于 轴的虚线，即直线 。 （3）找交点：令 ，得 ，与 轴交点为 ；令 ，则 ，与 轴没有交点。 （4）找对称点：点 关于对称轴直线 的对称点为 。 （5）连线：描出点 ，，，用平滑的曲线连接起来，并向两端自然延伸。 通过五步画草图，掌握快速作二次函数图象的方法，发展几何直观和数形结合意识。 课堂小结 板书设计 6.2 二次函数的图象与性质（第5课时 二次函数 y＝ 的图象与性质） 一、顶点式 顶点：；对称轴：直线 ；最值：。 二、平移规律 左加右减，上加下减。 三、配方法 顶点：对称轴： 四、图象性质 ：开口向上，有最小值； ：开口向下，有最大值； 增减性以对称轴为界。 五、系数与图象 ：开口方向与大小； ：对称轴位置，“左同右异”； ：与 轴交点 。 六、例题 开口向下，顶点 ，对称轴 ，最大值 。 随堂练习 例4 画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值。 解： 。 关键思路：先提负号，再配成完全平方，保持等价变形；由 判断开口向下，由顶点式读出顶点和对称轴，再描点连线。 答：函数图象开口向下，顶点坐标是 ，对称轴是过点 且平行于 轴的直线（即 ）。当 时， 的值最大，最大值是 。 【新知巩固1】 画出二次函数 的图象。 解： 。 ，抛物线开口向上，顶点坐标是 ，对称轴是直线 。 【新知巩固2】写出下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴及函数的最大值或最小值。 （1）；（2）；（3）。 解：（1）已是顶点式，，顶点 ，对称轴 ，最大值 。 （2）， ，顶点 ，对称轴 ，最小值 。 （3）， ，顶点 ，对称轴 ，最小值 。 教学反思 本节课围绕“平移—顶点式—配方法—图象性质”展开，概念理解目标通过图象平移和例题辨析基本达成，学生能由顶点式直接说出顶点、对称轴及最值。配方法是本节难点，部分学生对配方时常数项的添减和符号处理仍不够熟练，虽通过示范、对比和错例纠正有所突破，但独立完成一般式转化仍需加强。最值与增减性的判断需结合开口方向和对称轴，学生容易只看顶点而忽略 的符号。改进方向：增加配方变式训练，设置小组合作说理环节，让学生用草图解释性质；同时压缩讲授时间，留出当堂练习与反馈，促进知识内化。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $