6.2 二次函数的图象与性质（第5课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级下册

6.2 二次函数的图象与性质（5） 第5课时 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质 第六章 二次函数 学 习 目 标 1 2 理解二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象特征及其与 y＝ax2 的关系． 掌握通过配方法将 y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x－h)2＋k 的过程 ． 3 能熟练确定二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及增减性． 知识回顾 二次函数 y＝x2＋2 与 y＝x2 的图象之间有什么位置关系？ 二次函数 y＝(x＋1)2 与 y＝x2 的图象之间有什么位置关系？ 　　二次函数 y＝x2＋2 的图象可以看作由二次函数 y＝x2 的图象向上平移 2 个单位长度得到． 　　二次函数 y＝(x＋1)2 的图象可以看作由二次函数 y＝x2 的图象向左平移 1 个单位长度得到． 6 10 2 4 -2 -4 o 2 4 x y 6 -6 8 问题引入 如何画二次函数 y＝(x＋1)2＋2 的图象？ 列表、描点、连线． y＝x2 y＝(x＋1)2＋2 y＝(x＋1)2 　　二次函数 y＝(x＋1)2 ＋2与 y＝x2 的图象之间有什么位置关系？ 　　如图，将二次函数 y＝x2 的图象先向左平移 1 个单位长度得到二次函数 y＝(x＋1)2 的图象，再向上平移2个单位长度，就可以得到二次函数 y＝(x＋1)2＋2 的图象． （也可以先向上再向左平移） 你知道还可以怎样画二次函数 y＝(x＋1)2＋2 的图象吗？ 新知探究 根据图象填空： y＝(x＋1)2＋2、 y＝(x＋1)2、 y＝x2的图象 形状______，开口方向______． 6 10 2 4 -2 -4 o 2 4 x y 6 -6 8 y＝x2 y＝(x＋1)2＋2 y＝(x＋1)2 y＝(x＋1)2＋2的顶点坐标是_________，对称轴经过______且与 y 轴______． 相同 相同 （－1，2） 顶点 平行 讨论交流 说一说：二次函数 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 的图象之间有什么位置关系？ 水平方向：将 y＝ax2 的图象沿 x 轴平移 个单位长度． 　　　　 当h＞0时，向右平移 h 个单位长度； 　　　　　当h＜0时，向左平移个单位长度． 竖直方向：再将所得图象沿 y 轴平移 个单位长度． 　　　　　当k＞0时，向上平移 k 个单位长度； 　　　　　当k＜0时，向下平移个单位长度． 　　　　　最后得到 y＝a(x－h)2＋k 的图象． 讨论交流 　　想一想：平移二次函数 y＝ax2 的图象，使其顶点移到点（h，k）的位置，如何写出平移后的二次函数表达式？ 　　二次函数 y＝ax2 的顶点是 (0，0)，平移后的顶点是 (h，k)，这说明图象在水平方向移动了 h 个单位，在竖直方向移动了k个单位，所以平移后的二次函数表达式为 y＝a(x－h)2＋k ． 议一议：二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象有哪些基本特征？ 新知归纳 　　一般地，形如 y＝a(x－h)2＋k（a，h，k是常数，a≠0）的函数表达式称为二次函数的顶点式． 　　图象的顶点坐标为（h，k），对称轴为经过点（h，k）且平行于 y 轴的直线，函数最大值或最小值为 k．图象的开口方向、形状与二次函数 y＝ax2 的图象相同． 新知探究 如何画二次函数 y＝x2＋2x＋3 的图象？ y＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝(x＋1)2＋2． 二次函数 y＝x2＋2x＋3 与二次函数 y＝(x＋1)2＋2 是同一个函数． 二次函数 y ＝x2＋2x＋3的图象可以由二次函数 y＝x2 的图象先向____平移____个单位，再向____平移___个单位得到． 上 2 左 1 新知探究 试一试：你能把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式吗？ y＝ax2＋bx＋c ＝a(x2＋x)＋c ＝a(x＋)2－ ＋c ＝a(x＋) 2＋ ＝a＋c —“提”：提出二次项系数； —“配”：括号内配成完全平方； —“化”：化成顶点式. 请你说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、以及最大（或最小）值． 二次项系数 函数图象 图象开口方向 图象顶点 图象对称轴 函数变化趋势 函数最大(小)值 a＞0 a＜0 新知归纳 二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 是常数，a≠0）的图象特征和性质如下： 向上 向下 经顶点且平行于 y 轴的直线（直线 x＝） 当 x＜时，y 随 x 增大而减小； 当 x＞时，y 随 x 增大而增大 当 x＜时，y 随 x 增大而增大； 当 x＞时，y 随 x 增大而减小 当x＝时，函数值最小，最小值为 当x＝时，函数值最大，最大值为 抛物线 讨论交流 　　二次函数 y＝ax2＋bx＋c （a，b，c 是常数，a≠0）的图象形状、位置与系数a，b，c 之间有什么关系？ 1．系数a：决定图象的开口方向与开口大小（形状）． 开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下． 开口大小（形状）： 越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大． 2．系数a、b共同决定图象的对称轴位置． 对称轴：直线 x＝－． 简单判断法则（左同右异）：a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号，对称轴在 y 轴右侧； b＝0，对称轴是 y 轴（直线 x＝0）． 3．系数c：决定图象与 y 轴的交点位置．抛物线与 y 轴交于点（0，c）． c＞0，交点在y轴正半轴；c＜0，交点在y轴负半轴；c＝0，抛物线过原点． 例4 画出二次函数 y＝－x2－4x－5 的图象，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称 轴、最大值或最小值． 例题讲解 要画出二次函数y＝－x2－4x－5 的图象，可先将函数表达式变形为y＝a(x－h)2＋k 的形式． 解：y＝－x2－4x－5 ＝－(x2＋4x＋4－4)－5 ＝－(x＋2)2－1． 二次函数y＝－x2－4x－5的图象如图． 　　函数图象开口向下，顶点坐标是(－2，－1)，对称轴是过点(－2，－1)且平行于 y 轴的直线． 当x＝－2时，y的值最大，最大值是－1． -1 -2 -4 -3 1 2 x y 1 -3 -2 -1 -4 -7 -8 -5 -6 O -5 讨论交流 如何画出二次函数 y＝(x－1)2＋2 的图象的草图？ 1．定开口： a＝1＞0，开口向上． 2．定顶点与对称轴：  顶点坐标： (1，2)；对称轴：过顶点且平行于y轴的虚线（直线 x＝1）． 3．找交点：  令 x＝0，得 y＝3，与 y 轴的交点为 (0，3)； 令 y＝0，则(x－1)2＋2＝0，与 x 轴没有交点． 4．找对称点： 点(0，3)关于 对称轴直线 x＝1的对称点为 (2，3)． 5．连线：描出点(0,3)，(1,2)，(2,3)，用平滑的曲线连接起来，并向两端自然延伸． 新知巩固 1．画出二次函数 y＝x²－6x－5 的图象． 解：y＝x²－6x－5 ＝(x²－6x＋9)－9－5 ＝(x－3)2－14． 　　a＝1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标是(3，－14)，对称轴是直线 x＝3． y 2 -6 -4 -2 -8 -14 -16 -10 -12 O 8 4 6 x 2 x 0 1 3 5 6 y －5 －10 －14 －10 －5 新知巩固 2．写出下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴及函数的最大值或最小值． (1) y＝－3(x－2)2＋1；(2) y＝2x2－12x＋13；(3) y＝2． 解：(1) 顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线 x＝2，函数最大值为1． (2) 顶点坐标为(3，－5)，对称轴为直线 x＝3，函数最小值为－5． (3) 顶点坐标为，对称轴为直线 x＝，函数最小值为． 课堂小结 6.2 二次函数的图象与性质（5） 配方法：一般式 y＝ax2＋bx＋c→顶点式 y＝a(x－h)2＋k 特征和性质：开口、顶点、对称轴、增减性与最值 三个关系：a 定形状，a、b 定对称轴，c 定与 y 轴交点 感谢聆听！ $