杭州市2026-2027学年高一上学期数学期中模拟卷

2026—2027学年第一学期期中模拟练习 高一数学试题卷 （满分150分　考试时间120分钟） 考查范围：人教A版《必修第一册》第一章至第三章 考生须知 1．本卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，请将姓名、班级、学号填写在答题卷的指定位置上。 3．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷上无效。 4．考试期间不得使用计算器；作图可使用铅笔，确认后须用黑色字迹的签字笔描黑。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（5分）已知集合 A={x|-1<x<3}，B={x|x≥2}，则 A∩(∁RB)=（　　） A．{x|-1<x<2} B．{x|2≤x<3} C．{x|x<2} D．{x|-1<x≤2} 2．（5分）命题 p：∀x>0，x²+1>0，则 ¬p 是（　　） A．∃x>0，x²+1≤0 B．∃x≤0，x²+1≤0 C．∀x>0，x²+1≤0 D．∃x>0，x²+1<0 3．（5分）“a>b”是“a²>b²”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）函数 的定义域是（　　） A．[1, +∞) B．(1, 2)∪(2, +∞) C．[1, 2)∪(2, +∞) D．(1, +∞) 5．（5分）已知函数 y=f(x) 的图象如图所示，则 f(x) 的解析式可能是（　　） A．f(x)={ x+1，x<0；x²+1，x≥0 } B．f(x)={ x-1，x<0；x²-1，x≥0 } C．f(x)={ x+1，x<0；x²-1，x≥0 } D．f(x)={ x²+1，x<0；x+1，x≥0 } 6．（5分）已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点 (4, 2)，则 f(9)=（　　） A．2 B．3 C．4 D．9 7．（5分）已知函数 f(x)={ x²+1，x≤0；-2x，x>0 }，则 f(f(-2))=（　　） A．-10 B．-4 C．5 D．10 8．（5分）已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 (0, +∞) 上单调递增，f(1)=0，则不等式 f(x)<0 的解集是（　　） A．(-∞, -1)∪(0, 1) B．(-1, 0)∪(1, +∞) C．(-∞, -1)∪(1, +∞) D．(-1, 1) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（6分）已知集合 A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax-1=0}，若 B⊆A，则实数 a 的值可以是（　　） A．0 B．1 C． D．2 10．（6分）已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则下列结论正确的是（　　） A．ab≤ B．+≥4 C．a²+b²≥ D．+≥2 11．（6分）已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0, +∞) 上单调递减，则下列结论正确的是（　　） A．f(-2)=f(2) B．f(-1)<f(2) C．若 f(m)>f(1)，则 -1<m<1 D．f(x) 在 (-∞, 0] 上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）函数 的定义域是________。 13．（5分）已知 x>0，则 x+ 的最小值是________，此时 x=________。 14．（5分）已知函数 f(x)=x²-2ax+3 在区间 [1, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________。 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知集合 A={x|x²-4x+3<0}，B={x|a<x<a+2}。 （1）当 a=0 时，求 A∪B，A∩B；（6分） （2）若 A⊆B，求实数 a 的取值范围。（7分） 16．（15分）已知函数 。 （1）判断 f(x) 的奇偶性，并加以证明；（5分） （2）判断 f(x) 在 [1, +∞) 上的单调性，并用定义证明；（6分） （3）求 f(x) 在区间 [1, 3] 上的值域。（4分） 17．（15分）某工厂要建造一个长方体形状的无盖水池，容积为 800 m³，池深 2 m。池底每平方米造价 120 元，池壁每平方米造价 80 元。设池底的一边长为 x m。 （1）求水池总造价 y（元）关于 x 的函数表达式；（7分） （2）当 x 为何值时，总造价最低？最低造价是多少元？（8分） 18．（17分）已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)=x²-2x。 （1）求 f(0) 与 f(-1) 的值；（5分） （2）求 f(x) 的解析式；（6分） （3）若 f(x) 在区间 [a, a+1] 上单调递增，求实数 a 的取值范围。（6分） 19．（17分）已知函数 f(x)=x²-2ax+2 在区间 [1, 3] 上的最小值为 g(a)。 （1）求 g(a) 的表达式；（7分） （2）若 g(a)≥1，求实数 a 的取值范围；（5分） （3）若对任意的 x∈[1, 3]，都有 f(x)≥0，求实数 a 的取值范围。（5分） 2026—2027学年第一学期期中模拟练习 高一数学参考答案及评分标准 （满分150分） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．A 解析：∁RB={x|x<2}，与 A 取交集得 {x|-1<x<2}。 2．A 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，且要否定结论：“∀x>0，x²+1>0”的否定为“∃x>0，x²+1≤0”。 3．D 解析：取 a=1，b=-2，有 a>b 但 a²<b²，故不充分；取 a=-2，b=1，有 a²>b² 但 a<b，故不必要。 4．C 解析：需 x-1≥0 且 x-2≠0，即 x≥1 且 x≠2，故定义域为 [1, 2)∪(2, +∞)。 5．A 解析：图象在 x<0 的部分是过 (-1, 0)、(0, 1) 的直线，x≥0 的部分是过 (0, 1)、(1, 2) 的抛物线，故 f(x)={ x+1，x<0；x²+1，x≥0 }。 6．B 解析：由 4α=2 得 α，故 f(x)=，f(9)=3。 7．A 解析：f(-2)=(-2)²+1=5，f(5)=-2×5=-10。 8．A 解析：f(x) 为奇函数且在 (0,+∞) 上递增，故在 (-∞,0) 上也递增，又 f(-1)=-f(1)=0。当 x>0 时 f(x)<0 得 0<x<1；当 x<0 时 f(x)<0 得 x<-1。 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．ABC 解析：A={1, 2}。当 a=0 时 B=∅⊆A；当 a=1 时 B={1}⊆A；当 a时 B={2}⊆A；当 a=2 时 B={}⊄A。 评分标准：全部选对得6分，部分选对得部分分（选对1个得2分，选对2个得4分），有选错得0分。 10．ABC 解析：由 a+b=1 及基本不等式，ab≤()²，A 正确； +≥4，B 正确；a²+b²=(a+b)²-2ab=1-2ab≥，C 正确； (+)²=1+2≤2，故 +≤<2，D 错误。 11．ACD 解析：偶函数满足 f(-x)=f(x)，A 正确；因在 [0,+∞) 上递减且 1<2，故 f(1)>f(2)，即 f(-1)>f(2)，B 错误； 由 f(|m|)=f(m)>f(1) 及递减性得 |m|<1，C 正确；由偶函数图象关于 y 轴对称可知在 (-∞,0] 上递增，D 正确。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．[-2, 1)∪(1, 2] 解析：需 4-x²≥0 且 x-1≠0，即 -2≤x≤2 且 x≠1。 13．4；2 解析：x>0 时 x+≥2=4，当且仅当 x=2 时取等号。 14．a≤1 解析：f(x) 的图象开口向上，对称轴为直线 x=a。要在 [1,+∞) 上单调递增，需 a≤1。 四、解答题（共77分） 15．（13分） 解：（1）由 x²-4x+3<0 得 1<x<3，即 A=(1, 3)。 当 a=0 时，B=(0, 2)， 所以 A∪B=(0, 3)，A∩B=(1, 2)。 （2）因为 A⊆B，所以需 a≤1 且 a+2≥3， 即 a≤1 且 a≥1，故 a=1。 评分标准：（1）化简集合 A 得 2 分，并集、交集各 2 分；（2）列出两个不等式各 2 分，结论 3 分。 16．（15分） 解：（1）f(x) 为奇函数。 证明：f(x) 的定义域为 R，对任意 x∈R， f(-x)=-=-f(x)， 所以 f(x) 是奇函数。 （2）f(x) 在 [1, +∞) 上单调递减。 证明：设 1≤x₁<x₂，则 f(x₁)-f(x₂)-。 因为 x₂>x₁≥1，所以 x₂-x₁>0，x₁x₂-1>0，分母大于 0， 所以 f(x₁)>f(x₂)，故 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递减。 （3）由（2）知 f(x) 在 [1, 3] 上递减， 所以最大值为 f(1)，最小值为 f(3)， 故值域为 [，]。 评分标准：（1）结论 1 分，证明 4 分；（2）结论 1 分，作差变形 3 分，判断符号并下结论 2 分；（3）两个端点值各 1.5 分，值域 1 分。 17．（15分） 解：（1）池底面积为 800÷2=400（m²），池底另一边长为（m）。 池底造价为 120×400=48000（元）；池壁面积为 2×2×(x+)=4x+（m²）。 所以 y=48000+80(4x+)=48000+320x+（x>0）。 （2）因为 x>0，所以 320x+≥2=2×6400=12800， 当且仅当 320x，即 x=20 时取等号。 此时 ymin=48000+12800=60800（元）。 答：当 x=20 m 时总造价最低，最低造价为 60800 元。 评分标准：（1）底面积与另一边长 3 分，池壁面积 2 分，函数表达式 2 分；（2）用基本不等式求最值 5 分（等号条件 2 分），结论 3 分。 18．（17分） 解：（1）因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)=0； f(-1)=-f(1)=-(1²-2×1)=1。 （2）当 x<0 时，-x>0，f(-x)=(-x)²-2(-x)=x²+2x， 由 f(x)=-f(-x) 得 f(x)=-x²-2x。 所以 f(x)={ x²-2x，x>0；0，x=0；-x²-2x，x<0 }。 （3）当 x>0 时，f(x)=(x-1)²-1，在 (0, 1] 上递减，在 [1, +∞) 上递增； 由奇函数图象关于原点对称可知，f(x) 在 (-∞, -1] 上递增，在 [-1, 0) 上递减。 要使 f(x) 在 [a, a+1] 上单调递增，需 [a, a+1]⊆(-∞, -1] 或 [a, a+1]⊆[1, +∞)， 即 a+1≤-1 或 a≥1，故 a≤-2 或 a≥1。 评分标准：（1）f(0) 2 分，f(-1) 3 分；（2）x<0 部分 4 分，分段写法 2 分；（3）单调区间 3 分，结论 3 分。 19．（17分） 解：（1）f(x)=(x-a)²+2-a²，图象开口向上，对称轴为直线 x=a。 当 a<1 时，f(x) 在 [1, 3] 上递增，g(a)=f(1)=3-2a； 当 1≤a≤3 时，g(a)=f(a)=2-a²； 当 a>3 时，f(x) 在 [1, 3] 上递减，g(a)=f(3)=11-6a。 所以 g(a)={ 3-2a，a<1；2-a²，1≤a≤3；11-6a，a>3 }。 （2）当 a<1 时，由 3-2a≥1 得 a≤1，成立； 当 1≤a≤3 时，由 2-a²≥1 得 a²≤1，故 a=1； 当 a>3 时，由 11-6a≥1 得 a≤，不成立。 综上，a≤1。 （3）对任意 x∈[1, 3] 都有 f(x)≥0，等价于 g(a)≥0。当 a<1 时，3-2a≥0 得 a≤，故 a<1；当 1≤a≤3 时，2-a²≥0 得 1≤a≤；当 a>3 时，11-6a≥0 得 a≤，不成立。 综上，a≤。 评分标准：（1）三种情况各 2 分，分段结论 1 分；（2）每种情况 1 分，结论 2 分；（3）转化为最小值 1 分，求解并合并 4 分。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $