精品解析：浙江省杭州市西湖区绿城育华学校2025-2026学年高一上学期期中考数学试题

杭州绿城育华学校2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题人：郑观宝 审题人：何杭杰 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得． 2. 已知，则函数在下列区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图象的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，由补集和交集的定义求. 【详解】不等式，解得，所以， ，则有或， 所以. 4. 已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 在区间内单调递增 D. 在时取最大值 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的对称性与单调性逐项分析判断即可. 【详解】当时，恒成立， 所以在上单调递减，由于的图象关于对称， 所以在上单调递增，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值，故D正确； 由于的图象关于对称，所以， 由于上单调递减，所以，故B错误； 与的大小关系不确定，故A错误. 故选：D 5. “函数在区间单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式，解不等式，然后判断. 【详解】函数，在区间单调递增，则，解得， 所以函数，在区间单调递增是的必要不充分条件. 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】易知； 所以，可得. 7. 已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于命题，在上有解，而为减函数， 所以当时，，解得. 对于命题，不等式恒成立，可化为在上恒成立. 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，，所以，所以. 和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，则. 综上，. 8. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 10. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则方程无实数根 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知，则最小值为9 D. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据判别式的正负可判断A；根据集合间的包含关系可判断B；对分母配凑出的形式，进而利用基本不等式求最值可判断C；将问题等价转化，写出存在量词命题的否定，根据根的情况写出判别式的正负，列不等式求解可判断D. 【详解】因为，所以方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，故A错误. 因为是的真子集，小范围可推出大范围，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确. 因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9，故C正确. 因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，即关于x的方程无实数解， 所以，解得，则实数m的取值范围是，故D正确. 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于x的不等式的解集也为M B. 若，则的最小值是3 C. 若，则关于x的不等式的解集为或 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】当同号时，，即，亦即，此时解集相同； 当异号时，，即，亦即，显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误. 若，即的解集为， 则是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是3，故B正确. 若，即的解集为， 则是方程的两个根， 所以，所以， 则关于x的不等式，即， 两边同时除以负数a得，即，其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】结合所求函数需满足的性质以及幂函数的性质，即可确定答案. 【详解】对于幂函数，定义域为， 由于，即是奇函数； 且在上单调递减，故符合题意的一个函数为. 13. 若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 14. 若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以或. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 16. （1）求下列不等式的解集：（i）；（ii）； （2）已知幂函数在上单调递增，设，当时，求函数的值域． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【详解】（1）（i）因式分解得， 解得，所以原不等式的解集为. （ii）移项，得，通分得，即，等价于， 解得，所以原不等式的解集为. （2）函数为幂函数，，解得或， 又在上单调递增，，即， ，对称轴为，在上单调递增， ，故函数的值域为. 17. 已知函数． （1）请用函数单调性定义证明，在上单调递增； （2）若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 【答案】（1）证明见解析 （2）时，的值域为；时， 的值域为. 【解析】 【分析】（1）用函数单调性的定义证明即可； （2）由的单调性得在上的值域，从而可求的值域. 【小问1详解】 设是上的任意两个实数，有， ， 因为，所以，，，有， 所以，故在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得在上单调递增，的值域为. 若，由，解得，因为，故的值域为； 若，由，解得，因为，故的值域为. 综上所述：时，的值域为；时， 的值域为. 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） （1）设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； （2）设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； （3）当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） （3）当时，取得最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用十字形地域的面积表达式，可求得关于的函数解析式； （2）分别求出三部分造价并相加即可得出关于的函数表达式； （3）利用基本不等式可求得当时，取得最小值为. 【小问1详解】 根据题意可知十字形地域的面积为4个阴影部分面积加上一个正方形的面积， 因此，即，因为，所以； 可知. 【小问2详解】 由题意可知正方形的造价为元， 花岗岩地坪造价为， 草坪造价为； 所以总造价. 因此关于的函数关系式为； 【小问3详解】 易知; 当且仅当时，即时，等号成立； 因此当时，取得最小值为. 19. 对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． （1）若，求不动点； （2）对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 ， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. 【小问2详解】 （i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州绿城育华学校2025学年第一学期期中考试 高一数学 命题人：郑观宝 审题人：何杭杰 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则函数在下列区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 在区间内单调递增 D. 在时取最大值 5. “函数在区间单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 10. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则方程无实数根 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知，则的最小值为9 D. 若命题“”为假命题，则实数m取值范围是 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于x的不等式的解集也为M B. 若，则的最小值是3 C. 若，则关于x的不等式的解集为或 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 13. 若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 14. 若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 16. （1）求下列不等式的解集：（i）；（ii）； （2）已知幂函数在上单调递增，设，当时，求函数值域． 17 已知函数． （1）请用函数单调性定义证明，在上单调递增； （2）若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 18. 如图，居民小区要建一座八边形休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） （1）设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； （2）设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； （3）当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值． 19. 对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． （1）若，求不动点； （2）对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $