重庆市长寿中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025年秋期长寿中学高一年级第三次段考 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则下列关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 3．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 4．已知定义在上的函数满足，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 5．已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 6．随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 8．若是奇函数，则的值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列选项正确的是（ ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为2 C．若正实数，满足，则的最小值为8 D．若，则的最小值为2 10．已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（    ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 11．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有 名，最少有 名． 13．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为 元. 14．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）设集合，. (1)求； (2)求. 16．（15分）已知函数，. (1)若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集. 17．（15分）俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为，求的值. 18．（17分）设函数，其中且，且. (1)当时，求的定义域； (2)当时，利用定义法证明：在定义域内单调递增； (3)若存在，使得，证明：. 19．（17分）设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有. (1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②. (2)若（）是函数的“区间”，求m的取值范围； (3)已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-5．BABBC 6-8．CCB 9．BC 10．AD 11．ABC 12． 60 ；40 13． 14． 15．解：（1）因为，，所以 （2）因为，，所以 16．解：（1）①当时，恒成立，符合题意； ②当时，由已知可得，解得. 综上，a的取值范围是. （2）不等式可化为，即， ①当时，可化为，得，原不等式的解集； 当时，方程的两根为和2， ②当时，可化为，解得，原不等式的解集为； ③当时，解得或，则原不等式的解集为或； ④当时，解得，则原不等式的解集为 ⑤当时，解得或，则原不等式的解集为或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 17．解： （1）解：， 因为，， 所以，即， 所以函数与的“偏差”为8. （2）解：令， ∵，均为上的单调递减函数， ∴是上的单调减函数， 令得，， 又，， 所以 所以，即的“偏差”为， 因为的“偏差”为， 所以，解得 所以，当的“偏差”为，. 18．解：（1）当时，. 根据对数函数的定义可知，即， 故的定义域为. （2）当时，，设的定义域为. 在上任取，，且，， 当时，指数函数在上单调递增. 由于，则，. 又，故在区间上单调递增， 所以，即. 故当时，在上单调递增； 当时，指数函数在上单调递减. 由于，则，. 又，故在区间上单调递减， 所以，即. 即当时，在上单调递增. 综上，当或时，对于任意，且，均有， 故在其定义域内单调递增. （3）令，则，即，即， 故原题等价于关于的方程在区间上有解. 设. 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 又由在区间上有解及零点存在性定理知， 即，又且，解得. 所以，若存在，使得，则. 19．解： （1）解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“区间”； ②中，函数，当时，可得，此时不满足，所以区间不是函数的一个“区间”； 所以①是（满足性质1）.②不是. （2）解：记，，可得，故若I为的“区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即； 由， 当时，在上单调递增，且， 即，所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意； 综上可知，，即实数的取值范围是. （3）证明：对于任意区间，记， 由已知得在I上单调递减，故， 因为，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①， 所以若I为的“区间”，必满足性质②，这只需， 即只需或， 由显然不恒成立，所以存在常数c使得. 如，取，区间满足性质②； 如，取，区间满足性质②； 综上，函数一定存在“区间”； 记，则图象连续不断，下证明有零点： 因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记； 若，则是的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点，即， 因为的所有“区间”I都满足性质②，故.（否则，与性质②不符） 即不属于的任意一个“区间”，证毕. 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $