2.4.2 圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 2.4.2 圆的一般方程 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解圆的一般方程及其特点，掌握圆的一般方程和标准方程的互化. 数学抽象 2.会用待定系数法求圆的方程以及与圆有关的轨迹问题. 逻辑推理 复习回顾 1. 圆的标准方程： 以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 2. 点M0(x0, y0)与圆x2＋y2＝r2的位置关系： 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 问题 ：说出圆 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 的圆心坐标、半径并展开该方程. 展开式：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. 圆心坐标：(1，– 2)；半径为 2； 思考：若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0， 由于 a，b，r 均为常数，可令 – 2a = D，– 2b = E， a2 + b2 – r2 = F， 任何一个圆方程可以写成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（2）的形式. 探索新知 1.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x+4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0. (x-1)2+(y+2)2=4 (x-1)2+(y+2)2=0 (x-1)2+(y+2)2=-1 以(1,-2)为圆心,以2为半径的圆 表示点(1,-2) 不表示任何图形 由此可知：形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程不一定都表示圆. 探索新知 探究：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中的 D，E，F 满足什么条件时，这个方程表示圆？     结论：当 D2 + E2 – 4F > 0 时，方程（2）表示一个圆.   （3）当D2 + E2 – 4F < 0时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形. 探索新知 圆心(－, －), r= 探索新知 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 (x－a)2 + (y－b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （D2 + E2 – 4F > 0） 圆心 半径长 特点 ① 易于看出圆心与半径； ② 方程几何特征明显； ① 特殊的二元二次方程； ② 方程代数特征明显. (a，b)   r   圆的标准方程与一般方程的比较 小试牛刀 解：(1) 圆心坐标为(3, 0), 半径长为3； (2) 圆心坐标为(0, -b), 半径长为|b|； 1. 求下列各圆的圆心坐标和半径: 课本P88 探索新知 原点(0,0)   圆心(－a,0)   (1) (2) (3) 变式1.求下列各圆的半径和圆心坐标. (4) 圆心(3,0) 半径为 3 (5) 圆心(0,-b) 半径为|b| 典例分析 例 4 求过三点 O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 解：设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①，因为三点都在圆上，所以   所以，所求圆的方程为 x2 + y2 – 8x + 6y = 0；   思考：与课本例2的方法比较，你有什么体会？ 探索新知 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； (2) 根据已知条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3) 解出 a，b，r 或 D，E，F(D2＋E2－4F＞0) 的值． (4) 将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的方程． 典例分析 例 5 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4，3)，端点 A 在圆 (x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程． 解：设点 M 的坐标为 (x，y)，点 A 的坐标是 (x0，y0) 又点 B 坐标为 (4，3)，M 线段 AB 的中点，所以   因为点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②，     O x y B (4，3) A (x0，y0) M (x，y) 探索新知 求解与圆有关的轨迹问题有哪些常用方法？ (1) 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2) 定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3) 代入法：若动点 P(x，y) 依赖圆上的某一个动点 Q(x0，y0) 而运动，找到两点的关系，把 x0，y0 用 x，y 表示，再将点 Q 的坐标代入已知圆的方程中得 P 点的轨迹方程． 课堂小结 1. 圆的一般方程 2. 待定系数法求圆的方程 3. 求圆的轨迹方程     课堂检测 C 课堂检测 A 课堂检测 C 课堂检测 4.若方程表示圆，求： (1)实数的取值范围； (2)圆心坐标和半径. 解：(1)据题意知， 即，解得， 故的取值范围为. (2)将方程写成标准方程为， 故圆心坐标为，半径. 课堂检测 5.如图, 在四边形ABCD中, AB=6, CD=3, 且AB//CD, AD=BC, AB与CD间的距离为3. 求等腰梯形ABCD的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径. • A B D C -3 x O y 3 3 课本P88 课后作业 课本第88页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 探究：圆的标准方程 可以变为 (2)的形式.反过来，形如(2)的方程一定通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 1.已知 表示的曲线是圆，则k的值为( ) A. B. C. D. 解析：由方程 可得 ， 所以当 时表示圆，解得 .故选:C. 2.方程表示的图形是( ) A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 解析：方程可化为，即，所以方程表示点.故选A. $