练案20 第二章2.4.2 圆的一般方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

6.(x+1)2+(y-2)2=5将直线方程整理为(x+1)a-(x+y -1)=0,可知直线恒过点(-1,2)，从而所求圆的方程为 (x+1)2+(y-2)2=5. 7.-2或-6(-∞，-6)U(-2,+∞)由题意，得x+ 分)+g-1)2=1,若点P在圆c上时，(2+号)+(1 1)2=1,解得a=-2或a=-6.若点P在圆C外时， (2+分）+(1-1)2>1，解得a<-6或a>-2 8.-4点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点，.x2-4y=1-y -4y=-(y+2)2+5.ye[-1,1],∴.当y=1时，-(y+ 2)2+5有最小值-4. 9.【解析】(1)设圆心为C(0,b), .r=(3-0)2+(-4-b)7=5, .(4+b)2=16=42, .4+b=4或4+b=-4, .∴.b=0或b=-8, .圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25, (2)设圆心为M(a,0),:IMC1=1MD1, .(a+1)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2, 即a2+2a+1+1=d2-2a+1+9, .a=2,r=lMC1=10, .圆的标准方程为(x-2)2+y2=10. 10.【解析】(1).点M(6,9)在圆N上， .(6-5)2+(9-6)2=a2,.a2=10. 又a>0,a=/10. (2)由已知，得圆心N(5,6) PW1=√(3-5)2+(3-6)2=3， 1QNI=(5-5)2+(3-6)7=3 .IPN1>IQNI,故点P在圆外，点Q在圆内 .a的取值范围是(3，√3). 11.1或5根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在 直线y=x或y=-x上，当圆心C在y=x上时，设圆心C的 坐标为(a,a),此时圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2, 将(1,2)代人可得(1-a)2+(2-a)2=a2,即a2-6a+5= 0,解得a=1或a=5,此时圆的半径长为1或5；当圆心C在 y=-x上时，设圆心C的坐标为(a,-a),此时圆的标准方 程为(x-a)2+(y+a)2=a2,将(1,2)代人可得(1-a)2+ (2+a)2=a2,即a2+2a+5=0,方程无解，综上所述，圆的半 径长为1或5 12.(x+2)2+(y-2)2=4x2+y2=4由题意可得所求的圆 在第二象限，圆心为(-2,2)，半径为2，所以圆的标准方程 为(x+2)2+(y-2)2=4.设(-2,2)关于直线x-y+2=0 a-2_b+2+2=0 2 2 的对称点为(a,b).则有 解得∫a=0, 故 b-2 a+2-1, b=0, 所求圆的圆心为(0,0)，半径为2.所以所求圆的标准方程为 x2+y2=4. 13.【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且 AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为-2. 又因为点T(-1,0)在直线AD上，所以AD边所在直线的方 程为y-0=-2(x+1), 即2x+y+2=0. (2)由-2-4=0解得厂x=0, 2x+y+2=0,ly=-2, 所以点A的坐标为(0，-2)， 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1), 所以M为矩形外接圆的圆心，IAMI为外接圆的半径. 又IAM1=(2-0)2+(1+2)2=13, 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13. 14.【解析】(1)当AB为直径时，过A,B的圆的半径最小，从而 周长最小. 即4B中点(0,1)为图心，半径r=1AB1=√而 则圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2)解法一：AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方 程是y-1=了 即x-3y+3=0,由圆心在直线2x-y-4=0上，得两直线交 点为圆心，即圆心坐标是C(3,2). r=IAC1=/(1-3)2+(-2-2)2=25. 故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 解法二：待定系数法 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. r(1-a)2+(-2-b)2=r,ra=3, 则(-1-a)2+(4-b)2=r2,→b=2, L2a-b-4=0 2=20 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20 15.T由y=-4-x得x2+y2=4(-2≤x≤0，y≤0)，所以 曲线y=-√4-x(x≤0)的图形是以原点为圆心，以2为 半径的圆在第三象限的弧，所以曲线y=-√4-x2(x≤0) 的长度是4×4m=元 16-1+(-分)广=年当m=0时4y=0,4=2. 易知P(2,0).当m≠0时，41过定点0(0,0)，斜率k1=m,直 线2的方程可化为m(y-1)+x-2=0,因此42过定点A(2, ),斜率如=一六则·如=-1一直线与6互相垂 直，故P0⊥PA,连接OA,则直线，与直线L2的交点P必在 以线段A0为直径的圆上，且圆心为线段AO的中点 C(1,7）,半径r=101=子2+下-汽所求圆的 标准方程为(x-1)2+(-2)广=子易知(2,0)在此 圆上 练案[20] 1.C原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,.半径r=2,∴.圆 的面积为S=r2=2π. 2.C因为点P(1,1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部，所以需 显00 解得-2<6<分 5 3.ABDA,B显然正确；C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2= 0,所以表示点(1，-2)；D正确。 4.D圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),.(1-a)2 +(0-b)2=1,.(a-1)2+b2=1,.圆C的圆心的轨迹是以 (1,0)为圆心，1为半径的圆. 5.A由圆C:x2+y2-6x+4y-3=0,得圆C的圆心坐标为 (3,-2),又圆C上存在两点P,Q关于直线1对称，所以直线1 经过圆C的圆心，从而3-2m+2=0,解得m=弓 &C+了++2+公=0化为标准方程为(：+会)+ （y+1)2=1-子，所以当长=0时圆的半径最大，面积也最 大，此时直线的斜率为-1，故倾斜角为3云 7.5(不唯一，取m>4的整数即可)因为函数y=1+log,(2- x)的图象恒过定点(1,1)，所以P(1,1),因为点P在圆x2+y +mx+m=0外，所以12+12+m+m>0且m2-4m>0,解得 -1<m<0或m>4,又m为整数，所以m的取值可以为5,6， 7,…. 8(x-8)2+y=36(y≠0)设C(x,y)(y≠0)，则D(5, ）B(4,0),且4C边上的中线BD长为3，（受-4) +(分)=9，即(x-8)2+y=36(y*0). 9.【解析】(1)圆的方程可化为[x-(t+3)]2+[y+(1- 4t)]2=1+6t-7t2. 由1+6-7>0，即7-61-1<0，得-7<1<1 故：的取值范国是(-7,1) (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t+3,42-1),半径 为√1+6t-7i (3)r=/-7+6t+1 √-号+ 所以r的最大值为9，此时=多 故此时同的标准方程为(：-兰)·(+号)=9 10.【解析】设B点坐标是(x,y),点A的坐标是(oo), 由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点， 所以42士，3”， 2， 于是有x=8-x,yo=6-y.① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动， 所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4, 即(x+1)2+y6=4,② 把①代入②，得(8-x+1)2+(6-y)2=4, 整理，得(x-9)2+(y-6)2=4. 所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4 一26 山.C由于圆+y-ax-2y+1=0的圆心为M(2,1),圆 x2+y2-4x+3=0的圆心为N(2,0),又两圆关于直线x-y -1=0对称，放有-0×1=-1，解得a=2. -2 12.D由题意得，曲线C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2= 4,因此曲线C是圆心为(-a,2a),半径为2的圆. :曲线C上所有的点均在第二象限内， 厂-a<-2,解得a>2,a的取值范围是(2，+∞）， {2a>2, 13.ABC(x-2)2+(y-1)2表示圆上动点(x,y)到定点 (2,1)的距离，因为圆心(2，-4)到点(2,1)的距离为5，所以 圆上动点(x,y)到定点(2,1)的距离的最大值为5+4=9，A 正确：因为圆心(2，-4)在直线y=-2x上，所以圆关于直线 2 y=-2x对称，B正确：由题知{ 号=4 解得 2/D+EF=4, D=-4,E=8,F=4,C正确；由题知圆心纵坐标的绝对值等 于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误。 14.-2设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将(4,2)，(1， 16+4+4D+2E+F=0, 3),(5,1)代入方程中，得1+9+D+3E+F=0,解得 25+1+5D+E+F=0. rD=-2, {E=4,所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x= lF=-20. 0,则y+4y-20=0,由根与系数的关系得少1+y2=-4;令 y=0,则x2-2x-20=0,由根与系数的关系得x1+x2=2,故 圆C与两坐标轴的四个截距之和为少1+y2+x+x2=-4+2 =-2. 15.D依题意，以点C为原点，直线CB,CD 分别为x,y轴建立平面直角坐标系，则 B(2,0),D(0,2),如图，取点E（0,2) 1 (0) 设M(x,y),当M'DI=2IMEI时， F+-2-22+-,化 简整理得x2+y2=1,即点M'的轨迹是以C为圆心，1为半径 的圆，而点M在以C为圆心，1为半径的圆上，因此|MD1= 2IME1,显然点B在圆C:x2+y2=1外，则21MB1+1MDI= 2IMB1+2IMEI=2(IMBI+IMEI)≥2IBE1,当且仅当M为 线段E与圆C的交点时取等号，而1=V2+(宁兮) =,所以2IMB1+1MDI的最小值为21BE1=m. 16.【解析】(1)设G(x,y),由中点坐标公式得E(2x,0),F(0, 2y), ∴.1EF1=√(2x)2+(-2y)7=2, 6 整理得x2+y2=1, 线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2+y2=1. (2)证明：由已知得A(-1,0),A2(1,0), 设P(0o),x≠±1，x后+后=1， 直线PA,的方程为y=（ 0+7(x+1), 令x=3,得y= ) 同理，可求N(3) MN的中点坐标为(3,1-3） Yo IMNI 922- 4yo 2y .以MW为直径的圆的方程为 (x-3)2+（0-1-3)2_3-6)2 Yo 令y=0,得 (x-3)2=- ）+888 6 .x=3±22， .该圆总过定点，定点坐标为(3+22,0)或(3-22,0). 练案[21] 1.A由题意知，圆心C到直线1的距离d=10-4>5,解得 1+22 Ial>5.故选A. 2C由题意得，圆心到直线的距离为d=1+1Ⅱ >√m, √2+(-1)2 .m<2,.m>0,..0<m<2. 3.AB由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线 被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d= √2-(29)=2.又d-“后2，所以10-21=2，解得 a=4或a=0. 4.B解法一：设圆心坐标为(a,-a),由圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切可得2=12a二41，解得a=1,所以半 22 径r=√2，故该圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 解法二：圆心在x+y=0上，可排除选项C,D,再结合图象，或 者根据圆心到两直线的距离等于半径排除选项A,选B. 5.B当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直. 已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率 二8=2，故所求直线的斜率为-号所以所求直线方程为 y-2=-(x-10,即x+2y-5=0 6.相交将点P(3,0)代人圆的方程，得32+02-4×3=9-12 =-3<0,点P(3,0)在圆内..过点P的直线1必与圆C 相交 7.5设直线AB的方程为y=√5x+b,圆x2+(y-1)2=1的圆 心为C,半径为r,则C(0,1),r=1.由直线AB与圆相切，可知 26 圆心C(0,1)到直线AB的距离d=,即b,业=1，所以 Ib-1I=2.连接BC,在Rt△ABC中，IAC1=Ib-1I=2,IBC =1,所以IAB1=√AC2-1BC2=√22-12=√5 8.21x-20y+16=0或x=4因为(4-2)2+52=29>4，所以点 P在圆(x-2)2+y2=4外.若直线的斜率存在，依题意，设直 线的方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0.又圆心为 (2,0),半径r=2,且圆心到切线的距离等于半径，所以 2达-0-2解得-引所以直线的方程为21-20， /k2+1 +16=0.若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=4,显然满 足题意.综上可知，满足题意的直线的方程为21x-20y+16= 0或x=4. 9.【解析】(1)由C:x2+y2+2x+4y+m=0, 得(x+1)2+(y+2)2=5-m, 由5-m>0时，得m<5, .当m<5时，曲线C表示圆. (2)由(1)知圆C的圆心坐标为(-1，-2)，半径为√5-m. 直线l:y=x-m与圆C相切， :-1+2-m=5-m, √2 解得m=±3，满足m<5. .m=±3. 10.【解析】(1)由已知得2-y-3=0, 4x-3y-5=0, 解得2， ly=1, ∴.两直线交点为(2,1). 设直线l的斜率为k, 直线1与x+y-2=0垂直，.k,=1, 直线l过点(2,1)， ∴.直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0 (2)设圆的半径为r,依题意，得圆心(3,0)到直线x-y-1= 0的距离为3-=山=万， 则由垂径定理得2=(2)2+(2)2=4， .T=2, .圆的标准方程为(x-3)2+y2=4. 11.D在直线mx+y+1=0的方程中，令x=0,则y=-1,则直 线mx+y+1=0过定点(0，-1).由于直线mx+y+1=0始 终平分圆C的面积，则点(0，-1)是圆C的圆心，又圆C与 直线x+y+3=0相切，则圆C的半径r=-1+3!-2.因 2 此，圆C的方程为x2+(y+1)2=2,即x2+y2+2y=1. 12.x2+(y+1)2=18设点(-2,1)关于直线y=x+1的对称 b+1a-2+1 2 2 点C的坐标为(a,b),则 b-1 解得0，即 a+2s-1, b=-1, 圆心C(0,-1).又圆心C到直线3x+4y-11=0的距离为 1Bx0+4》-山-3，从而圆的半径为√（名）+3 /32+42 =32.故圆C的方程为x2+(y+1)2=18.练案[20] 第二章2.4 A组·基础巩固 1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为( A.8T B.4T C.2T D.T 2.若点P(1,1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外 部，则实数飞的取值范围是 A.(-2,+∞)》 B[-2, c(-2,） D.(-2,2) 3.(多选)下列结论正确的是 A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二 次方程 B.圆的一般方程和标准方程可以互化 C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆 D.若点M(xo,o)在圆x2+y2+Dx+y+F=0 外，则x后+y后+Dx+Ey+F>0 4.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0), 则圆C的圆心的轨迹是 A.点 B.直线C.线段D.圆 5.已知直线1：x+my+2=0,若圆C:x2+y-6x +4y-3=0上存在两点P,Q关于直线1对 称，则m的值为 A3 c D.5 6.当方程x2+y2+x+2y+k2=0所表示的圆取 得最大面积时，直线y=(k-1)x+2的倾斜角 a等于 AB B. C.3m 4 D号 7.已知函数y=1+log.(2-x)(a>0且a≠1)的 图象恒过定点P,且点P在圆x+y+mx+m =0外，则符合条件的整数m的取值可以为 .（写出一个值即可) 8.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边 上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程 是 2.4.2圆的一般方程 9.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-42)y+ 164+9=0表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准 方程. 6- 10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)， C组·拓展提升 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段15.已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C AB的端点B的轨迹方程. 为圆心，1为半径的圆上，则2IMB1+IMD 的最小值为 () A.⑤ B.15 2 C.7 2 D.17 16.在平面直角坐标系0xy中，长度为2的线段 EF的两端，点E,F分别在两坐标轴上运动. (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴交于A1,A2两点，P是轨 迹C上异于A1,A2的任意一点，直线PA 交直线I:x=3于点M,直线PA2交直线L 于点N,求证：以MN为直径的圆总过定 点，并求出定点坐标 B组·综合运用 11.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1 =0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则 a的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 12.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上 所有的点均在第二象限内，则a的取值范围 为 ( A.(-∞，-2) B.（-∞，-1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 13.(多选)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示 以(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结 论正确的是 () A.√(x-2)2+(y-1)2的最大值为9 B.圆关于直线y=-2x对称 C.F=4 D.圆与y轴相切 14.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆 C与两坐标轴的四个截距之和为 —167