2.5.2 圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 1 课时学习素养目标：1.掌握圆与圆的位置关系.2.能根据给定圆的方程， 判断圆与圆的位置关系，培养逻辑推理的核心素养.3.能综合应用圆与 圆的位置关系解决问题. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 圆与圆位置关系的判断 任务学习二 两圆相切问题 任务学习三 两圆相交问题 拓展培优 圆系方程 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 圆与圆位置关系的判断 4 新知梳理 1.圆与圆的位置关系 （1）两圆相交，有两个公共点. （2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点. （3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 2.圆与圆位置关系的判断方法 （1）几何法 若两圆的半径分别为，，圆心距为 ，则两圆的位置关系如表 所示. 位置关系 图示 公共点个数 与， 的关系 公切线条数 外离 0 ___ 4 外切 1 ___ 3 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 位置关系 图示 公共点个数 与， 的关系 公切线条数 相交 2 2 内切 1 1 内含 0 ___ 0 续表 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 （2）代数法 圆 ，圆 ，联立两圆的 方程得方程组，则有 ① 方程组有2组解 有___个公共点 ______； ② 方程组有___组解 有1个公共点 外切或内切； 方程组无解 有0个公共点 外离或内含. 2 相交 1 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 能力提升 例1 （链接教材P96例5）已知圆 ，圆 .当 时，判断两圆的位置关系. [解析] 将圆的一般方程化为标准方程，得 ， 圆的圆心为，半径.将圆 的一般方程化为标准方程， 得，圆的圆心为 ，半径 . 所以 . 当时，， ， ，两圆内含. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 变式1 当实数 为何值时，两圆相交？ [解析] 当，即 时，两圆相交. 变式2 当实数 为何值时，两圆相切？ [解析] 当，即 时，两圆外切.当 ，即 时，两圆内切. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 例2 已知圆 与圆 恰有三条公切线，求 的值. [解析] 圆的标准方程为 . 易知，圆的圆心坐标为，半径为 ， 圆的圆心为，半径为 ， 因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切， 所以 ， 解得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 任务学习二 两圆相切问题 12 例3 已知半径为1的动圆与圆 内切，则动圆 圆心的轨迹方程是( ) C A. B. 或 C. D. 或 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 [解析] 由题意得，圆的圆心为 ，半径为4，设动圆圆心的坐 标为 ， 因为动圆与圆 内切， 所以 ， 即 . 则动圆圆心的轨迹方程是 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 解题感悟 处理两圆相切问题的两个策略 1.定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是已知相切，则必须分 两圆内切和外切两种情况讨论. 2.转化思想，即将两圆相切转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝 对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 迁移应用1 （2025江苏无锡期中）已知圆 与圆 相切，求实数 的值. [解析] 圆心，半径，圆心，半径 ， 当两个圆内切时，，即，解得 ； 当两个圆外切时，，即，解得 . 所以或 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 任务学习三 两圆相交问题 17 例4 （链接教材P98练习T2）（2025河北廊坊期中）已知圆 与圆 . （1）求证：圆与圆 相交； 证明:圆的标准方程为 ， ，半径 ， ，半径 ， ， ， 两圆相交. 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 （2）求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长. [解析] 将两圆方程相减，可得 ， 即两圆公共弦所在直线的方程为 . 解法一（代数法）将代入 ，得两圆的交点坐 标分别为， ， 则公共弦长为 . 解法二（几何法）公共弦长为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 解题感悟 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆的方程相减，即可得 两圆的公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆的方程中的二 次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆的公共弦长的方法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的 距离公式求出公共弦长. （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离公式 求出弦心距，再利用勾股定理求出半弦长，进而得到公共弦长. 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 迁移应用2 已知圆的圆心坐标为，若圆与圆 的公共弦所在的直线过点，求圆 的方程. [解析] 设圆的半径为，则圆的方程为 ， 即 ， 两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为 . 因为该直线过点，所以，则圆 的方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 拓展培优 圆系方程 22 拓展知识 常见的圆系方程有如下几种： （1）同心圆系方程：以 为圆心的同心圆系方程为 ，与圆 同心的圆系方程为 .#1.1 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 （2）过直线与圆的交点的圆系方程：过直线 与圆 的交点的圆系方程为 ，特别地，当直 线与圆相切于点时，上述方程表示与直线相切于点 的所有圆. （3）过两个圆的交点的圆系方程：过两圆 ， 的交点的圆系方程 为 （该圆系不含圆,解题时，注意检验圆 是否满足题意）.#1.3 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 能力提升 例5（1）经过直线与圆 的交点，且 经过点 的圆的方程为_________________________. [解析] 设所求圆的方程为 ， 则 ，解得 ， 故所求圆的方程为 ，即 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 （2）链接教材P98习题经过点及圆 与 交点的圆的方程为___________________________________ ________________________. 或 [解析] 解法一：由 得或 即圆与圆的交点坐标为和， 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 所以所求圆的圆心在轴上，不妨设其坐标为 ， 则 ， 解得， ， 所以所求圆的方程为 . 解法二：设所求圆的方程为 , 因为此圆经过点,所以 ,所以 ， 故所求圆的方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用3 链接教材P98习题求过圆 和 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程. [解析] 解法一：联立解得 或 所以点和都在所求圆上，所以所求圆的圆心在 轴上. 又圆心在直线上，所以所求圆的圆心为 ，半径 ， 所以所求圆的方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 解法二：设所求圆的方程为 ，整理得 ， 所以所求圆的圆心为 . 因为圆心在直线上，所以 ，解得 ， 所以所求圆的方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 素养评价·课堂达标 30 1.圆与圆 的位置关 系是( ) B A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 [解析] 圆的圆心为 ，半径为1， 圆的圆心为 ，半径为3. ， ， 圆与圆 相交. 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 2.圆与圆 的公切线有( ) D A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 [解析] 两圆的圆心坐标分别是， ，半径分别是2，1，两 圆的圆心距为 ， ， 两圆外离， 公切线有4条.故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 32 3.（2026河南南阳联考）已知圆 与圆 相交于，两点，则直线 的方程为( ) A A. B. C. D. [解析] 的方程 可化为 ， 的方程可化为 ，两圆方程相 减得 ， 所以直线的方程为 . 故选A. 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 4.易错题 已知圆 与圆 ，若圆与圆 有且仅有一个公共点， 则实数 的值为_______. 6或 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 [解析] 的圆心坐标为 ，半径为 ， 圆的圆心坐标为 ，半径为 ， 由于两圆只有一个公共点，所以两圆外切或者内切， 因此 或 ， 解得或 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 35 易错分析 易忽略两圆相切有内切和外切两种情况而漏解. 高 中 同 步 课 堂 学 案 36 $