练案23 第二章 2.5.2 与的位置关系-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

由于圆心在y轴上，所以D=0, 那么方程即为x2+y2+Ey+F=0. 因为P2,B都在圆上， 所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都是这个圆的方程的解， 于是有方程组 4+4E+F=0, 102+F=0, 解得F=-100,E=21, 所以这个圆的方程是x2+y2+21y-100=0(y≥0). (2)由题知P点的横坐标为x=-5. 所以把点P的横坐标x=-5代入这个圆的方程， 得(-5)2+y2+21y-100=0, 所以y2+21y-75=0, 因为P,的纵坐标y>0,故应取正值， 所以y=二21++4x西=3.1（米）. 2 所以支柱A,P1,AP的高度均约为3.11米 8.【解析】(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y 轴上， 设该圆的半径为r米，则r2=82+(r-4)2,解得r=10, 故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100. (2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， 则（号）'+6+16y10. 解得d=2√42.24. 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4× 0.5=14.5>2/42.24,故该隧道不能并排通过5辆该种 汽车. 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3× 0.5=11.5<2√42.24，隧道能并排通过4辆该种汽车 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 9.【解析】(1)以火山口的位置为坐标原点0，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如 图所示，记运输车从A(600,0)出发，点N处开始进入无人区， 到M处离开无人区， 则圆0方程为x2+y2=4002, 由运输车沿北偏西60°方向运动， 可得直线4B的斜率k=am150°=- 3 则如r:-号60. 即5x+3y-6005=0. 因为0到lB的距离为O0'= 1-600BL=300(km）, /(5)2+32 则MN=2/M0-0'0=2×1007=200√7(km), 所以经历时长为2005=5（时）. 407 26 (2)设运输车至少应离火山口akm出发才安全， 此时运输车的行驶直线刚好与圆0相切， 且直我方程为y=-停(x-0小， 即3x+3y-3a=0, 则0到直线的距离d=-B0=400,解得a=80, √3+9 即运输车至少应离火山口800km出发才安全 10.4以0为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(-5,-5+1.5t),Q(5,5-t),则直线PQ的方程为y-5+ 4=10-254(x-5),圆0的方程为2+y2=1,因为直线P0 10 1 4 与圆0有交点，所以 ≤1，化简得子≤ /10-2.5t 10 √1+(1-子)），解得0<1≤4，所以点Q在点P的言区中 的时长约为4秒. 练案[23] 1.C由已知，得C(-2,-4),1=5,C2(-2,-2),2=3,则圆 心距d=1C,C2l=2,所以d=Ir1-2l,所以两圆内切. 2.A圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1,0),圆x2+y2+2x- 4y-4=0的圆心为W(-1,2),两圆的相交弦AB的垂直平分 线即为直线M,其方程-8日即+y-1=0 3.BCD由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为 (-1,2),半径r=2.A项，圆心C(-2,-2),半径1=3. :IC,C1=√7∈(m1-r,1+r),.两圆相交；B项，圆心 C2(2,-2),半径r2=3,:1C2C1=5=r+2,两圆外切，满 足条件；C项，圆心C3(2,2),半径3=5，：1CC1=3=r3-T, 两圆内切；D项，圆心C4(2,-2),半径T4=7,1C4C1=5= T4-r,两圆内切 4.C两圆与两坐标轴都相切，且都过点(4,1)，.两圆的圆 心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心 坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4- b)2+(1-b)2=b2,a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两 个实数根，即a,b为方程x2-10x+17=0的两个实数根， .a+b=10,ab=17..(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4× 17=32,.1C,C21=(a-6)2+(a-b)7=√/32+32=8. 5.C由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公 共点，即两圆相切.因为A(1,0),B(1,6),所以以AB为直径 的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9,圆C:(x-5)2+(y- 6)2=61-m.因为两圆相切，所以1CM1=I3±√61-m1,即 5=13±√6-m1,解得m=57或m=-3. 6.C如图所示，设直线l交x轴于点M 由于直线1与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆 M C2:(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为 A,B,则AC⊥I,BC2⊥L,∴.AC1∥BC2, .·IBC,I=2=2|AC,I,.C1为MC,的中 点，A为BM的中点，.IMCI=ICC,I=2,由勾股定理可得 IABI IMAI=IMC 12-IAC 12=3. 7.4a2+62=1圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0,化为标准方程 为(x+2a)2+y2=4,圆心坐标为(-2a,0),半径长为2.圆 C2:x2+y2-2y+b2-1=0,化为标准方程为x2+(y-b)2= 1.圆心坐标为(0，b),半径长为1.由于两圆只有一条公切线， 所以两圆相内切，所以√(2a)2+6=2-1=1,整理得4a2+ 62=1. 8+广-子-子y-号=0由已知可设所求圆的方程为 父+2-2+A(x+y+D=0,将1,2)代入，可得A=子，放 所求圆的方程为2+y-子-子-号-0 9.【解析】(1)将两圆方程分别化为标准方程为C:(x-1)2+ (y+5)2=50, C2:(x+1)2+(y+1)2=10, 则圆C,的圆心为(1，-5)，半径1=52； 圆C2的圆心为(-1，-1)，半径2=√0. 又1CC2I=25,r1+r3=52+√10， m1-r2=52-10, 所以1-2<1CC21<T1+r2,所以两圆相交 (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4 =0. (3)解法一：两方程联立，得方程组 「x2+y2-2x+10y-24=0,① 1x2+y2+2x+2y-8=0,② 两式相减得x=2y-4,③ 把③代入②得y2-2y=0,解得y1=0,y2=2,所以 Gw2 「x1=-4, 所以两圆交点坐标为(-4,0)和(0,2)， 所以两圆的公共弦长为√(-4-0)2+(0-2)7=25 解法二：由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的 方程。 由(1)知圆C的圆心为(1，-5)，半径r1=52, 圆心G到直线x-2y+4=0的距离d=1-2×(-5)+41。 1+(-2)2 35, 所以两圆的公共弦长为 2√-=2√50-45=25. 10.【解析】(1)圆C:x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为 (x-3)2+(y-4)2=4, 所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2. ①若直线11的斜率不存在，即直线为x=1,符合题意. ②若直线(1的斜率存在，设直线L1的方程为y-1=k(x-1). -27 即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的 距离等于半径2， 所以13k=4-k+山=2，即2%-3=2， +1 √+1 解得k=品，所以直线方程为5x-12+7=0, 综上，所求l1的方程为x=1和5x-12y+7=0. (2)依题意，设D(a,a+2). 又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2， 由两圆外切，可知ICD1=5, 所以(a-3)2+(a+2-4)7=5, 解得a=-1或a=6. 所以D(-1,1)或D(6,8), 所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+ (y-8)2=9. 11.B圆x2+y2=1的圆心C(0,0),半径1=1，圆(x-4)2+ (y+3)2=m的圆心C2(4,-3),半径r2=√m(m>0),则 1C,C21=√4+(-3)2=5，两圆有公共点台1√m-11≤5≤ √m+1,解得16≤m≤36，显然[16,36]手[16，+∞).故 “m≥16”是“圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y+3)2= m有公共点”的必要不充分条件. 12.ABD对于A,由圆01：x2+y2-2x=0与圆02：x2+y2+2x -4y=0的交点为A,B,两式作差可得4x-4y=0,即公共弦 AB所在直线的方程为x-y=0,故A正确；对于B,圆O1: x2+y2-2x=0的圆心为(1,0)，又kB=1,则线段AB中垂线 的斜率为-1，即线段AB中垂线的方程为y-0=-1×(x- 1),整理可得x+y-1=0,故B正确；对于C,圆0：x2+y2- 2x=0的圆心0(1,0)到直线x-y=0的距离d= 11-01 √12+(-1)下 9半径=1，所以1481=2√-（受） =2,故C不正确；对于D,P为圆01上一动点，圆心0(1， 0)到直线-y=0的距离为d=半径r=1,即P到直线 AB距离的最大值为号+1，故D正确 13.AD因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；又 圆0：x2+y2=4,①：圆M:x2+y2+4x-2y+4=0,②：所以由 ②-①得4x-2y+4=-4,即y=2x+4,所以直线AB的方程 为y=2x+4,故B错误；又圆0的圆心为0(0,0)，半径为2， 则圆心O到直线AB的距离d=与=2，所以1AB1= 4+1 2×√2-（丁-5赦c错误：圆v的圆心为(-2， 1),半径为1，所以1EF1mx=1OM1+2+1=√5+3，故D 正确. 4[,+ 因为圆C:x2-2ax+y2-2ay +2a2-1=0,所以(x-a)2+(y-a)2=1,其圆心C(a,a), 半径r=1.因为点P到点(0,1)的距离为2，所以P点的轨迹 为x2+(y-1)2=4.因为P又在(x-a)2+(y-a)2=1上， 所以圆C与圆x2+（y-1)2=4有交点，即2-1≤ 0 +(a-≤2+1，解得1-，匝≤u≤0或1≤a≤ 1+亚所以实数a的k值范足小心“ 2 15.4到点A(-1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半 径的圆的切线；同理，到点B(3,-1)的距离为1的直线是以 B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线 是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距「AB丨= √(3+1)2+(-1-2)下=5.半径之和为3+1=4，因为5> 4,所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 16.【解析】(1)设圆C2的方程为(x-a)2+(y-b)2=r(r>0), 因为圆G的方程为(-号)°+=10， 所以图G的圆心坐标为C(号0） 因为圆C与国C,外切于点N(3,1): 所以圆C2的圆心在直线C,N上， 因为直线CN的方程为y=-分(：-号)， 所以6=-兮(a-号）， 因为圆G过点M(分，3) 且与圆G外切于点N(子，)， b=号(a-号) 所以（-a）+3-62=, (3-a）+1-b2=r, a=0, 3 解 b=2 10 2 所以国G药方程为+(-多)》广=多 (2)如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0) y/m B 、C1 则A-2,0),B(0,), 因为圆G的方程为2+(-多)°=是 所以圆G与y销正半猪的交点的坐标为(0，四)。 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E,F两点， 所以圆心G(0,子)到直线m的距离清足 27 t-2 0且>0+3 2 2 所以而+3<4<55+3，① 2 2 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE=BF,所以EF,AB的中点重合. 所以EF的中点D(音行) 因为G01f,c(0,2), t3 所以6o6,=-1,即2三x2=-1, t 一4 解得t=4满足①式， 所以直线m的方程为y=2x+4, 即2x-y+4=0. 练案[24] 1.AC当a=2时，2a=4<IAB|,故点P的轨迹不存在，A正 确：当a=4时，2a=8>IAB1,故点P的轨迹是椭圆，且焦距为 IAB1=6,B错误，C正确：当a=3时，2a=6=IAB1,故点P的 轨迹为线段AB,D错误， 2.C由题意可知25-m2=16,解得m=3(负值舍去). rm-2>0. 3.B若方程 =1表示椭圆，则6-m>0, 解得 m-26-m m-2≠6-m, 2<m<6且m≠4，所以“2<m<6是“方程 =1 程m-2+6m 为椭圆”的必要不充分条件. 4.B由9r2+4=36可得子+号=1，所以所求椭圆的焦点在 y轴上，且c2=9-4=5,又2b=45,所以b2=20,a2=25,所 x 以所求椭圆方程为20+25=1： 5.B由椭圆方程知a=4,b=3,c=万，所以IPF,1+1PF21=8, 由余弦定理得es∠F,PR,=1PEI+IPFP-IrE,P 2IPF IIPF,I (IPFI+PE,2-2 IPF HPF,-1F,_8-2×12-(2万2= 2IPF IIPFI 2×12 7又因为0≤∠FPR,<180,所以LFPR,=60. 6.16(-8,0),(8,0)由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且 a2=100,b=36,所以c2=a2-62=64,解得c=8,所以焦距2c =16,两焦点的坐标分别是(-8,0)，(8,0). 1已知2a=8,2c=25,所以a=4,c 所以62=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭 圆的标准方程为后+忙-1。 8.3由椭圆的定义知IPF,I+IPFI=2a,又PF,上PF2, .1PF,I2+IPF2I2=1FE12=4c2,.(IPFI+1PF21)2- 21PF,IIPF21=4c2,.21PF,11PF2I=4a2-4c2=4b2,练案[23] 第二章 2.52.5.2圆与圆的位置关系 A组·基础巩固 9.已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2: 1.圆C1:x2+y+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y x2+y2+2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系； +4x+4y-1=0的位置关系为 ( (2)求公共弦所在的直线方程； A.相交 B.外切 (3)求公共弦的长度： C.内切 D.外离 2.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4 =0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线 的方程是 ( A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 3.（多选)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0 相切的是 A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49 4.设圆C1,C2都和两坐标轴相切，且都过，点(4,1)， 10.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0. (1)若直线11过定点A(1,1),且与圆C相 则两圆的圆心距IC,C2|等于 ( 切，求1的方程： A.32 B.16 C.8 D.1 (2)若圆D的半径为3，圆心在直线L2:x-y 5.已知点A(1,0),B(1,6),圆C:x2+y2-10x +2=0上，且与圆C外切，求圆D的 12y+m=0,若在圆C上存在唯一的点P使 方程. ∠APB=90°，则m等于 A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 6.若直线1与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x- 1)2+y2=4都相切，切点分别为A,B,则1AB1 等于 ( A.1 B.√2 C.3 D.22 7.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2: x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，则实 数a,b的关系是 8.经过直线x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点， 且过点(1,2)的圆的方程为 —172 B组·综合运用 (1)求圆C2的方程； 11.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C:x2+ (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴 y2=1与圆C2:(x-4)2+(y+3)2=m有公 和y轴正半轴于A,B两点，交圆C2在第 共点”的 二象限的部分于E,F两点.若△AOE与 A.充分不必要条件 △BOF的面积相等，求直线m的方程. B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.（多选)圆01：x2+y2-2x=0和圆02：x2+y2 +2x-4y=0的交点为A,B,则有 A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0 C公共弦AB的长为号 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离 的大位为号1 13.（多选)已知圆0：x2+y2=4和圆M:x2+y2+ 4x-2y+4=0相交于A,B两点，则下列说法 正确的是 ( A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x+2 C线段AB的长为号 D.若圆O上有一动点E,圆M上有一动点 F,则IEFI的最大值为√5+3 14.在平面直角坐标系0xy中，圆C:x2-2ax+y -2ay+2a2-1=0上存在点P到点(0,1)的 距离为2，则实数a的取值范围是 C组·拓展提升 15.到点A(-1,2),B(3,-1)的距离分别为3 和1的直线有 条 16.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C,的方程 为(e-号)°+=10，圆C过点M(3,3), 且与圆C,外切于点N(3,1)月 —173