2.5.2圆与圆的位置关系（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系 ——圆心距与半径和差比大小 第二章 直线和圆的方程 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 9 课时（本册） 对应目标 1。用与上一课时完全平行的问法引入，学生能自己猜到「还差一个量」，概念的出现就有了必然性。 学习目标 1 能说出两圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），并记住判定的核心量是圆心距 与 、 的大小比较。 能由两圆方程求出圆心与半径，计算圆心距，进而判定位置关系；能由位置关系反求方程中的参数（含字母系数）。 会用「两圆方程相减」求相交两圆公共弦所在直线的方程，并结合弦长公式 求公共弦长。 60 秒速读：让学生知道本课结束时要能做什么。 情境导入：两个圆能怎么放 2 回顾：上一课时我们用圆心到直线的距离 与半径 比大小，判定了直线与圆的位置关系（相离／相切／相交）。 追问：如果把直线换成一个圆，两个圆之间又有哪几种摆法？判定的量还够用吗？ 演示：课件上移动第二个圆，学生依次看到外离 → 外切 → 相交 → 内切 → 内含五种情形。 点明：直线与圆只需比 与 ；圆与圆要多出一个量——两半径的差。 [3′] 对应目标 1。用与上一课时完全平行的问法引入，学生能自己猜到「还差一个量」，概念的出现就有了必然性。 五种位置关系与判定 3 设两圆半径分别为 、（不妨 ），圆心距 。 （1）外离：，两圆无公共点，有 4 条公切线。 （2）外切：，两圆有 1 个公共点，有 3 条公切线。 （3）相交：，两圆有 2 个公共点，有 2 条公切线。 （4）内切：，两圆有 1 个公共点，有 1 条公切线。 （5）内含：，两圆无公共点，有 0 条公切线。 [9′] 对应目标 1。数轴统整是本环节的点睛之笔——五个不等式其实是数轴上的五个区间，记住两个分界点就够了，不必死记五句话。 五种位置关系与判定 4 [9′] 对应目标 1。数轴统整是本环节的点睛之笔——五个不等式其实是数轴上的五个区间，记住两个分界点就够了，不必死记五句话。 五种位置关系与判定 5 （6）数轴统整：把 从 到 标在数轴上，两个分界点依次是 与 ，五个区间（含分界点）正好对应五种关系。 （7）同心圆特例： 时两圆同心，属于内含。 [9′] 对应目标 1。数轴统整是本环节的点睛之笔——五个不等式其实是数轴上的五个区间，记住两个分界点就够了，不必死记五句话。 判定步骤与公切线条数 6 （1）四步法：① 由两圆方程求圆心 、 与半径 、； ② 计算圆心距 ； ③ 算出 与 ；④ 比大小，定关系。 （2）公切线条数：4、3、2、1、0，与外离、外切、相交、内切、内含一一对应，可记为「离 4、切 3、交 2、内切 1、内含 0」。 （3）口答：半径分别为 与 的两圆，圆心距为 ，是什么关系？（，外离。）圆心距为 呢？（，相交。） [6′] 对应目标 1、2。四步法把判定流程固定下来，学生遇到题就有章可循；公切线条数用口诀打包，减轻记忆负担。 例题精析 7 例 1　正向判定　判断下列各组中两圆的位置关系。 （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 。 【答案】（1）外切；（2）相交；（3）内含。 【详解】（1）、；、；，，故 ，两圆外切。 （2）、；、；。又 、，满足 ，故两圆相交。 [14′] 对应目标 2、3。四题构成「正向判定 → 逆向求参 → 公共弦 → 验算」的梯度，例 3 是本节唯一的综合题，也是最能体现代数技巧的一题。 例题精析 8 （3）、；、；。又 ，满足 ，故两圆内含。 【方法归纳】先求 ，再同时与和、差两个数比较，缺一不可。 变式 1　判断两圆 与 的位置关系。 【答案】外离。 【详解】配方得 ，圆心 、半径 ； ，圆心 、半径 。 ，，故 ，两圆外离。 [14′] 对应目标 2、3。四题构成「正向判定 → 逆向求参 → 公共弦 → 验算」的梯度，例 3 是本节唯一的综合题，也是最能体现代数技巧的一题。 例题精析 9 例 2　由位置关系反求参数　已知圆 与圆 外切，求实数 的值。 【答案】。 【详解】、；、；圆心距 。 外切需 ，即 ，故 或 。 变式 2　已知圆 与圆 （）相交，求 的取值范围。 【答案】。 【详解】、；、半径为 ；。 [14′] 对应目标 2、3。四题构成「正向判定 → 逆向求参 → 公共弦 → 验算」的梯度，例 3 是本节唯一的综合题，也是最能体现代数技巧的一题。 例题精析 10 相交需 ：由 得 ；由 得 ，即 。 综上 。 例 3　公共弦方程与公共弦长　已知两圆 与 相交，求公共弦所在直线的方程及公共弦长。 【答案】公共弦所在直线为 ，公共弦长为 。 【详解】两圆方程相减（）得 ，即 ，这就是公共弦所在直线的方程。 [14′] 对应目标 2、3。四题构成「正向判定 → 逆向求参 → 公共弦 → 验算」的梯度，例 3 是本节唯一的综合题，也是最能体现代数技巧的一题。 例题精析 11 （理由：两个交点同时满足两圆方程，故也满足两式之差；相减后 项消去，剩下的二元一次方程表示一条直线。） 求弦长：由 配方得 ，圆心 、半径 。 圆心到直线 的距离 。 故公共弦长 。 变式 3　求两圆 与 的公共弦所在直线方程及公共弦长。 【答案】公共弦所在直线为 ，公共弦长为 。 [14′] 对应目标 2、3。四题构成「正向判定 → 逆向求参 → 公共弦 → 验算」的梯度，例 3 是本节唯一的综合题，也是最能体现代数技巧的一题。 例题精析 12 【详解】两式相减得 ，即 。 由 圆心 、半径 ，圆心到直线 的距离为 ， 故公共弦长 。 （用 验算：配方得 ，圆心 、半径 ，圆心到直线距离为 ，弦长 ，一致。） [14′] 对应目标 2、3。四题构成「正向判定 → 逆向求参 → 公共弦 → 验算」的梯度，例 3 是本节唯一的综合题，也是最能体现代数技巧的一题。 课堂小结与作业布置 13 小结一条链：求圆心与半径 → 算圆心距 → 与 、 比大小 → 定五种关系（数轴上两个分界点）→ 相交时相减求公共弦。 口诀：离 4 切 3 交 2，内切 1 条内含 0；公共弦，两式减。 预告：本章到此结束，下一章我们进入圆锥曲线——椭圆、双曲线与抛物线。 作业布置见下方分层作业。 [3′] 对应全部目标。以「一条链 + 两句口诀」收束全章，并自然衔接到第三章。 当堂检测 14 1. 判断两圆 与 的位置关系。 【答案】外离 【详解】、；、；，，因为 ，故两圆外离。 2. 填空：两圆外离 ＿＿＿；两圆内含 ＿＿＿。 【答案】大于（）；小于（） 【详解】 时两圆没有公共点且互相在外，为外离； 时小圆完全落在大圆内部且不相碰，为内含。 3. 已知圆 与圆 内切，求 的值。 【答案】 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 当堂检测 15 【详解】、；、；。 内切需 ，即 ，故 或 。 4. 求两圆 与 的公共弦所在直线的方程。 【答案】 【详解】两式相减：，得 ，即 。 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 分层作业 16 基础过关 1. 把下列两圆方程化为标准方程，指出圆心与半径：（1）；（2）。 【答案】（1），圆心 、半径 ；（2），圆心 、半径 2. 判断下列两圆的位置关系：（1） 与 ；（2） 与 。 【答案】（1）外离；（2）外切 3. 已知两圆半径分别为 与 ，圆心距为 ，判断它们的位置关系，并说明公切线条数。 【答案】内切，有 条公切线 4. 写出两圆外离、外切、相交、内切、内含所对应的公切线条数。 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 分层作业 17 【答案】依次为 条 能力提升 1. 已知圆 与圆 （）外切，求 的值。 【答案】 2. 求两圆 与 的公共弦所在直线的方程及公共弦长。 【答案】公共弦所在直线为 ，公共弦长为 3. 已知两圆 与 ，若它们有公共点，求 的取值范围。 【答案】（即 或 ） 思维挑战 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 分层作业 18 1. 已知圆 ，圆 的圆心在直线 上且半径为 。 （1）若 与 外切，求 的方程；（2）若 与 相交，求圆心横坐标的取值范围。 【答案】（1）圆心为 或 ，半径 ；（2） 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 $ 2.5.2　圆与圆的位置关系　学案 ——圆心距与半径和差比大小 一、学习目标 1. 能说出两圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），并记住判定的核心量是圆心距 与 、 的大小比较。 2. 能由两圆方程求出圆心与半径，计算圆心距，进而判定位置关系；能由位置关系反求方程中的参数（含字母系数）。 3. 会用「两圆方程相减」求相交两圆公共弦所在直线的方程，并结合弦长公式 求公共弦长。 重点：两圆位置关系的判定： 外离、 外切、 相交、 内切、 内含。 难点：内含与内切的区分；由位置关系反求参数时的方程（组）建立；公共弦所在直线方程的来由。 二、知识梳理（阅读教材后完成） 情境导入：两个圆能怎么放 回顾：上一课时我们用圆心到直线的距离 与半径 比大小，判定了直线与圆的位置关系（相离／相切／相交）。 点明：直线与圆只需比 与 ；圆与圆要多出一个量——两半径的差。 五种位置关系与判定 设两圆半径分别为 、（不妨 ），圆心距 。 （1）外离：，两圆无公共点，有 4 条公切线。 判定步骤与公切线条数 （1）四步法：① 由两圆方程求圆心 、 与半径 、； ② 计算圆心距 ； 三、典例剖析 例 1　正向判定 判断下列各组中两圆的位置关系。 变式 1 判断两圆 与 的位置关系。 例 2　由位置关系反求参数 已知圆 与圆 外切，求实数 的值。 变式 2 已知圆 与圆 （）相交，求 的取值范围。 例 3　公共弦方程与公共弦长 已知两圆 与 相交，求公共弦所在直线的方程及公共弦长。 变式 3 求两圆 与 的公共弦所在直线方程及公共弦长。 【方法归纳】先求 ，再同时与和、差两个数比较，缺一不可。 四、当堂检测 1. 判断两圆 与 的位置关系。 2. 填空：两圆外离 ＿＿＿；两圆内含 ＿＿＿。 3. 已知圆 与圆 内切，求 的值。 4. 求两圆 与 的公共弦所在直线的方程。 五、课后巩固 基础过关 1. 把下列两圆方程化为标准方程，指出圆心与半径：（1）；（2）。 2. 判断下列两圆的位置关系：（1） 与 ；（2） 与 。 3. 已知两圆半径分别为 与 ，圆心距为 ，判断它们的位置关系，并说明公切线条数。 4. 写出两圆外离、外切、相交、内切、内含所对应的公切线条数。 能力提升 1. 已知圆 与圆 （）外切，求 的值。 2. 求两圆 与 的公共弦所在直线的方程及公共弦长。 3. 已知两圆 与 ，若它们有公共点，求 的取值范围。 六、易错警示 ① 只比和、不比差：判定必须同时看 与 ，漏掉后者会把内含误判成外离之外的一切。 ② 内切与内含混淆：内切是 等于半径差，内含是 小于半径差，差一个等号。 ③ 求圆心距带错符号：，坐标差的顺序不影响结果，但漏平方会出错。 ④ 公共弦方程写反：相减时两式次序颠倒只会整体变号，直线不变；但等号右边必须是 ，移项要彻底。 ⑤ 求公共弦长用错圆：两个圆都能算，弦长必然相同，应挑选圆心到直线距离更好算的那个。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2　圆与圆的位置关系　教学设计 ——圆心距与半径和差比大小 课型：新授课　课时：第 9 课时（本册） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　能根据圆心距与两圆半径的和、差之间的大小关系，判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），并体会用代数方法刻画几何位置关系的思想。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·圆与方程；对应本课：环节二、三、四：判定方法、例题精析与当堂检测） ②　会求两圆相交时公共弦所在直线的方程，感悟「两圆方程相减消去二次项」这一消元技巧。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·圆与方程；对应本课：环节四例 3、变式 3 与作业 B 组第 6 题） 本课核心素养锚点：直观想象、数学运算（主要）　逻辑推理、数学抽象（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节研究两个圆之间的位置关系。与直线和圆只有一个距离量不同，圆与圆的位置由圆心距 与两半径的和 、差 三者共同决定，共五种情形：外离、外切、相交、内切、内含。 为什么：位置关系本来是几何直观，但把它翻译成 与半径和差的不等式后，就能脱离图形直接计算，还能反过来由位置关系求参数——这正是「几何问题代数化」的典型范例，也是后续解决圆系、轨迹问题的工具。 怎么办：教材的处理顺序是：先由图形归纳五种关系 → 给出 与和差比较的判定表 → 用例题演练正向判定与逆向求参 → 最后处理相交时的公共弦。本教案沿用这一顺序，并把「公切线条数」并入判定表，便于整体记忆。 易错点：① 只比 与 ，忘记再与 比较，把内含误判为相交；② 求圆心距时代错坐标；③ 两圆方程相减前未化为 系数相同（通常都先化为 1）；④ 求公共弦长时用了错误的圆（应取便于计算的那个圆）。 已有基础：学生已掌握圆的标准方程与一般方程，会求圆心与半径；上一课时刚学过直线与圆的位置关系，对「距离与半径比大小」的思路已熟悉。 潜在困难：一是从「一个距离比一个半径」升级为「一个距离比两个数」，比较对象变多，容易漏掉 这一端；二是内含与内切的区分（ 小于还是等于半径差）在图形上不易看清；三是「两圆方程相减得到直线」缺少直观解释。 突破策略：用一条数轴把五种关系标在同一条线上（ 从 增大到无穷），学生一眼就能看清分界点；内含与内切用「小圆在大圆内能否碰到」来区分；公共弦则点明「两圆交点同时满足两方程，相减后二次项消去，剩下的就是一条直线」。 三、教学目标 1. 能说出两圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），并记住判定的核心量是圆心距 与 、 的大小比较。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：单点—多点　｜　成功标准：口头表述与填空共 4 题对 3 题及以上 2. 能由两圆方程求出圆心与半径，计算圆心距，进而判定位置关系；能由位置关系反求方程中的参数（含字母系数）。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：例 1、例 2 及变式共 4 题对 3 题 3. 会用「两圆方程相减」求相交两圆公共弦所在直线的方程，并结合弦长公式 求公共弦长。 布鲁姆层级：应用／分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：例 3、变式 3 及作业 B 组第 6 题对 2 题及以上 目标 1 的评估证据：例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 1、2 题；对应环节：环节二、三。 目标 2 的评估证据：例 2 + 变式 2 + 当堂检测第 3 题；对应环节：环节四。 目标 3 的评估证据：例 3 + 变式 3 + 当堂检测第 4 题 + 作业 B 组第 6 题、C 组第 8 题；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：两圆位置关系的判定： 外离、 外切、 相交、 内切、 内含。 难点：内含与内切的区分；由位置关系反求参数时的方程（组）建立；公共弦所在直线方程的来由。 难点成因：五个不等式外形相近、只差一个等号，学生容易记混；而「两圆方程相减得直线」是纯粹的代数操作，若不交代「交点坐标同时满足两方程」这一理由，学生只能机械模仿。 教法：图形归纳 + 数轴统整 + 例题演练——先由图形归纳五种关系，再用一条数轴把判定不等式全部串起来；判定与求参双向各练一组，最后处理公共弦。 学法：求圆心距 → 与和、差比大小 → 定关系 →（若相交）相减求公共弦——本课的关键是「先算 ，再比两个数」，学生应在每题前先把 、、 三个数写在草稿上。 五、教学过程 环节一　情境导入：两个圆能怎么放（约3分钟） 回顾：上一课时我们用圆心到直线的距离 与半径 比大小，判定了直线与圆的位置关系（相离／相切／相交）。 追问：如果把直线换成一个圆，两个圆之间又有哪几种摆法？判定的量还够用吗？ 演示：课件上移动第二个圆，学生依次看到外离 → 外切 → 相交 → 内切 → 内含五种情形。 点明：直线与圆只需比 与 ；圆与圆要多出一个量——两半径的差。 【学生活动】观察课件演示，口答五种摆法的名称；在学案上画出相交与内切各一幅草图。 【设计意图】对应目标 1。用与上一课时完全平行的问法引入，学生能自己猜到「还差一个量」，概念的出现就有了必然性。 环节二　五种位置关系与判定（约9分钟） 设两圆半径分别为 、（不妨 ），圆心距 。 （1）外离：，两圆无公共点，有 4 条公切线。 （2）外切：，两圆有 1 个公共点，有 3 条公切线。 （3）相交：，两圆有 2 个公共点，有 2 条公切线。 （4）内切：，两圆有 1 个公共点，有 1 条公切线。 （5）内含：，两圆无公共点，有 0 条公切线。 图1　圆与圆的五种位置关系 （6）数轴统整：把 从 到 标在数轴上，两个分界点依次是 与 ，五个区间（含分界点）正好对应五种关系。 （7）同心圆特例： 时两圆同心，属于内含。 【学生活动】对照课件图 1，在学案上填写判定表；同桌互查「内含」与「内切」的分界条件。 【设计意图】对应目标 1。数轴统整是本环节的点睛之笔——五个不等式其实是数轴上的五个区间，记住两个分界点就够了，不必死记五句话。 环节三　判定步骤与公切线条数（约6分钟） （1）四步法：① 由两圆方程求圆心 、 与半径 、； ② 计算圆心距 ； ③ 算出 与 ；④ 比大小，定关系。 （2）公切线条数：4、3、2、1、0，与外离、外切、相交、内切、内含一一对应，可记为「离 4、切 3、交 2、内切 1、内含 0」。 （3）口答：半径分别为 与 的两圆，圆心距为 ，是什么关系？（，外离。）圆心距为 呢？（，相交。） 【学生活动】跟教师一起走一遍四步法；在学案上默写公切线条数口诀。 【设计意图】对应目标 1、2。四步法把判定流程固定下来，学生遇到题就有章可循；公切线条数用口诀打包，减轻记忆负担。 环节四　例题精析（约14分钟） 例 1　正向判定　判断下列各组中两圆的位置关系。 （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 。 【答案】（1）外切；（2）相交；（3）内含。 【详解】（1）、；、；，，故 ，两圆外切。 （2）、；、；。又 、，满足 ，故两圆相交。 （3）、；、；。又 ，满足 ，故两圆内含。 【方法归纳】先求 ，再同时与和、差两个数比较，缺一不可。 变式 1　判断两圆 与 的位置关系。 【答案】外离。 【详解】配方得 ，圆心 、半径 ； ，圆心 、半径 。 ，，故 ，两圆外离。 例 2　由位置关系反求参数　已知圆 与圆 外切，求实数 的值。 【答案】。 【详解】、；、；圆心距 。 外切需 ，即 ，故 或 。 变式 2　已知圆 与圆 （）相交，求 的取值范围。 【答案】。 【详解】、；、半径为 ；。 相交需 ：由 得 ；由 得 ，即 。 综上 。 例 3　公共弦方程与公共弦长　已知两圆 与 相交，求公共弦所在直线的方程及公共弦长。 【答案】公共弦所在直线为 ，公共弦长为 。 【详解】两圆方程相减（）得 ，即 ，这就是公共弦所在直线的方程。 （理由：两个交点同时满足两圆方程，故也满足两式之差；相减后 项消去，剩下的二元一次方程表示一条直线。） 求弦长：由 配方得 ，圆心 、半径 。 圆心到直线 的距离 。 故公共弦长 。 变式 3　求两圆 与 的公共弦所在直线方程及公共弦长。 【答案】公共弦所在直线为 ，公共弦长为 。 【详解】两式相减得 ，即 。 由 圆心 、半径 ，圆心到直线 的距离为 ， 故公共弦长 。 （用 验算：配方得 ，圆心 、半径 ，圆心到直线距离为 ，弦长 ，一致。） 【学生活动】例 1 由教师板演第（1）小题，其余两小题学生上台；变式 1 全班齐答；例 2 与变式 2 学生独立完成并汇报；例 3 教师引导「为什么要相减」，变式 3 独立完成。 【设计意图】对应目标 2、3。四题构成「正向判定 → 逆向求参 → 公共弦 → 验算」的梯度，例 3 是本节唯一的综合题，也是最能体现代数技巧的一题。 环节五　当堂检测（约4分钟） 独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，统计错号。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（共 4 小题），答案与详解由课件单击依次呈现。 1. 判断两圆 与 的位置关系。 【答案】外离 【详解】、；、；，，因为 ，故两圆外离。 2. 填空：两圆外离 ＿＿＿；两圆内含 ＿＿＿。 【答案】大于（）；小于（） 【详解】 时两圆没有公共点且互相在外，为外离； 时小圆完全落在大圆内部且不相碰，为内含。 3. 已知圆 与圆 内切，求 的值。 【答案】 【详解】、；、；。 内切需 ，即 ，故 或 。 4. 求两圆 与 的公共弦所在直线的方程。 【答案】 【详解】两式相减：，得 ，即 。 【学生活动】独立作答 → 同桌互换批改 → 举手统计错号，教师只讲错得最多的那一题。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别覆盖外离判定、判定不等式填空、内切求参、公共弦方程。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结一条链：求圆心与半径 → 算圆心距 → 与 、 比大小 → 定五种关系（数轴上两个分界点）→ 相交时相减求公共弦。 口诀：离 4 切 3 交 2，内切 1 条内含 0；公共弦，两式减。 预告：本章到此结束，下一章我们进入圆锥曲线——椭圆、双曲线与抛物线。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结链条中的空缺处；把判定口诀与公共弦求法各默写一遍。 【设计意图】对应全部目标。以「一条链 + 两句口诀」收束全章，并自然衔接到第三章。 时间弹性提示：若环节四推进偏慢，可把变式 3 改为课后完成，确保例 1、例 2 与当堂检测完整落地。 差异化处理：对基础较好的班级，例 3 之后可追问「若两圆外切，切点坐标怎么求」，把公共弦推广到公切线；对基础薄弱班级，环节二的（6）数轴统整应放慢讲解。 教学准备——教具：多媒体课件、两圆五种位置关系示意图（见课件配图）；学具：学案（随堂印发）、圆规、直尺；媒体资源：课件需支持：五种位置关系的动态演示、判定数轴、公共弦的形成过程。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 2.5.2　圆与圆的位置关系 一、圆心距 ，与 、 比大小 二、外离 　外切 三、相交 四、内切 　内含 五、公切线 4·3·2·1·0　公共弦：两式相减 副板书（右侧，随用随擦）：演算过程与易错点 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 的公共弦长计算涉及距离与弦长公式，估计当堂检测第 4 题与作业 B 组第 6 题失分偏多。 学情预判是否准确：预判的「漏比半径差」与「内切内含分不清」应在当堂检测第 2 题显形，是复核学情预判的关键指标。 情境与实践活动效果：课件动态演示五种位置关系，学生反应积极；数轴统整环节显著降低了记忆负担。 改进设想：本章到此结束，可在章末安排一节「直线与圆综合」专题，把点到直线距离、弦长、圆与圆位置关系串成一条主线。 附录　本课易错警示 1. ① 只比和、不比差：判定必须同时看 与 ，漏掉后者会把内含误判成外离之外的一切。 2. ② 内切与内含混淆：内切是 等于半径差，内含是 小于半径差，差一个等号。 3. ③ 求圆心距带错符号：，坐标差的顺序不影响结果，但漏平方会出错。 4. ④ 公共弦方程写反：相减时两式次序颠倒只会整体变号，直线不变；但等号右边必须是 ，移项要彻底。 5. ⑤ 求公共弦长用错圆：两个圆都能算，弦长必然相同，应挑选圆心到直线距离更好算的那个。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 教材原题——课本 2.5 节练习第 3、4 题，习题 2.5 第 7、8 题 补充题（自编）——① 判定：判断 与 的位置关系。 补充题（自编）——② 公共弦：求 与 的公共弦所在直线方程。 基础巩固 1. 把下列两圆方程化为标准方程，指出圆心与半径：（1）；（2）。 【答案】（1），圆心 、半径 ；（2），圆心 、半径 【详解】（1）配方：，即 ，圆心 、半径 。 （2）配方：，即 ，圆心 、半径 。 2. 判断下列两圆的位置关系：（1） 与 ；（2） 与 。 【答案】（1）外离；（2）外切 【详解】（1）、；、；，而 ，故 ，两圆外离。 （2）、；、；，两圆外切。 3. 已知两圆半径分别为 与 ，圆心距为 ，判断它们的位置关系，并说明公切线条数。 【答案】内切，有 条公切线 【详解】，满足内切条件，故两圆内切；内切有 条公切线。 4. 写出两圆外离、外切、相交、内切、内含所对应的公切线条数。 【答案】依次为 条 【详解】外离 4 条；外切 3 条；相交 2 条；内切 1 条；内含 0 条。 能力提升 1. 已知圆 与圆 （）外切，求 的值。 【答案】 【详解】、；、；。 外切需 ，即 ，故 ，。 2. 求两圆 与 的公共弦所在直线的方程及公共弦长。 【答案】公共弦所在直线为 ，公共弦长为 【详解】两式相减：，得 。 由 配方得 ，圆心 、半径 ；圆心到直线 的距离为 ，故公共弦长 。 3. 已知两圆 与 ，若它们有公共点，求 的取值范围。 【答案】（即 或 ） 【详解】、；、；。 「有公共点」即相交或相切，需 ，即 ，故 。 思维挑战 8. 已知圆 ，圆 的圆心在直线 上且半径为 。 （1）若 与 外切，求 的方程；（2）若 与 相交，求圆心横坐标的取值范围。 【答案】（1）圆心为 或 ，半径 ；（2） 【详解】设 圆心为 ，则 。 （1）外切需 ，即 ，展开得 ，即 ，解得 ，故 的方程为 或 。 （2）相交需 ，即 ，等价于 。 记 ，最小值为 （在 处），故 即 ，得 ；而 恒成立（因最小值 ）。 所以圆心横坐标 的取值范围是 。 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