2.5.1 直线与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 1 课时学习素养目标：1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位 置关系，培养逻辑推理的核心素养.2.给定圆上或圆外一点，会求过该 点的圆的切线方程.3.当直线与圆相交时，会求弦长. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 直线与圆位置关系的判断 任务学习二 直线与圆相切 任务学习三 直线与圆相交 任务学习四 直线与圆的方程的实际应用 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 直线与圆位置关系的判断 4 新知梳理 直线与圆 的位置关系 及判断#1 位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 2 1 0 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 位置关系 相交 相切 相离 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：联立 消元得到一元二次方程，其根的判别 式为 续表 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 特别提醒 若能求出动直线过定点，并能确定定点在圆内，则可确定直线与 圆相交.#1.2.1 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 能力提升 例1 已知直线与圆，当 为何值时，直线与圆相 交？相切？相离？ [解析] 解法一：由得 ，则 . 当时， ，直线与圆相交. 当或时， ，直线与圆相切. 当或时， ，直线与圆相离. 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 解法二：由题意得圆的半径，圆心到直线 的距离 . 当，即 时，直线与圆相交. 当，即或 时，直线与圆相切. 当，即或 时，直线与圆相离. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 迁移应用1（1）直线与圆 的 位置关系是( ) A A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 [解析] 直线过定点，因为点在圆的内部，所以直线 与圆相交. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 （2）若点在圆外，则直线与圆 的位 置关系是( ) B A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相离 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 [解析] 因为点在圆外，所以 . 圆的圆心坐标为，半径 . 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线 的距离 . 由，可得 ， 则，即圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆 相交.故选B. 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 任务学习二 直线与圆相切 13 例2 过点作圆的切线，求切线 的方程. [解析] 易知点在圆 上， 圆的圆心坐标为，所以点 与圆心所在直线的 斜率为，则直线的斜率为 ， 直线的方程为 ， 整理得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 例3 （链接教材P92例2）已知过点的直线 与圆 相切,求直线 的方程. [解析] 易知点在圆外，圆心的坐标为，半径 . 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，恰好与圆 相切; 当直线 的斜率存在时， 设直线的方程为 ， 即 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 圆心到直线的距离为，解得 ， 所以直线的方程为 ， 整理得 . 综上，直线的方程为或 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 变式 在例3的基础上求切线长. [解析] 圆心与点 间的距离为 ， 所以切线长为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 解题感悟 1.过圆上一点 的切线只有1条， 先求切点与圆心所在的直线的斜率，若斜率不存在，即 ，则切 线方程为，若斜率存在，即 ，再由垂直关系求得切线的斜 率，利用点斜式即可求得切线方程，以上两种情况下的切线方程均满 足 .#1.1 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 2.过圆外一点的切线有2条，设切线方程为 ， 由圆心到切线的距离等于圆的半径建立方程求出 的值，即可求得切线 方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 （切线斜率 不存在的情况）. 3.过圆外一点 作圆的两条切线 ，，切点分别为, ，则切线长 ，切点弦 所在直线的方程为 .#1.3 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 任务学习三 直线与圆相交 20 例4 求直线被圆 截得的弦长. [解析] 圆的标准方程为，圆心 到直线 的距离 ，所以弦长为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 解题感悟 弦长的求解方法 1.几何法：如图所示，直线与圆相交于，两点，线段 的长即为 直线被圆截得的弦长.设弦心距为，半径为，则有 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 2.代数法：直线与圆交于，两点，当直线 的斜率存 在时，设其为 ，联立直线方程和圆的方程得方程组. 方法一：解方程组得点， 的坐标，再由两点间的距离公式求弦 长 . 方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数 的关系以及弦长公式 可求得弦长.特别地， 当时，可直接利用 计算；当斜率不存在时，可直 接利用 计算.#1.1.3.2 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用2 直线与圆相交于， 两点，且 ，求实数 的值. [解析] 由题意得圆心，半径 ， 圆心到直线的距离， ， ，解得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用3 （2025河南开封期末）已知直线 与圆 交于，两点，求 的最小值. [解析] 圆的圆心的坐标为，半径 ， 直线，即 恒过定点 ， 易知点 在圆内， 则当直线与垂直时， 取得最小值， 又，则的最小值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 任务学习四 直线与圆的方程的实际应用 26 新知梳理 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的 几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步:通过代数运算，解决代数问题； 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 能力提升 例5 （链接教材P95T2）（2025四川乐山期末）某圆拱桥的水面跨度 ，拱高，现有一船宽 ，若这条船能从桥下通过，求水面以 上的最大高度.（参考数据， ） 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 [解析] 由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设图中的矩形 为船刚好能从桥下通过时的位置， 则，，， ， 设圆拱桥所在圆的方程为 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 则解得 故圆的方程为 ， 令，解得 ， 所以若这条船能从桥下通过，则水面以上的最大高度为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用4 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为 的圆形 区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的 处出发，径直驶向位 于海监船正北的处岛屿，船速为 .通过建立适当的平面 直角坐标系，计算这艘外籍轮船能被海监船监测到的时长. [解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系， 则圆，，，交圆 于 ，两点，即外籍轮船从处开始被监测，到 处监测 结束，连接，，作于点，直线 的方 程为，即 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 因为到直线的距离 ， 所以 ， 所以这艘外籍轮船能被海监船监测到的时长为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 32 素养评价·课堂达标 33 1.直线与圆 的位置关系是( ) B A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 [解析] 易知圆心的坐标为 ，半径为1，所以圆心到直线的距离为 ，故直线与圆相切. 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 2.已知圆，直线 ，若直线被圆截得的弦长为2， 则 ______. [解析] 设圆心到直线的距离为，由圆的方程得半径 . 直线被圆截得的弦长为 ， 所以 . 因为，所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 35 3.如图，隧道的截面是半径为 的半圆，车辆只能在 道路中心线的一侧行驶，假设货车的最大宽度为 ， 那么要正常驶入该隧道，货车的限高为__________ . [解析] 如图，矩形是货车的截面， ，则 ，所以货车的限高 为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 36 4.易错题 过点 的直线与圆心在原点、半径为3的圆相切，则该 直线的方程为_____________________________. 或 高 中 同 步 课 堂 学 案 37 [解析] 当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为 ，此时圆 心到直线的距离为3，直线和圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即 ， 由圆心到直线的距离为3，可得，解得 ，则直线的方 程为 ， 整理得 . 故直线的方程为或 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 38 易错提醒 易漏掉斜率不存在的情况而致错. 高 中 同 步 课 堂 学 案 39 $