2.5.1直线与圆的位置关系（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1　直线与圆的位置关系 ——几何法（圆心到直线距离）与代数法（判别式） 第二章 直线和圆的方程 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 8 课时（本册） 对应目标 1。用生活情境制造认知需求，让「判定方法」的出现成为必然；三种位置的几何直观为后面代数判定铺垫。 学习目标 1 知道直线与圆有相离、相切、相交三种位置关系，并能用两种方法（几何法比较 与 、代数法看判别式 ）进行判定，说出两种方法的依据。 会求过圆上一点、过圆外一点的圆的切线方程，并先由点与圆心的距离判断切线条数；会利用弦长公式 求相交弦长。 能在具体问题中灵活选择几何法或代数法，体会「数形结合」与「几何问题代数化」的思想。 60 秒速读：让学生知道本课结束时要能做什么。 情境导入：直线与圆有几种位置关系 2 情境：海上航行的轮船如何判断航线会不会进入暗礁危险区？本质上就是判断「直线（航线）」与「圆（危险区边界）」的位置关系。 在平面几何中，直线与圆有三种位置关系，由它们的公共点个数决定： ① 相离：没有公共点； ② 相切：有且只有一个公共点（切点）； ③ 相交：有两个公共点（此时直线叫割线）。 如何精确地判定是哪一种？本节课给出两条路线：几何法与代数法。 [3′] 对应目标 1。用生活情境制造认知需求，让「判定方法」的出现成为必然；三种位置的几何直观为后面代数判定铺垫。 情境导入：直线与圆有几种位置关系 3 [3′] 对应目标 1。用生活情境制造认知需求，让「判定方法」的出现成为必然；三种位置的几何直观为后面代数判定铺垫。 两种判定方法 4 （1）几何法：设圆 的圆心为 、半径为 ，直线 的一般式为 。 圆心到直线的距离 ；比较 与 ： 相离； 相切； 相交。 （2）代数法：将直线方程代入圆方程，消去 （或 ）得到关于 的一元二次方程； 其判别式为 ： 相离； 相切； 相交。 例 1（几何法判定）　已知圆 ，直线 。判定直线 与圆 的位置关系。 [12′] 对应目标 1。两条路线并列呈现，让学生体会「同一几何事实的两种代数表达」，几何法快、代数法通用。 两种判定方法 5 【解答】圆 的圆心为 ，半径 。 圆心到直线的距离 。 因为 ，所以直线 与圆 相交。 【方法归纳】几何法三步走：写圆心与半径 → 套点到直线距离公式 → 比大小。 变式 1　已知圆 ，直线 。判定其位置关系。 【答案】相交。 [12′] 对应目标 1。两条路线并列呈现，让学生体会「同一几何事实的两种代数表达」，几何法快、代数法通用。 两种判定方法 6 【详解】圆心 ，半径 ；，故相交。 例 2（代数法判定）　已知圆 ，直线 。判定位置关系。 【解答】将 代入圆方程得 ，即 。 整理得 ，化简为 ；判别式 。 因为 ，所以直线与圆相交（有两个交点）。 【方法归纳】代数法：联立 → 消元得一元二次方程 → 看 符号。 [12′] 对应目标 1。两条路线并列呈现，让学生体会「同一几何事实的两种代数表达」，几何法快、代数法通用。 两种判定方法 7 变式 2　已知圆 ，直线 。用代数法判定。 【答案】相交。 【详解】将 代入：，展开得 ，即 ，解得 或 ； 有两个实根，故直线与圆相交（交点为 、）。 [12′] 对应目标 1。两条路线并列呈现，让学生体会「同一几何事实的两种代数表达」，几何法快、代数法通用。 圆的切线方程 8 （1）过圆上一点 的切线：切线垂直于该点处的半径 。 圆心在原点的圆 ，切线方程为 ； 一般圆 ，切线方程为 。 （2）过圆外一点的切线：先判断条数——点到圆心距离等于半径（点在圆上）有 1 条；大于半径（点在圆外）有 2 条；小于半径（点在圆内）有 0 条。求法：设斜率 后用 求解，并注意是否有竖直（或水平）方向的特例切线。 例 3（过圆上一点的切线）　已知圆 上一点 ，求过点 的切线方程。 【解答】圆心 ，半径 ；半径 的斜率 。 [10′] 对应目标 2。「先判条数再求解」是本环节的易错点，用例 4 的点 $P$ 在圆外作强调。 圆的切线方程 9 切线垂直于半径，故切线斜率 。 由点斜式：，化简得 。 （亦可直接用公式 ，代入得 。） 【方法归纳】过圆 上一点 的切线方程为 。 变式 3　已知圆 上一点 ，求切线方程。 【答案】。 【详解】圆心 ，点 满足 ，确在圆上。 [10′] 对应目标 2。「先判条数再求解」是本环节的易错点，用例 4 的点 $P$ 在圆外作强调。 圆的切线方程 10 用公式 ：。 即 ，化简得 。 例 4（过圆外一点的切线·条数与方程）　过点 作圆 的切线，求切线方程。 【解答】先判断条数：点 到圆心距离 ，故 在圆外，有 2 条切线。 观察：直线 到圆心距离为 ，是其中一条切线（切点 ）。 设另一条切线为 ，即 ； [10′] 对应目标 2。「先判条数再求解」是本环节的易错点，用例 4 的点 $P$ 在圆外作强调。 圆的切线方程 11 由圆心到该直线距离等于半径：。 平方得 ，化简得 ，即 ，对应 。 综上，两条切线为 与 。 【方法归纳】过圆外一点求切线：先由点与圆心距离判断条数（2 条）；若有竖直/水平特例先观察，再设斜率用 求解。 [10′] 对应目标 2。「先判条数再求解」是本环节的易错点，用例 4 的点 $P$ 在圆外作强调。 圆的切线方程 12 [10′] 对应目标 2。「先判条数再求解」是本环节的易错点，用例 4 的点 $P$ 在圆外作强调。 圆的切线方程 13 变式 4　过点 作圆 的切线，求切线条数与方程。 【答案】2 条；切线方程为 与 。 【详解】点 到圆心距离 ，在圆外，故有 2 条切线； 设切线 ，即 ；由 得 。 [10′] 对应目标 2。「先判条数再求解」是本环节的易错点，用例 4 的点 $P$ 在圆外作强调。 相交弦长公式 14 （1）弦长公式：直线 与圆相交，圆心到弦的距离 、半弦长 、半径 构成直角三角形：，故弦长 。 例 5（弦长）　直线 与圆 相交，求直线 被圆 截得的弦长。 【解答】由例 1 知圆心到直线距离 ，半径 。 弦长 。 【方法归纳】相交弦长 ；先求 （几何法），再代公式，不必求交点。 {{fig:zx2_8_chord|图 3 弦长公式：（半弦、距离、半径成直角三角形）|8}} [8′] 对应目标 2、3。弦长公式把几何关系 $l$、$d$、$r$ 勾股化，是数形结合的收束点。 相交弦长公式 15 变式 5　直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 （即直径）。 【详解】圆心 代入直线方程 ，说明直线过圆心； 故所截弦为直径，弦长 。 [8′] 对应目标 2、3。弦长公式把几何关系 $l$、$d$、$r$ 勾股化，是数形结合的收束点。 课堂小结与作业布置 16 小结两条路线 + 两个公式： 判定：几何法看 与 、代数法看 ； 切线：过圆上一点用公式；过圆外一点先判条数再设 用 ； 弦长：。 易错提醒：① 几何法先写圆心与半径；② 代数法消元后仔细算 ；③ 过圆外一点求切线不忘竖直/水平特例；④ 弦长公式用勾股关系而非求交点。 作业布置见下方分层作业。 [3′] 对应全部目标。以「两条路线、两个公式」收束，为下一课时圆与圆的位置关系留接口。 当堂检测 17 1. 判断直线与圆的位置关系并说明理由：圆 与直线 。 【答案】相切（）。 【详解】圆心 到直线 的距离 ，故相切。 2. 已知圆 ，直线 。用几何法判定其位置关系。 【答案】相交（）。 【详解】圆心 到直线 的距离 ，故相交。 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 当堂检测 18 3. 过点 作圆 的切线，求切线方程。 【答案】切线方程为 。 【详解】点 满足 ，在圆上；切线方程为 ，即 。 4. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 （直径）。 【详解】直线 过圆心 ，所截弦为直径，弦长 。 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 分层作业 19 基础过关 1. 用几何法判定：圆 与直线 的位置关系。 【答案】相切（）。 2. 用代数法判定：圆 与直线 的位置关系。 【答案】相离（）。 3. 求过圆 上一点 的切线方程。 【答案】切线方程为 。 4. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 。 能力提升 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 分层作业 20 1. 用代数法判定：圆 与直线 的位置关系。 【答案】相交（）。 2. 过点 作圆 的切线，求切线条数与切线方程。 【答案】2 条；切线方程为 与 。 3. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 。 思维挑战 1. 已知直线 与圆 。 讨论实数 取何值时，直线与圆分别相离、相切、相交；当相切时，求出 的值。 【答案】相离：；相切：；相交：。 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 $ 2.5.1　直线与圆的位置关系　学案 ——几何法（圆心到直线距离）与代数法（判别式） 一、学习目标 1. 知道直线与圆有相离、相切、相交三种位置关系，并能用两种方法（几何法比较 与 、代数法看判别式 ）进行判定，说出两种方法的依据。 2. 会求过圆上一点、过圆外一点的圆的切线方程，并先由点与圆心的距离判断切线条数；会利用弦长公式 求相交弦长。 3. 能在具体问题中灵活选择几何法或代数法，体会「数形结合」与「几何问题代数化」的思想。 重点：直线与圆位置关系的两种判定（几何法 与 、代数法 ）；切线方程；弦长公式 。 难点：点到直线距离公式的正确代入；判别式 的准确计算；过圆外一点求切线时条数判断与特例（竖直/水平）处理。 二、知识梳理（阅读教材后完成） 两种判定方法 （1）几何法：设圆 的圆心为 、半径为 ，直线 的一般式为 。 圆心到直线的距离 ；比较 与 ： 圆的切线方程 （1）过圆上一点 的切线：切线垂直于该点处的半径 。 圆心在原点的圆 ，切线方程为 ； 相交弦长公式 （1）弦长公式：直线 与圆相交，圆心到弦的距离 、半弦长 、半径 构成直角三角形：，故弦长 。 例 5（弦长）　直线 与圆 相交，求直线 被圆 截得的弦长。 三、典例剖析 （随堂完成教师板演的例题，注意每一步的依据。） 四、当堂检测 1. 判断直线与圆的位置关系并说明理由：圆 与直线 。 2. 已知圆 ，直线 。用几何法判定其位置关系。 3. 过点 作圆 的切线，求切线方程。 4. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 五、课后巩固 基础过关 1. 用几何法判定：圆 与直线 的位置关系。 2. 用代数法判定：圆 与直线 的位置关系。 3. 求过圆 上一点 的切线方程。 4. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 能力提升 1. 用代数法判定：圆 与直线 的位置关系。 2. 过点 作圆 的切线，求切线条数与切线方程。 3. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 六、易错警示 ① 几何法忘记先写圆心与半径：必须先把圆方程化为标准式读出 与 ，再把直线写成一般式 后才代距离公式。 ② 点到直线距离公式分母写成 而非 ： 是系数，要平方后开根。 ③ 代数法消元后判别式算错符号：二次项系数与常数项代入 时尤其注意常数项前的负号。 ④ 过圆外一点求切线漏掉竖直/水平特例：如例 4 的 易被设斜率法遗漏，应先观察再设 。 ⑤ 混淆「点在圆上/圆外」的切线条数：点在圆上有 1 条、圆外有 2 条、圆内 0 条，先用距离判断。 ⑥ 弦长公式写成 漏了系数 2：半弦是 ，故 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1　直线与圆的位置关系　教学设计 ——几何法（圆心到直线距离）与代数法（判别式） 课型：新授课　课时：第 8 课时（本册） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·直线与圆、圆与圆的位置关系；对应本课：环节二、三：几何法与代数法判定位置关系） ②　能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题（如圆的切线、弦长）。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·直线与圆、圆与圆的位置关系；对应本课：环节三、四：切线方程与弦长公式） 本课核心素养锚点：数学运算、直观想象（主要）　逻辑推理、数学抽象（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节研究直线与圆的位置关系。直线 与圆 的位置由公共点个数决定： 无公共点——相离；一个公共点——相切（该点叫切点，直线叫切线）；两个公共点——相交（直线叫割线）。判定有两条路线： 几何法比较圆心到直线的距离 与半径 ： 相离、 相切、 相交； 代数法联立方程消元得一元二次方程，由判别式 的符号判定： 相离、 相切、 相交。 进一步得到：过圆上一点的切线垂直于该点处的半径；相交弦长 。 从哪来：学生已掌握圆的标准方程、点到直线的距离公式以及一元二次方程的判别式；初中已知道直线与圆有相离、相切、相交三种关系。本节课把这些几何直观转化为可计算的代数条件。 往哪去：直线与圆的位置关系是后面「圆与圆的位置关系」「直线与圆锥曲线的位置关系」的铺垫；切线与弦长也是解析几何求值、求轨迹的基本工具，高考常与实际情境（如航海、最值）结合。 核心矛盾：重点：两种判定方法、切线方程、弦长公式。 难点：几何法要先写出圆心与半径并正确套用点到直线距离；代数法消元后要准确计算判别式；过圆外一点求切线时容易漏掉竖直（或水平）方向的特例。 成因：学生习惯「看图判断」，缺少把图形关系翻译成 与 、 的不等式意识的训练。 独特价值：本节是「几何问题代数化」的典型：用距离 、判别式 这样的代数量，精确刻画「相离/相切/相交」这样的几何关系，是解析几何思想的第一步。 知识／能力起点：已会求圆的标准方程、点到直线的距离、解一元二次方程与判别式的符号；初中已建立直线与圆三种位置的几何直观。 认知／思维特点：对「相切只有一个交点」有直观认识，但难以把「只有一个交点」转化为「判别式等于 0」；倾向用代入特值猜位置，而非系统判定。 预判困难与兴趣点：① 几何法中把直线方程写成一般式 后再代公式易出错； ② 代数法消元后判别式计算易算错符号； ③ 过圆外一点求切线时，忽略先判断条数，或漏掉竖直/水平特例； ④ 兴趣点：只给一个点和圆的方程，就能求出切线方程。 数据来源：待补充：建议以本章直线与方程单元测试中「点到直线距离」类题的得分率替代。 三、教学目标 1. 知道直线与圆有相离、相切、相交三种位置关系，并能用两种方法（几何法比较 与 、代数法看判别式 ）进行判定，说出两种方法的依据。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：判定题 4 题对 3 题及以上 2. 会求过圆上一点、过圆外一点的圆的切线方程，并先由点与圆心的距离判断切线条数；会利用弦长公式 求相交弦长。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：切线与弦长题 4 题对 3 题 3. 能在具体问题中灵活选择几何法或代数法，体会「数形结合」与「几何问题代数化」的思想。 布鲁姆层级：分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：综合题 2 题对 1 题及以上 目标 1 的评估证据：例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 1、2 题；对应环节：环节二。 目标 2 的评估证据：例 2 + 变式 2 + 当堂检测第 1 题代数法；对应环节：环节二。 目标 3 的评估证据：例 3 + 变式 3 + 例 4 + 变式 4 + 当堂检测第 3 题；对应环节：环节三。 目标 4 的评估证据：例 5 + 变式 5 + 当堂检测第 4 题 + 作业；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：直线与圆位置关系的两种判定（几何法 与 、代数法 ）；切线方程；弦长公式 。 难点：点到直线距离公式的正确代入；判别式 的准确计算；过圆外一点求切线时条数判断与特例（竖直/水平）处理。 难点成因：判定需要把几何关系翻译成代数不等式，学生「先想图、后算数」的习惯尚未建立，且多步运算中任一环节出错都会导致结论错误。 教法：问题驱动 + 数形结合 + 讲练结合——以「航海会不会触礁」的生活情境引入，先用图形建立三种位置直观，再分别给出几何法与代数法两条判定路线，每条路线配例题与变式，并通过同一组圆与直线的反复切换强化「选方法、代公式」的操作。 学法：先看图说关系 → 再翻译成代数条件 → 最后代公式比大小——本课是典型的「几何意义先行、代数计算跟进」任务，操作顺序比速度更重要。 五、教学过程 环节一　情境导入：直线与圆有几种位置关系（约3分钟） 情境：海上航行的轮船如何判断航线会不会进入暗礁危险区？本质上就是判断「直线（航线）」与「圆（危险区边界）」的位置关系。 在平面几何中，直线与圆有三种位置关系，由它们的公共点个数决定： ① 相离：没有公共点； ② 相切：有且只有一个公共点（切点）； ③ 相交：有两个公共点（此时直线叫割线）。 如何精确地判定是哪一种？本节课给出两条路线：几何法与代数法。 〔缺图：zx2_8_pos〕 【学生活动】对照课件图 1，口答三种位置对应的公共点个数；在学案上各画一条直线与一个圆表示三种位置。 【设计意图】对应目标 1。用生活情境制造认知需求，让「判定方法」的出现成为必然；三种位置的几何直观为后面代数判定铺垫。 环节二　两种判定方法（约12分钟） （1）几何法：设圆 的圆心为 、半径为 ，直线 的一般式为 。 圆心到直线的距离 ；比较 与 ： 相离； 相切； 相交。 （2）代数法：将直线方程代入圆方程，消去 （或 ）得到关于 的一元二次方程； 其判别式为 ： 相离； 相切； 相交。 例 1（几何法判定）　已知圆 ，直线 。判定直线 与圆 的位置关系。 【解答】圆 的圆心为 ，半径 。 圆心到直线的距离 。 因为 ，所以直线 与圆 相交。 【方法归纳】几何法三步走：写圆心与半径 → 套点到直线距离公式 → 比大小。 变式 1　已知圆 ，直线 。判定其位置关系。 【答案】相交。 【详解】圆心 ，半径 ；，故相交。 例 2（代数法判定）　已知圆 ，直线 。判定位置关系。 【解答】将 代入圆方程得 ，即 。 整理得 ，化简为 ；判别式 。 因为 ，所以直线与圆相交（有两个交点）。 【方法归纳】代数法：联立 → 消元得一元二次方程 → 看 符号。 变式 2　已知圆 ，直线 。用代数法判定。 【答案】相交。 【详解】将 代入：，展开得 ，即 ，解得 或 ； 有两个实根，故直线与圆相交（交点为 、）。 【学生活动】例 1 由教师板演几何法三步；变式 1 学生独立完成并口述 的计算；例 2、变式 2 侧重判别式计算，同桌互查符号。 【设计意图】对应目标 1。两条路线并列呈现，让学生体会「同一几何事实的两种代数表达」，几何法快、代数法通用。 环节三　圆的切线方程（约10分钟） （1）过圆上一点 的切线：切线垂直于该点处的半径 。 圆心在原点的圆 ，切线方程为 ； 一般圆 ，切线方程为 。 （2）过圆外一点的切线：先判断条数——点到圆心距离等于半径（点在圆上）有 1 条；大于半径（点在圆外）有 2 条；小于半径（点在圆内）有 0 条。求法：设斜率 后用 求解，并注意是否有竖直（或水平）方向的特例切线。 例 3（过圆上一点的切线）　已知圆 上一点 ，求过点 的切线方程。 【解答】圆心 ，半径 ；半径 的斜率 。 切线垂直于半径，故切线斜率 。 由点斜式：，化简得 。 （亦可直接用公式 ，代入得 。） 【方法归纳】过圆 上一点 的切线方程为 。 变式 3　已知圆 上一点 ，求切线方程。 【答案】。 【详解】圆心 ，点 满足 ，确在圆上。 用公式 ：。 即 ，化简得 。 例 4（过圆外一点的切线·条数与方程）　过点 作圆 的切线，求切线方程。 【解答】先判断条数：点 到圆心距离 ，故 在圆外，有 2 条切线。 观察：直线 到圆心距离为 ，是其中一条切线（切点 ）。 设另一条切线为 ，即 ； 由圆心到该直线距离等于半径：。 平方得 ，化简得 ，即 ，对应 。 综上，两条切线为 与 。 【方法归纳】过圆外一点求切线：先由点与圆心距离判断条数（2 条）；若有竖直/水平特例先观察，再设斜率用 求解。 〔缺图：zx2_8_tan〕 变式 4　过点 作圆 的切线，求切线条数与方程。 【答案】2 条；切线方程为 与 。 【详解】点 到圆心距离 ，在圆外，故有 2 条切线； 设切线 ，即 ；由 得 。 【学生活动】例 3 由教师板演（先用斜率垂直关系，再用公式验证）；变式 3 学生独立做；例 4 强调「先判条数」，并提示竖直特例；变式 4 由小组合作完成。 【设计意图】对应目标 2。「先判条数再求解」是本环节的易错点，用例 4 的点 在圆外作强调。 环节四　相交弦长公式（约8分钟） （1）弦长公式：直线 与圆相交，圆心到弦的距离 、半弦长 、半径 构成直角三角形：，故弦长 。 例 5（弦长）　直线 与圆 相交，求直线 被圆 截得的弦长。 【解答】由例 1 知圆心到直线距离 ，半径 。 弦长 。 【方法归纳】相交弦长 ；先求 （几何法），再代公式，不必求交点。 {{fig:zx2_8_chord|图 3 弦长公式：（半弦、距离、半径成直角三角形）|8}} 变式 5　直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 （即直径）。 【详解】圆心 代入直线方程 ，说明直线过圆心； 故所截弦为直径，弦长 。 【学生活动】例 5 由教师引领，强调「不必求交点、用 与 即可」；变式 5 让学生发现「过圆心即直径」的特例。 【设计意图】对应目标 2、3。弦长公式把几何关系 、、 勾股化，是数形结合的收束点。 环节五　当堂检测（约5分钟） 独立完成约 4 分钟，同桌互换批改，统计错号。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（4 小题），答案与详解由课件单击依次呈现。 1. 判断直线与圆的位置关系并说明理由：圆 与直线 。 【答案】相切（）。 【详解】圆心 到直线 的距离 ，故相切。 2. 已知圆 ，直线 。用几何法判定其位置关系。 【答案】相交（）。 【详解】圆心 到直线 的距离 ，故相交。 3. 过点 作圆 的切线，求切线方程。 【答案】切线方程为 。 【详解】点 满足 ，在圆上；切线方程为 ，即 。 4. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 （直径）。 【详解】直线 过圆心 ，所截弦为直径，弦长 。 【学生活动】独立作答 → 同桌互换批改 → 举手统计错号，教师只讲错得最多的那一题。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别覆盖几何法判定、代数法判定、切线方程、弦长，实现对三个目标的当堂检测。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结两条路线 + 两个公式： 判定：几何法看 与 、代数法看 ； 切线：过圆上一点用公式；过圆外一点先判条数再设 用 ； 弦长：。 易错提醒：① 几何法先写圆心与半径；② 代数法消元后仔细算 ；③ 过圆外一点求切线不忘竖直/水平特例；④ 弦长公式用勾股关系而非求交点。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结中的空缺处；把「几何法与代数法的选择」和「过圆外一点切线条数」各默写一遍。 【设计意图】对应全部目标。以「两条路线、两个公式」收束，为下一课时圆与圆的位置关系留接口。 教学准备——教具：多媒体课件、圆规、三角板、彩色粉笔（红笔标注答案）；学具：学案（随堂印发）、直尺、草稿纸；媒体资源：课件需支持：直线与圆三种位置对照图、切线示意（过圆上一点、过圆外一点）、弦长直角三角形示意。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 2.5.1 直线与圆的位置关系 一、三种位置：相离（0 点）｜相切（1 点）｜相交（2 点） 二、几何法： 与 比大小（先写圆心与半径，再套 ） 三、代数法：联立得一元二次方程，看 四、切线：圆上一点 ；圆外一点先判条数再设 用 五、弦长： 副板书（右侧）：点到直线距离公式 + 例 4 竖直特例 + 错例纠正区。 与重难点的对应：左侧「二、三」对应教学重点；右侧「先写圆心与半径、竖直特例」对应教学难点。 呈现方式：随课逐步生成，不一次性写完；右侧公式与特例在环节二、三即时生成。 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 的综合讨论（第 8 题含参）时间偏紧，可把例 4 的竖直特例讲透后再进入，给思维挑战题留时间。 学情预判是否准确：作业第 2 题（判别式算错符号）与第 5 题（过圆外一点切线）是预判的薄弱点，统计答错人数可直接检验「代数法」与「切线条数」是否入脑。 情境与实践活动效果：图 1 三种位置对照图帮助学生把几何直观翻译成 与 的不等式；若无投影，用圆规直尺在黑板上现场画圆与直线同样有效。 改进设想：下一课时讲圆与圆的位置关系时，可与本课的「距离与半径比较」主线呼应：把「圆心到直线距离 」换成「圆心距 」，方法一脉相承。 附录　本课易错警示 1. ① 几何法忘记先写圆心与半径：必须先把圆方程化为标准式读出 与 ，再把直线写成一般式 后才代距离公式。 2. ② 点到直线距离公式分母写成 而非 ： 是系数，要平方后开根。 3. ③ 代数法消元后判别式算错符号：二次项系数与常数项代入 时尤其注意常数项前的负号。 4. ④ 过圆外一点求切线漏掉竖直/水平特例：如例 4 的 易被设斜率法遗漏，应先观察再设 。 5. ⑤ 混淆「点在圆上/圆外」的切线条数：点在圆上有 1 条、圆外有 2 条、圆内 0 条，先用距离判断。 6. ⑥ 弦长公式写成 漏了系数 2：半弦是 ，故 。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 基础巩固——下列补充题第 1—4 题：几何法/代数法判定、过圆上一点切线、过圆心弦长 能力提升——下列补充题第 5—7 题：代数法判定、过圆外一点切线、相交弦长 思维挑战——下列补充题第 8 题：含参数直线与圆的位置关系讨论 基础巩固 1. 用几何法判定：圆 与直线 的位置关系。 【答案】相切（）。 【详解】圆心 ，半径 ；圆心到直线距离 ，故相切。 2. 用代数法判定：圆 与直线 的位置关系。 【答案】相离（）。 【详解】联立：将 代入 得 ，化简得 ；判别式 ，故相离。 3. 求过圆 上一点 的切线方程。 【答案】切线方程为 。 【详解】点 满足 ，在圆上；由 得 。 4. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 。 【详解】直线 过圆心 ，所截弦为直径，弦长 。 能力提升 1. 用代数法判定：圆 与直线 的位置关系。 【答案】相交（）。 【详解】将 代入圆方程得 ，化简得 ；判别式 ，故相交。 2. 过点 作圆 的切线，求切线条数与切线方程。 【答案】2 条；切线方程为 与 。 【详解】点 到圆心距离 ，在圆外，故有 2 条切线；设切线 ，即 ，由 解得 或 ，故切线为 与 。 3. 直线 与圆 相交，求所截弦长。 【答案】弦长为 。 【详解】圆心 到直线 的距离 ，半径 ；弦长 。 思维挑战 8. 已知直线 与圆 。 讨论实数 取何值时，直线与圆分别相离、相切、相交；当相切时，求出 的值。 【答案】相离：；相切：；相交：。 【详解】圆心 ，半径 ；直线化为 ，圆心到直线距离 。 由 与 比较：，此时相离； ，此时相切； ，此时相交。 故：相离 ；相切 ；相交 。 学科网（北京）股份有限公司 $