精品解析：上海交通大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月调研测试数学试卷

2026-2027 学年度第一学期 高三数学调研测试卷 （满分150分，120分钟完成．答案一律写在答题纸上．） 命题：李琛冰　　审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集为，若，则可以用区间表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义，结合全集为求解即可， 【详解】由补集的定义可知可以用区间表示为. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先化简，再求. 【详解】 . 故答案为： 【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型. 3. 已知，则=__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正切的倍角公式求解 【详解】已知，则. 故答案为： 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本量法求通项，进而求得即可. 【详解】,结合，可得， 所以. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 6. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式可求参数的取值范围. 【详解】解：因为不等式对任意的实数恒成立， 利用绝对值的几何意义可知，, 当且仅当时等号成立，故，则实数的取值范围是， 故答案为：. 7. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合二项式展开即可求解. 【详解】因为， 所以的展开式的通项公式为， 所以． 8. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，，表达出，求出最小值，设，，表达出，求出最小值，得到答案. 【详解】设，，∴，， ，当时，最小值为； 设，，∴，， ，当时，最小值为； 故答案为： 9. 与圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】圆关于直线对称后半径不变，仅需求出原圆圆心关于对称轴的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程. 【点睛】由原圆方程，可得其圆心为，半径, 设圆心关于直线的对称点为，根据轴对称性质列方程： 直线与对称轴垂直，对称轴斜率为，故，整理得 ①； 线段的中点在对称轴上，代入直线方程得， 整理得 ②； 将①代入②解得，，即对称圆的圆心为，半径与原圆相等为. 故所求对称圆的方程为. 10. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 【答案】28800 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空法计算求解. 【详解】将高三2个节目捆绑，内部排列有种方法；将此捆绑视为一个整体，与高一4个节目进行全排列，有种方法； 最后将高二的3个节目插入所形成的6个空中，有种方法； 根据分步乘法计数原理，共有种. 11. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个景观点，点到顶点的距离为米，平分，边、的长度均为米．现需要沿着草地的边安装一圈景观灯带，则该灯带的总长度为______米（精确到米）． 【答案】 【解析】 【分析】设米，米，结合已知条件，利用正弦定理得出，利用余弦定理构造方程求出，从而求出的值，进而求解． 【详解】设米，米，， 由正弦定理可得：，， 因，则，又， 可得，因，代入可得，即（*）， 由余弦定理， 化简得，将（*）代入整理得， 所以， 故， 所以， 解得（舍去）或（舍去）或， 所以， 所以该灯带的长度为， 又， 所以 则该灯带的长度约为米． 12. 设（常数），数列满足，．若存在，使得，则可取的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过复合函数单调性判断递推数列的增减性；结合单调有界准则，将数列有界转化为极限满足的等式；利用经典对数不等式推导目标式的最大值；验证临界值可行、更大值不可行，从而得到的最大值. 【详解】由指数函数的值域可知，对任意正整数，，因此等价于数列有上界， 要求的最大值，只需重点分析的情形（时，数列必有界，但无法取到最大的）. 当时，内层函数随增大而增大，外层函数是增函数， 根据复合函数“同增异减”的法则，在上单调递增， 对于递推数列，由数学归纳法可得： 若，则，依此类推，数列严格递增； 若，则，依此类推，数列为常数列； 若，则，依此类推，数列严格递减； 综上，当时数列单调不减；当时数列单调不增. 先证明：对任意，，当且仅当时等号成立. 设，，，， 当，，单调递减，当，，单调递增， 故，故，即，当且仅当时等号成立. 当时，令，则，代入不等式得， 因此， 所以，所以， 因为，所以，因此， 当且仅当时，两处不等式同时取等号. 当时，， 此时数列为常数列，显然满足（取即可），符合有界的条件，因此该值可取. 若，则， 由单调递增可知，数列严格递增. 假设数列有上界，根据单调有界数列必有极限，设数列的极限为，则， 当无限增大时，和都会无限趋近于，代入递推式可得， 两边取自然对数并整理得， 因为，，所以当时，，即，与矛盾， 因此假设不成立，即当时，数列无上界，不符合条件， 所以的最大值是. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 14. 下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，，满足是奇函数，也是减函数，故A正确. 对于B，是定义域上的增函数，故B错误. 对于C，是定义域上的增函数，故C错误. 对于D，，，所以不是奇函数，故D错误. 15. 空间中，设、、是三个向量且、不平行，下列关于（）的命题中，正确的命题是（ ）． A. 一定存在使得等式成立 B. 一定存在两个使得等式成立 C. 至多存在一个使等式成立 D. 可能存在无穷多个使得等式成立 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，结合线性无关向量的系数性质判断方程解的个数. 【详解】由、不平行，可知、线性无关，可作为二者所确定平面的一组基底. 若存在使得成立，则， 即在、所张成的平面内，根据平面向量基本定理，可唯一表示为（为唯一确定的实数）， 代入原式得： 由于、线性无关，等式成立当且仅当系数同时为0， 即：，消去得： 若，则方程有唯一解； 若，则方程无实数解. 因此原方程至多存在1个实数解. 16. 平面上，若曲线满足：对于任意不在上的点，都存在上两个不同的点，使得这三点中的其中一点恰为另外两个点连线段的中点，则称曲线具有性质．给出下面两个命题：①所有椭圆都具有性质；②所有抛物线都具有性质；则（ ）． A. ①成立；②成立 B. ①成立；②不成立 C. ①不成立；②成立 D. ①不成立；②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】椭圆不成立：椭圆范围有限，取离它足够远的点，无法在椭圆上找到两点满足“其中一点是另两点中点”的关系.抛物线成立：抛物线无限延伸，无论所取点在抛物线内还是外，都能在抛物线上找到两点，使其中一点为另一点与该点的中点. 【详解】①所有椭圆都具有性质：不成立； 椭圆是有界图形，取离椭圆足够远的外部点，若 是椭圆上两点的中点，则不可能离椭圆太远； 若椭圆上一点是的中点，则线段， 由于都在有界椭圆上，也只能在有界范围内，因此取足够远的点时，找不到满足条件的所以椭圆不一定具有性质； ②所有抛物线都具有性质：成立； 用抛物线标准方程 证明如下，设不在抛物线上的点，则 ， 1. 当在抛物线内部（）时： 设为弦的中点，设，代入抛物线方程并利用中点公式消元， 可得关于 的一元二次方程： 其判别式 ，故存在两个不同实根，即存在满足条件的； 2. 当在抛物线外部（​）时： 设为线段的中点（即在抛物线上），由中点公式得坐标为 ， 代入抛物线方程消去可得关于的二次方程： 其判别式 ，存在实根，且（否则与不在抛物线上矛盾），故不重合； 推广：其他开口方向及位置的抛物线，均可由标准抛物线 通过平移、旋转、对称变换得到， 而这些变换均保持“中点”关系不变. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积； （2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【小问1详解】 正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 【小问2详解】 连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 18. 某地区为了了解居民用水情况，随机选取100户居民，将每户人均月用水量（单位：吨）数据按照、、、、、、、、分成9组，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中实数的值； （2）以区间的中点值为区间内的每个数据赋值，试估计这100户居民每户人均月用水量的平均值（近似到0.1吨）； （3）从样本中人均月用水量不低于3.5吨的居民中随机抽取3户居民，求区间和中都有用户被选中的概率． 【答案】（1） （2）吨 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，列方程求参数值即可； （2）根据频率直方图计算平均用水量即可； （3）首先确定对应区间的用户数，再应用古典概型的概率求法及组合数、互斥事件的概率求法求概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，且所有矩形面积之和为， 则， 化简得，所以； 【小问2详解】 以各组区间中点作为该组数据的代表值，各组中点依次为 因此平均用水量估计为吨， 所以估计这100户居民每户人均月用水量的平均值为吨； 【小问3详解】 人均月用水量不低于吨的居民位于区间中 对应频率分别为， 所以两区间内居民户数分别为，共户， 从中随机抽取户，两个区间都有人被选中的概率为. 19. 设，． （1）当时，求函数在区间的最小值； （2）对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，通过求导分析函数单调性，比较区间内极值点和端点的函数值即可得到最小值； （2）将不等式恒成立问题转化为参数分离问题，构造新函数求其最小值，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为. 对求导得：，令，解得. 当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减. ，，比较得， 故在区间上的最小值为. 【小问2详解】 由题意，对任意，恒成立， 移项得： ， 因为，两边同除以得：对任意恒成立. 令，，对求导得：，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故在处取得最小值：， 因此，即实数的取值范围为. 20. 设双曲线的方程为，其左、右焦点分别为、，过作斜率不为零的直线，与双曲线交于、两点． （1）写出双曲线的离心率以及两条渐近线的夹角； （2）若点在第一象限，且，求的长； （3）设（其中），过、分别作的垂线，垂足分别为、．是否存在，使得直线与的交点总在轴上？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）双曲线的离心率，双曲线两条渐近线的夹角为； （2） （3）存在，使得直线与的交点总在轴上，理由如下： 当直线不存在斜率时，此时方程为，显然与直线平行， 又因为双曲线关于横轴对称，因此四边形是矩形， 显然直线与的交点总在轴上，符合题意，此时； 设直线存在斜率时，设为，设方程为，与该双曲线方程联立，得 ， ， 设，由题意可求得：， 则有， 直线方程为：， 令， 即， 直线方程为：， 令，同理可得：， 由假设得：， 化简，得， 把，代入得 ， 化简，得， 因为，所以存在，使得直线与的交点总在轴上. 综上所述：存在，使得直线与的交点总在轴上 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和双曲线渐近线方程进行求解即可； （2）根据双曲线定义，结合余弦定理进行求解即可； （3）设出直线的方程与双曲线方程联立，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【小问1详解】 由双曲线的方程可知：， 所以该双曲线的离心率为， 该双曲线渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角分别为、， 因此该双曲线两条渐近线的夹角为； 【小问2详解】 由（1）可知：，设， 因为点在第一象限，且， 所以由双曲线的定义可知：， 所以，. 因为， 所以， 由余弦定理，得， 所以； 【小问3详解】 略. 21. 设函数的定义域为．若存在常数，使得对任意给定的，，当时，总有，则称函数具有性质． （1）设，函数具有性质．若，求函数的表达式； （2）设，．若函数具有性质，求的所有可能值； （3）设，函数是定义域为的严格增函数．若且是非空有限集，试问：是否存在常数，使得函数具有性质？若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）不存在，理由为： 设为非空有限集，设中最大元素为， 因为是定义在上的严格增函数，从而的值域为无限集， 且对任意，存在唯一使. 若存在使具有性质， 即任意给定，当时，有， 当时，由时， 由的单调性知，不合题意； 不妨设，令， 若所有满足的均在中，则仅在有限集中取到，与的值域是值域（无限集）的子集矛盾， 故存在使； 故，从而（） 存在，使得， 则，则，， 由严格递增得，即，矛盾； 综上，不存在满足条件的常数，使具有性质. 【解析】 【分析】（1）根据函数具有性质，结合已知条件逐步推导函数在不同自变量取值时的函数值，进而得出函数表达式； （2）根据函数具有性质，结合正弦函数的性质求出的所有可能值. （3）假设存在使具有性质，取，可证存在使，进而得，分情况讨论，均会导出与严格递增或有限的矛盾，从而判断不存在满足条件的. 【小问1详解】 由题意，函数具有性质，即对任意给定的， 当时，总有. 因为，根据性质可得，即. 又因为，再根据性质可得， 即. 同理，由可得，即. 以此类推，对于任意的，都有. 因为函数的定义域为，且对于任意的，都有， 所以函数的表达式为，. 【小问2详解】 已知函数具有性质，即对任意给定的， 当时，总有. 因为，所以或. 当时，，恒成立. 当时，. 根据正弦函数的性质， 可得恒成立时，. 又因为，所以的所有可能值为，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度第一学期 高三数学调研测试卷 （满分150分，120分钟完成．答案一律写在答题纸上．） 命题：李琛冰　　审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集为，若，则可以用区间表示为______． 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数__________. 3. 已知，则=__________. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则______． 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 6. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 7. 已知，则______． 8. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为________ 9. 与圆关于直线对称的圆的方程为______． 10. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 11. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个景观点，点到顶点的距离为米，平分，边、的长度均为米．现需要沿着草地的边安装一圈景观灯带，则该灯带的总长度为______米（精确到米）． 12. 设（常数），数列满足，．若存在，使得，则可取的最大值是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是奇函数又是其定义域上减函数的是（ ）． A. B. C. D. 15. 空间中，设、、是三个向量且、不平行，下列关于（）的命题中，正确的命题是（ ）． A. 一定存在使得等式成立 B. 一定存在两个使得等式成立 C. 至多存在一个使等式成立 D. 可能存在无穷多个使得等式成立 16. 平面上，若曲线满足：对于任意不在上的点，都存在上两个不同的点，使得这三点中的其中一点恰为另外两个点连线段的中点，则称曲线具有性质．给出下面两个命题：①所有椭圆都具有性质；②所有抛物线都具有性质；则（ ）． A. ①成立；②成立 B. ①成立；②不成立 C. ①不成立；②成立 D. ①不成立；②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 18. 某地区为了了解居民用水情况，随机选取100户居民，将每户人均月用水量（单位：吨）数据按照、、、、、、、、分成9组，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中实数的值； （2）以区间的中点值为区间内的每个数据赋值，试估计这100户居民每户人均月用水量的平均值（近似到0.1吨）； （3）从样本中人均月用水量不低于3.5吨的居民中随机抽取3户居民，求区间和中都有用户被选中的概率． 19. 设，． （1）当时，求函数在区间的最小值； （2）对任意的，都有，求实数的取值范围． 20. 设双曲线的方程为，其左、右焦点分别为、，过作斜率不为零的直线，与双曲线交于、两点． （1）写出双曲线的离心率以及两条渐近线的夹角； （2）若点在第一象限，且，求的长； （3）设（其中），过、分别作的垂线，垂足分别为、．是否存在，使得直线与的交点总在轴上？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，说明理由． 21. 设函数的定义域为．若存在常数，使得对任意给定的，，当时，总有，则称函数具有性质． （1）设，函数具有性质．若，求函数的表达式； （2）设，．若函数具有性质，求的所有可能值； （3）设，函数是定义域为的严格增函数．若且是非空有限集，试问：是否存在常数，使得函数具有性质？若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $